Cap. 11B Rotación de cuerpo rígido JRW

Transcripción

1 Cap. 11B Rotación de cuerpo rígido JRW 01

2 Repaso JRW 01

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37 Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Definir y calcular el momento de inercia para sistemas simples. Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton, energía cinética rotacional, trabajo rotacional, potencia rotacional y cantidad de movimiento rotacional a la solución de problemas físicos. Aplicar principios de conservación de energía y cantidad de movimiento a problemas que involucran rotación de cuerpos rígidos.

38 Inercia de rotación Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotación se modele a partir de la ley de traslación. F = 0 N a = 4 m/s F = 0 N R = 0.5 m a = rad/s Inercia lineal, m m = 4 N 4 m/s = 5 kg Inercia rotacional, I t (0 N)(0.5 m) I = = =.5 kg m a 4 m/s La fuerza hace para la traslación lo que el momento de torsión hace para la rotación:

39 Energía cinética rotacional Considere masa pequeña m: v = wr K = ½mv K = ½m(wR) w m 1 m m 4 m 3 K = ½(mR )w eje m Suma para encontrar K total: K = ½(SmR )w (½w igual para toda m ) Objeto que rota a w constante. Definición de inercia rotacional: I = SmR

40 Ejemplo 1: Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm? Primero: I = SmR I = (3 kg)(1 m) + ( kg)(3 m) + (1 kg)( m) kg 3 m m 3 kg 1 m 1 kg w I = 5 kg m w = 600 rpm = 6.8 rad/s K = ½Iw = ½(5 kg m )(6.8 rad/s) K = 49,300 J

41 Inercias rotacionales comunes L L I 1 3 ml I 1 1 ml R R R I = mr I = ½mR I 5 mr Aro Disco o cilindro Esfera sólida

42 Ejemplo : Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales. I mr (3 kg)(0. m) R I = 0.10 kg m I = mr Aro R I mr (3 kg)(0. m) 1 1 I = ½mR I = kg m Disco

43 Analogías importantes Para muchos problemas que involucran rotación, hay una analogía extraída del movimiento lineal. x f m Una fuerza resultante F produce aceleración negativa a para una masa m. t I R 4 kg w w o 50 rad/s t = 40 N m Un momento de torsión resultante t produce aceleración angular a de disco con inercia rotacional I. F ma t I a

44 Segunda ley de rotación de Newton Cuántas revoluciones requiere para detenerse? t = Ia F R 4 kg w w o 50 rad/s R = 0.0 m F = 40 N a FR = (½mR )a F (40N) mr (4 kg)(0. m) q 0 aq w f - w o w 0 (50 rad/s) a (100 rad/s ) a = 100 rad/s q = 1.5 rad = 1.99 rev

45 Ejemplo 3: Cuál es la aceleración lineal de la masa de -kg que cae? Aplique a ley de Newton al disco rotatorio: t Ia TR = (½MR )a T = ½MRa a T = ½MR( ) ; R pero a = ar; a = y T = ½Ma Aplique a ley de Newton a la masa que cae: mg - T = ma mg - ½Ma T = ma a R ( kg)(9.8 m/s ) - ½(6 kg) a = ( kg) a R = 50 cm M 6 kg a =? R = 50 cm 6 kg +a kg T T mg kg 19.6 N - (3 kg) a = ( kg) a a = 3.9 m/s

46 Trabajo y potencia para rotación Trabajo = Fs = FRq Trabajo = tq t FR q s F Trabajo Potencia = = t tq t w = q t s = Rq F Potencia = t w Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio

47 Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la potencia si la masa de kg se eleva 0 m en 4 s. Trabajo = tq = FR q s 0 m q = = = 50 rad R 0.4 m F = mg = ( kg)(9.8 m/s ); F = 19.6 N kg 6 kg q s = 0 m s F=W F Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad) Trabajo = 39 J Trabajo Potencia = = t 39 J 4s Potencia = 98 W

48 El teorema trabajo-energía Recuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energía cinética lineal: ½ f 0 Fx ½mv mv Al usar analogías angulares, se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energía cinética rotacional: ½I f 0 tq ½Iw w

