APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 12 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

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1 APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 12 CONSERVACIÓN DE A CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGUAR Cantidad de movimiento angular de una partícula. Así como en el movimiento de traslación se se desarrolla el concepto de Impulso (I) para describirlo, en el movimiento rotacional se conoce el concepto de Momento angular () que es análogo al de impulso. El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensiones y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa m i respecto de O. En la figura, la partícula de masa m i, ligada a un cuerpo rígido, rota alrededor de un eje fijo a una distancia r del eje. Si p = mv es el momento lineal, se define el momento angular de la partícula con respecto al eje de rotación considerado por la expresión: i = r i p i Como i es perpendicular al plano de rotación formado por r y p o bien el plano que forman el punto O y la dirección de la velocidad, tal como vemos en las figuras, partiendo de la definición de producto vectorial se tiene que el módulo del momento angular: i = r i p i sin θ = r i m i v i sin θ Donde r i sin θ corresponde al brazo de palanca b para el vector de momento lineal, por tanto: i = m i v i b Supongamos ahora que la velocidad no es constante, sino que varía con el tiempo. Como la componente tangencial de la aceleración cumple la relación dv i = a t, derivar la expresión anterior con respecto al tiempo conduce a: d i = bm i dv i = bm ia t

2 Como F = ma, entonces: d i = bf i, como τ = bf, se tiene que: τ = d i Esto significa que la rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual al torque de la fuerza neta que actúa sobre ella. Por otro lado, el momento angular para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría, en términos rotacionales, se obtiene convirtiendo la velocidad tangencial en velocidad angular, sabiendo que v = ωr, entonces: i = r i m i r i ω = m i r i 2 ω Recordando que I = m i r i 2, tenemos que: = Iω Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas. Consideremos ahora el conjunto de todas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Como ya se sabe, para cada partícula existe una ecuación de momento angular. Sumando miembro a miembro todas las ecuaciones, en el caso de n partículas, se obtiene: τ 1 +τ 2 + +τ n = d 1 + d d n n i=1 τ i = d 1 + d d n n i=1 τ i = d n = d Por tanto, si se define el momento angular del sistema de partículas por la expresión: n i=1 τ i = d Ésta expresión es análoga a la 2da ley de Newton generalizada para un sistema de partículas.

3 Conservación de la cantidad de movimiento angular. El momento angular sirve para expresar de otro modo el principio dinámico básico del movimiento rotacional. También es la base del principio de conservación del momento angular. Al igual que la conservación de la energía y del momento lineal, este principio es una ley de conservación universal, válida en todas las escalas, desde los sistemas atómicos y nucleares hasta los movimientos de las galaxias. Para comprenderlo, se debe recordar que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas permanece constante si el sistema está aislado; es decir, si la fuerza externa total que actúa sobre el sistema es cero. Para ejemplificar, un trapecista, un clavadista y un patinador que hacen piruetas en la punta de un patín aprovechan este principio. Suponga que una trapecista acaba de separarse de un columpio con los brazos y las piernas extendidos, y girando en sentido antihorario alrededor de su centro de masa. Al encoger los brazos y las piernas, su momento de inercia I CM con respecto a su centro de masa cambia de un valor grande I i a uno mucho menor I f. a única fuerza externa que actúa sobre ella es su peso, que no tiene torque con respecto a un eje que pasa por su centro de masa. Así, su momento angular = I CM ω permanece constante, y su velocidad angular ω aumenta al disminuir I CM. Esto es: I i ω i = I f ω f τ externo = 0 Esto es lo que en realidad ocurre cuando un patinador o una bailarina gira con los brazos estirados y luego los encoge, su velocidad angular aumenta al disminuir su momento de inercia. En ambos casos, se conserva el momento angular en un sistema donde el torque externo neto es cero, así tenemos que, para el caso inicial con respecto al final: Y para el caso final con respecto al inicial: τ i sobre f = d f τ f sobre i = d i

4 Al aplicar la Tercera ey de Newton se tiene que τ i sobre f = τ f sobre i, es decir: d f = d i d f + d i = 0 Por tanto: d = 0 Este es el Principio de Conservación del Momento Angular, el cual se enuncia de la forma siguiente: a cantidad de movimiento angular total de un sistema es constante tanto en magnitud como en dirección si el torque externo neto que actúa sobre el sistema es cero, es decir, si el sistema está aislado. Algunos otros aspectos de la conservación de la cantidad de movimiento angular. Formación de una estrella de neutrones os Astrónomos aplican el principio de conservación del momento angular para determinar algunas de las características de la formación de los astros que se forma en las galaxias, realizando medidas de los radios de expansión y de las variaciones d la velocidades angulares sobre radiofotos obtenidas de los radiotelescopios, en este caso, los científicos asumen que el cambio en el movimiento del astro en estudio es similar al del patinador descrito anteriormente, pero en dirección inversa, conforme su masa se acerque al eje de rotación, se espera que gire más rápido. Supongamos ahora que el astro en estudio es una estrella que explota y que durante el colapso del núcleo estelar los astrónomos realizan las siguientes consideraciones: 1. Que sobre el núcleo no actúa un torque externo. 2. Que el núcleo permanece esférico con la misma distribución de masa relativa. 3. Que su masa permanece constante y mantiene una distribución es simétrica. Todo esto para considerar a la estrella como un sistema aislado, lo que permite señalar que el momento de inercia se expresa como I = kmr 2, donde k es constante numérica.

