Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente:

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente:"

Eugenio Agüero Rivas
hace 6 años
Vistas:

1 Introducción La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en el se origina. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objetivo conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas aplicada en el mismo. Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente: 1. La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleración.. Las fuerzas y pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot). 3. Los parámetros dimensionales del robot, como longitud, masas e inercias de sus elementos.

evaluación de la estructura mecánica del robot Modelo dinámico Diseño

2 Introducción Simulación del movimiento del robot El modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines: Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot Modelo dinámico Diseño y evaluación del control dinámico del robot Dimensiona miento de los actuadores

F x F θ=0⁰ θ=45⁰ x Energía cinética (K) lineal es la energía que posee un cuerpo por el hecho de moverse.

3 Introducción W F x Cos( ) Trabajo (W) es el producto escalar de la fuerza (F) por el desplazamiento que origina (x), siendo igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman. F x F θ=0⁰ θ=45⁰ x Energía cinética (K) lineal es la energía que posee un cuerpo por el hecho de moverse. La energía cinética de un cuerpo depende de su masa (m) y de su velocidad (v) según la relación: K 1 m mv V

4 Energía cinética (K) rotacional Supongamos un anillo rotado con respecto a un eje perpendicular a su plano, que pasa por el centro de masa. La velocidad tangencial de una partícula en el borde es V wr donde r es el vector que apunta a dicha partícula (radio) y w la velocidad angular del anillo. Entonces la energía cinética rotacional es: w K mv mr w Iw r m Donde m es la masa de la partícula, y V=rw, su velocidad tangencial. También se puede expresar en términos de la inercia I.

5 La energía potencial (P) es aquella que tiene un cuerpo debido a su posición en un determinado momento. Por ejemplo un cuerpo que se encuentra a una cierta altura puede caer y provocar un trabajo o un resorte comprimido o estirado puede mover un cuerpo también produciendo trabajo. La energía potencial la consideramos como la suma de las energías potencial gravitatoria ( P ) y potencial elástica ( P ), por lo tanto: G E P P P G E

6 Energía potencial gravitatoria ( ) Es la que tienen los cuerpos debido a la gravedad (g) de la tierra. Se calcula multiplicando el peso (p) por la altura (h). Se suele considerar que a una altura cero la es cero, por lo tanto se calcula como: P G P G P ph mgh G

7 P E Energía potencial elástica ( ) Es la energía acumulada en un cuerpo elástico (K) tal como un resorte. Se calcula como: 1 PE kx La energía potencial elástica es la que almacena un objeto por el hecho de estar deformado.

8 Torque El torque y la potencia son dos indicadores del funcionamiento del motor, nos dicen qué tanta fuerza puede producir y con qué rapidez puede trabajar. El torque es la fuerza que producen los cuerpos en rotación, recordemos que el motor produce fuerza en un eje que se encuentra girando. Torque: medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo, o la magnitud que viene dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director

9 El péndulo simple Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. O Si la partícula se desplaza a una posición θ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. θ l T Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos el peso mg la tensión T del hilo mgsenθ mg mgcosθ

10 Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes: una primera componente en la dirección radial la cual se equilibra con la tensión T del hilo: O T mg cos La segunda componente perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante: θ l T F mgsen mgsenθ mg mgcosθ

lcosθ Análisis Dinámico La energia cinetica

la inercia I y la velocidad angular w: 1 1

centro de masa del solido es: P mgh l h θ

11 lcosθ Análisis Dinámico La energia cinetica rotacional se puede escribir en terminos de la inercia I y la velocidad angular w: K mv ml w Iw O l La energia potencial del centro de masa del solido es: P mgh l h θ lsenθ h l l cos l(1 cos ) P mgh mgl(1 cos )

12 Mecánica Lagrangiana Para encontrar las ecuaciones dinámicas de los robots se suelen utilizar técnicas como la mecánica Newtoniana y la mecánica Lagrangiana. En este curso veremos la mecánica Lagrangiana. La mecánica Lagrangiana se basa en la diferenciación de los termino de energía con respecto de las variables del sistema y el tiempo. Esta basada en las siguientes dos ecuaciones, una para movimientos lineales y otra para rotacionales. Primeramente, definiremos al Lagrangiano como: L K P Donde L es el Lagrangiano, K es la energía cinética del sistema, y P es la energía potencial del sistema.

