Capítulo 10. Rotación de un Cuerpo Rígido

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1 Capítulo 10 Rotación de un Cuerpo Rígido

2 Contenido Velocidad angular y aceleración angular Cinemática rotacional Relaciones angulares y lineales Energía rotacional Cálculo de los momentos de inercia Teorema de los ejes paralelos Ejemplos de momento de inercia Torque Torque y aceleración angular Trabajo, potencia y energía

3 Velocidad Angular y Aceleración Angular Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo que pasa por O. o y r P )θ x El punto P se mueve a lo largo de una circunfrerencia de radio r. El arco s que describe está dado por: s θ = = r θ Donde θ está medido en radianes. s r longitud de arco radio 360 1rad = = 57,3 π

4 La velocidad angular promedio se define como: ω θ θ θ 1 = = t t t 1 La unidad de medida de la velocidad angular es el: radián/segundo = rad/s La velocidad angular será: positiva si θ aumenta (antihorario) negativa si θ disminuye (horario)

5 La velocidad angular instantánea = t 0 se define como: θ dθ ω lim = t dt La aceleración angular promedio se define como: La aceleración angular instantánea se define como: α 1 = ω ω1 = ω t t t ω dω d θ lim t 0 t dt dt α = = = Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular.

6 Ejemplo: 1. Una rueda de bicicleta gira a 40 rev/min. Cuál es la velocidad angular en rad/s? rev 1 min π rad rad rad 40 8 = 5,1 min 60 s 1 rev s s = ω = = π. Si la rueda frena uniformemente hasta el reposo en 5 s, cuál es la aceleración angular? ω ω f i α = = = t t f i 0 5 rad s rad 5 5 s s 1

7 Cinemática rotacional Las ecuaciones de la cinemática lineal se cumplen para el movimiento rotacional, sustituyendo x por θ, v por ω y a por α. De esta forma se tiene, si α = cte.: ω = ω + αt 0 1 θ = θ + ω t + αt 0 0 ( θ θ ) ω = ω + α 0 0

8 Ejemplo: La rueda de la bicicleta gira inicalmente con una velocidad angular de 5 rad/s. Cuántas revoluciones efectuará hasta frenar completamente 5 segundos después? Recuerde que para un movimiento lineal teníamos: Aquí podemos usar la relación análoga: x = v t at θ = ω t αt ( ) ( ) rad 1 rad θ = 5 5 s s 6,5 rad = s s 1 rev θ = 6,5 rad = 10 rev rad π

9 Relaciones angulares y lineales La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera: ( ) ds d rθ dθ v = = = r dt dt dt v = ω r Similarmente para la aceleración: ( rω) dv d dω a = = r dt dt dt = a = α r

10 La velocidad v es siempre tangente a la trayectoria La aceleración lineal en un punto es: a = a + a t r y v P y a a t P r θ x r θ a r x O O

11 Energía Cinética Rotacional y O v i r i )θ m i x Un objeto rígido gira alrededor del eje z con velocidad angular ω. La energía cinética para la i-ésima partícula de masa mi está dada por: K = 1 m v i i i y Así, la energía cinética total de rotación está dada por: O v i r i )θ m i x 1 1 K = K = m v = m r ω R i i i i i 1 ( ) K = m r ω R i i

12 1 K = ( m r ) ω R i i La cantidad entre paréntesis recibe el nombre de: Momento de Inercia, I: I = m r i i I es una MF Escalar, que se mide en kgm I depende de la elección del eje. I depende de la distribución de masa del C.R. De esta manera, la energía cinética de rotación es: K R = 1 Iω

13 Cálculo de los Momentos de Inercia En estricto rigor, la definición dada anteriormente para calcular el momento de inercia I, corresponde al cálculo para una distribución discreta de partículas. Ahora, veremos que para una distribución continua de partículas, como lo es un sólido rígido, debemos considerar el caso límite. y o r m i i x

14 Cálculo de los Momentos de Inercia y o r m i i x De la definición dada se tiene: En el límite cuando: m 0 I = r m i i I = lim ri m 0 m i I = r dm Como: dm = ρdv I = r ρdv

15 Ejemplo: Momento de Inercia de un Anillo Uniforme, respecto de su eje de simetría. Imagine que el anillo está dividido en un sinnúmero de pequeños segmentos: m 1, m, Estos segmentos están equidistantes del eje r i = R = cte. I = Σm r I = MR CM i i CM

16 Teorema de los ejes paralelos El teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es: D I = I CM + MD CM

17 Ejemplos de momento de inercia Aro o cascarón cilíndrico I CM = MR Cilindro sólido o disco 1 ICM M R Cilindro hueco 1 = I = ( ) C M M R 1 + R Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por un extremo. 1 I = M L 3 Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro. 1 I CM = 1 M L Placa rectangular CM = 1 1 ( ) I M a + b Esfera sólida Esfera hueca ICM = M R I 5 CM = M R 3

18 Torque Considere la fuerza requerida para abrir una puerta. Es más fácil de abrir la puerta empujando/tirando lejos de la bisagra o cerca de la bisagra? cerca de la bisagra lejos de la bisagra Mientras más lejos de la bisagra, mayor es el efecto rotacional!! Concepto Físico: Torque

19 Torque Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. A la tendencia de la fuerza a hacer girar se le llama torque (o momento de torsión) τ. El torque asociado con la fuerza F se define como: Bisagra τ = rfsin φ = Fd d d F r F F perp φ Torque de una fuerza F sobre una puerta F paralelo