5 Aplicando el Principio de Conservación del Momento Angular, se obtiene: Como ω = 2π, se obtiene: T De esta expresión se desprende: I i ω i = I f ω f kmr i 2 ω i = kmr f 2 ω f kmr i 2 2π T i = kmr f 2 2π T f T f = R f 2 R i 2 T i Con esta aplicación del Principio de Conservación del Momento Angular, se pueden determinar los períodos cuando se desarrollen cambios de velocidad angular. El carrusel Este divertido juego infantil, que se encuentran en muchos parques, permite la posibilidad de estudiar una de las aplicaciones del principio de conservación del momento angular, cuando un niño camina en la plataforma del carrusel, se produce una variación de la velocidad angular que experimenta el niño, mientras que la del aparato se mantiene constante, en este caso el cambio de rapidez en es similar al del patinador que gira y a la estrella de neutrones ya analizados. Sin embargo, este problema es diferente porque la parte del momento de inercia del sistema que corresponde al niño I N cambia, mientras que la otra parte, la de la plataforma del carrusel I P, permanece fijo, supongamos que está última gira sobre un eje sin rozamiento, por tanto se considera como un sistema aislado, consideremos R como el radio de la plataforma y r la posición del niño con respecto al eje de rotación. En este caso, al inicio el niño se encuentra en el borde de la plataforma por lo que R=r, un instante después se encuentra en una posición más cercana al eje de rotación, por lo que se puede señalar: I i = I Pi + I Ni = 1 2 MR2 + mr 2 y I f = I Pf + I Nf = 1 2 MR2 + mr 2 Sustituyendo las expresiones anteriores en I i ω i = I f ω f :

6 1 2 MR2 + mr 2 ω i = 1 2 MR2 + mr 2 ω f Despejando ω f se obtiene: ω f = 1 2 MR2 + mr 2 ω 1 i 2 MR2 + mr 2 El movimiento de giroscopios y trompos Otro digno de análisis es el de un trompo que gira en torno a su eje de simetría, como se muestra en la parte (a) de la figura, si el trompo gira rápidamente, el eje de simetría da vueltas en torno al eje z, describiendo un cono, como se observa en la parte (b) de la misma figura. En este caso, el movimiento del eje de simetría en torno a la vertical, conocido como movimiento de precesión, por lo general es lento en relación con el movimiento de giro del trompo. Por eso es que muchas veces nos preguntamos por qué el trompo no cae? Ya que el centro de masa no está directamente arriba del centro de giro punto O, en el trompo actúa un torque neto en torno a un eje que pasa a través de O y otro torque que resulta del peso mg del trompo. El trompo ciertamente caerá si no está girando. Sin embargo, como gira, tiene una cantidad de movimiento angular que se dirige a lo largo de su eje de simetría, que se mueve alrededor del eje z, es decir se presenta un movimiento de precesión, porque el torque produce un cambio en la dirección del eje de simetría. Esta ilustración es un excelente ejemplo de la importancia de la naturaleza direccional de la cantidad de movimiento angular. as características esenciales del movimiento de precesión se ilustran al considerar el giroscopio simple que se muestra en la figura. as dos fuerzas que actúan en el giroscopio son el peso hacia abajo y la fuerza normal N que actúa hacia arriba en el punto O ubicado en el eje de rotación. a fuerza normal no produce torque en torno a un eje que pasa a través de O, porque su brazo es cero. No obstante, el peso no produce torque. Recordando que el torque neto τ = mg y la cantidad de movimiento angular del giroscopio = Iω se relacionan mediante la ecuación:

7 τ = d Esta expresión muestra que, en el intervalo de tiempo infinitesimal, el torque distinto de cero produce un cambio en la cantidad de movimiento angular d, que está en la misma dirección del torque, por lo tanto, como éste es perpendicular a, entonces d s también lo es, tal como se ilustra en la siguiente figura y de la que se desprende que para : d = f i = τ Ya que d es perpendicular a, la magnitud de no cambia f = i. Sin embargo, para simplificar la descripción del sistema, se supone que la cantidad de movimiento angular total de la rueda en precesión es la suma de la cantidad de movimiento angular Iω debida al giro y la cantidad de movimiento angular debida al movimiento del centro de masa en torno al eje, la que se despreciará, ya que consideraremos a ω como muy grande. El diagrama vectorial de la figura anterior, muestra que, en el intervalo de tiempo, la cantidad de movimiento angular gira a través de un ángulo dθ, que también es el ángulo a través del que da vueltas el eje, por tanto so obtiene la siguiente expresión: dθ = d = τ = mg Derivando esta expresión con especto al tiempo: dθ = mg dθ = mg dθ Donde = ω p y que se conoce como velocidad angular de preseción o frecuencia de precesión, por tanto la expresión de esta velocidad es: ω p = mg Iω Como ejemplo de la utilidad de los giroscopios, suponga que se requiere alterar su trayectoria de un satélite de comunicaciones. Para encender los motores en la dirección correcta, se necesita girarlo. Sin embargo, cómo gira una nave espacial en el espacio vacío? Una forma es tener pequeños motores cohete que encienden perpendicular al lado del satélit, lo que proporciona un torque en torno a su centro de masa. Tal configuración es deseable, y muchos de ellos tienen tales cohetes.