13 Mecánica Lagrangiana Entonces: F i L L t xi xi T i L L t i i Donde F es la suma de todas las fuerzas externas para un movimiento lineal, T es la suma de todos los torques en un movimiento rotacional, y θ y x son las variables del sistema.

14 Ejemplo 1: Obtenga la relacion fuerza-aceleracion para el sistema mostrado en la figura, el cual tiene un grado de libertad, utilizando mecanica Lagrangiana. K m F Solucion: El eje x denota el movimiento del carrito y es usado como variable en este sistema. Como el movimiento es lineal, solo usamos la ecuacion de fuerza F. L L Fi t xi xi x

15 K m F Calculamos la energía cinética y la potencial 1 1 K mv mx PE De donde obtenemos el Lagrangiano L 1 1 L K P mx kx x 1 kx F i L L t xi xi L x t L x mx mx kx mx F mx kx

16 Ejemplo : Calcule la ecuacion de movimiento para el sistema de GD. K m 1 F θ l x m Solucion: En este problema hay dos grados de libertad, coordenadas x y θ, por lo cual habra dos ecuaciones de movimiento: una por el movimiento lineal del sistema y otra por la rotacion del pendulo. F i L L t xi xi T i L L t i i

17 La energia cinetica del sistema esta compuesta por la energia cinetica del carrito y la del pendulo. Note que la velocidad del pendulo es la suma de las velocidades del carrito y del pendulo con respecto al carrito: V p V c V p/ c d V c xiˆ xiˆ dt velocidad del carrito y del péndulo con respecto al carrito Velocidad del carrito es el diferencial de la distancia x con respecto del tiempo, en el eje i K m 1 θ l m F x Siendo la velocidad del péndulo con respecto al carrito: d lcos ˆj V pc / lseni ˆl cos ˆj dt V pc / l cos iˆl sen ˆj (no hay velocidades negativas) V ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ ˆ p xi l i l sen j x l i l sen j θ l ˆ lsen i

18 V ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ ˆ p xi l i l sen j x l i l sen j Y cos V x l l sen j ˆ p Ya que : V ˆi ˆj V, V 1 V V V V1, V V1, V V1 V1 V V Entonces: Kcarrito 1 K K K carrito pendulo 1 1 m1 x K pendulo m x l cos m l sen

K K K carrito pendulo 1 1 1 K m x m x l m l sen cos 1 1 1 1 K m x m x xl

suma de la energia en el resorte y en el pendulo: P P P 1 carrito pendulo

19 K K K carrito pendulo K m x m x l m l sen cos K m x m x xl l m l sen cos cos K m m x m l lx 1 cos La energia potencial es la suma de la energia en el resorte y en el pendulo: P P P 1 carrito pendulo P kx mgl(1 cos ) Ya que cos sin 1 Recordando que: P mgh h l l cos l(1 cos )

20 1 1 K m m x m l lx 1 P kx mgl(1 cos ) 1 cos El Lagrangiano queda: L K P m1 m x m l lx cos kx mgl(1 cos ) La suma de las fuerzas F para el movimiento lineal es: L L Fi t xi xi L m m x m l x 1 cos d dt L m1 m x ml cos ml sen x L x kx

21 L m1 m x ml cos ml sen tx L x kx L L F m1 m x ml cos ml sen kx t x x La suma de torques T para un movimiento rotacional es: L L Ti t i i L K P m1 m x m l lx cos kx mgl(1 cos ) L m l m lx d dt cos L ml mlx cos mlx sen L mlx sen mglsen

22 d dt L ml mlx cos mlx sen L mlx sen mglsen L L T ml mlx cos mlx sen mlx sen mglsen t T m l m lxcos m glsen Si escribimos las dos ecueciones de movimiento en forma matricial obtenemos: F m m x m l cos m l sen kx 1 T m l m lxcos m glsen m1 m ml 0 kx cos 0 0 F x m lsen x T m l m l m glsen

Documentos relacionados

Momento angular de una partícula. Momento angular de un sólido rígido

Momento angular de una partícula Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv L=r mv Momento angular