20 Brazo de una Fuerza: Es la distancia perpendicular, d, entre el eje de rotación y la línea de acción de la fuerza

21 Una Mirada Alternativa al Torque la fuerza, también, puede ser descompuesta en sus componentes x -e- y La componente x, F cos Φ, produce un torque 0 N La componente y, F sen Φ, produce un torque no-cero τ = F r senφ F es la fuerza r es la distancia a lo largo del objeto φ es el ángulo entre la fuerza y la recta que une el eje de rotación con el punto de aplicación de la fuerza

22 Concepto vectorial de torque. τ r F τ = r F

23 τ r F P θ τ = r F módulo τ = r F senθ

24 Observaciones respecto del vector torque: La fuerza es aplicada en el punto P, punto del cuerpo que posee vector posición r. El vector resultante, torque, es perpendicular al plano formado por la posición del punto de aplicación de la fuerza y la fuerza misma. El sentido del vector torque, en la figura, es hacia la parte positiva del eje z; la rotación es en el sentido antihorario. Si la fuerza tuviese el sentido opuesto, el vector torque apuntaría hacia la parte negativa del eje z, rotación horaria.

25 Torque neto o resultante. F 1 La fuerza F 1 tiende a hacer girar el cuerpo en sentido anti-horario y en sentido horario. F El torque neto es: τ = τ + τ τ = F d F d neto 1 neto 1 1 o d F d 1 Si el torque neto sobre un cuerpo es igual a cero, entonces el cuerpo esta en reposo o rota con velocidad angular constante. Esta ley es la que se conoce como la segunda condición de equilibrio.

26 Ejemplo 1: N 4 m m Dados: pesos: w 1 = 500 N w = 800 N brazos: d 1 = 4 m d = m Encuentre: Σ τ =? 1. Dibuje todas las fuerzas aplicadas. Considere la rotación horaria como positiva (???) 500 N 800 N τ = τ + τ τ τ τ 1 = ( 500 N)( 4 m) + (+)( 800 N)( m) = 000 N m N m = 400 N m Rotación será anti-horaria

27 Torque y Aceleración Angular Una partícula de masa m gira alrededor de una circunferencia de radio r, el torque neto alrededor del centro de la circunferencia es: neto t t ( ) ( ) ( α ) = α α τ F r = ma r = mr r = mr τ n e t o = I α F t m El torque neto que actúa sobre la partícula es directamente proporcional a su aceleración angular. r F r

28 Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración tangencial a t. Entonces: t = ( ) df dm a Como a t = r α, la expresión para el torque dτ queda: t dτ = ( ) rdf = rdm a = r dmα t t y El torque total es la integral de este diferencial: r i df t dm ( ) τ = r dm = r dm neto τ = Iα kˆ neto α τ α n e t o = I α O x

29 Ejemplo: Considere una ruedavolante (polea cilíndrica ) de masa M=5 kg y un radio R=0, m, con un peso de 9,8 N colgando de una cuerda arrollada alrededor de la ruedavolante. Cuáles son las fuerzas actuando sobre la ruedavolante y el peso? Encuentre la aceleración del peso. M m

30 Ejemplo: 1. Dibuje todas las fuerzas aplicadas N = = w w mg m g Dados: M = 5 kg w = 9,8 N R = 0, m Encuentre: a =? y Mg Fuerzas: Σ = F m g T = m a se necesita T! T T ' mg a 9,8 N m = m = 1 kg 9,8 ms Torques: Σ τ = T R = I α T R α = I Momento de inercia de un cilindro respecto de su CM: 1 I = MR I = 0,10 kg m

31 Ejemplo: Aceleración Tangencial al borde de la ruedavolante: TR I 1 a = αr a = T = a T = Ma I R t t t t Reemplazando en la ecuación de fuerzas, con a t = a, se tiene: 1 mg T = ma mg Ma = ma mg Ma = ma m M + m a = mg a = g M + m ( ) + 1 m m a = 9, 8 a =, s s

32 Trabajo y Potencia. El trabajo hecho por una fuerza F al girar un cuerpo rígido es: dw = F ds = F rsin φ dθ dw = τdθ F La rapidez a la cual se hace trabajo o potencia es: dθ ds r P φ dw τdθ P = = P = τω dt dt O

33 Trabajo y Energía Cinética. Es fácil mostrar que el trabajo de la torque neto es: ω τ θ α θ ω ω ω d W = d = I d = I d t = I d d t 1 1 W = I ω I ω 0 Es decir, el trabajo del torque neto, sobre un cuerpo rígido, es igual al cambio de energía cinética de rotación, del mismo.

34 Comparación de las ecuaciones del movimiento de rotación y de traslación Movimiento Rotacional alrededor de un eje fijo Movimiento lineal Velocidad angular : d θ ω = Velocidad lineal: d t v = d x d t Aceleración angular: d ω α = Aceleración lineal: d t a = d v d t Torque resultante: Σ τ = α Σ = I Fuerza resultante: Σ F = M a Σ = Leyes cinemática: α = c o n s t a n t e Leyes cinemática: a = c o n s t a n t e ω = ω α 0 + t v = v + a t 0 1 θ θ = ω t + α t 0 0 ( ) ω = ω + α θ θ 0 0 = 1 x x v t + a t 0 0 ( ) = v v + a x x 0 0 Trabajo: W τ θ = τ d θ Trabajo: W F d x x = Energía rotacional: K 1 = Energía traslacional: I ω K = 1 m v Potencia: P = τω Potencia: P = F v Momento angular: L = I ω Momentum lineal: p = m v Torque resultante: d L τ = Fuerza resultante: d t F = d p d t

35 Velocidad Angular y Velocidad Lineal son vectores: ω v r v = ω r m

36 Las aceleraciones son vectores. α ω r a R a T v a = α r T a = ω v R

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