49 Aplicación del teorema trabajo-energía: Qué trabajo se necesita para detener la rueda que rota? Trabajo = DK r F R 4 kg w w o 60 rad/s R = 0.30 m F = 40 N Primero encuentre I para rueda: I = mr = (4 kg)(0.3 m) = 0.36 kg m 0 ½I ½I Trabajo = -½Iw o f 0 tq w w Trabajo = -½(0.36 kg m )(60 rad/s) Trabajo = -648 J

50 Rotación y traslación combinadas v cm v cm v cm Ahora considere una bola que rueda sin deslizar. La velocidad angular w en torno al punto P es igual que w para el disco, así que se escribe: Primero considere un disco que se desliza sin fricción. La velocidad de cualquier parte es igual a la velocidad v cm del centro de masa. R w P v v R w O v wr

51 Dos tipos de energía cinética Energía cinética de traslación: K = ½mv Energía cinética de rotación: K = ½Iw R w P v Energía cinética total de un objeto que rueda: T 1 1 K mv Iw

52 Conversiones angular/lineal En muchas aplicaciones, debe resolver una ecuación con parámetros angulares y lineales. Es necesario recordar los puentes: Desplazamiento: s qr s q R Velocidad: v wr v w R Aceleración: v ar a a R

53 Traslación o rotación? Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir todos los términos angulares a términos lineales: q s R v a w a I (?) mr R R Si debe resolver un parámetro angular, debe convertir todos los términos lineales a términos angulares: s qr v wr v ar

54 Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv + ½Iw E mv Iw ; I mr ; w v E mv mr E mv mv R ; 4 E 3mv 4 E or v 4 3m v R

55 Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular w de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv + ½Iw E mv Iw ; I mr ; v wr E m( wr) mr w ; E mr w mr w E 3mR w 4 E or w 4 3mR

56 Estrategia para problemas Dibuje y etiquete un bosquejo del problema. Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar. Escriba fórmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota. Recuerde conceptos involucrados (potencia, energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba una ecuación que involucre la cantidad desconocida. Resuelva para la cantidad desconocida.

57 Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energías cinéticas. w Dos tipos de energía: K T = ½mv K r = ½Iw w v v Energía total: E = ½mv + ½Iw w = v R v R ½ ½ v E mv mr R Disco: E ½mv ½ ½mR E = ¾mv Aro: E = mv

58 Conservación de energía La energía total todavía se conserva para sistemas en rotación y traslación. Sin embargo, ahora debe considerar la rotación. Inicio: (U + K t + K R ) o = Fin: (U + K t + K R ) f Altura? Rotación? Velocidad? mgh o ½Iw o ½mv o = mgh f ½Iw f ½mv f Altura? Rotación? Velocidad?

59 Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de kg justo antes de golpear el suelo. R = 50 cm mgh o ½Iw o ½mv o = mgh f ½Iw f ½mv f 6 kg kg h = 10 m mgh mv Iw v mgh0 mv ( MR ) R ()(9.8)(10) () v (6) v I MR.5v = 196 m /s v = 8.85 m/s

60 Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. Cuáles son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 0 m? mgh o = ½mv + ½Iw Aro: I = mr v mgh0 ½mv ½( mr ) R mgh o = ½mv + ½mv ; mgh o = mv 0 m v gh 0 (9.8 m/s )(0 m) Aro: v = 14 m/s Disco: I = ½mR ; mgh o = ½mv + ½Iw v mgh0 ½mv ½(½ mr ) R v gh v = 16. m/s

61 Definición de cantidad de movimiento angular Considere una partícula m que se mueve con velocidad v en un círculo de radio r. Defina cantidad de movimiento angular L: L = mvr Al sustituir v= wr, da: L = m(wr) r = mr w Para cuerpo extendido en rotación: L = (Smr ) w v = wr w eje m 1 m m 4 m m 3 Objeto que rota con w constante. Dado que I = Smr, se tiene: L = Iw Cantidad de movimiento angular

62 Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y m de longitud si rota en torno a su punto medio con una rapidez de 300 rpm. L = m m = 4 kg Para barra w : I 1 1 ml 1 1 (4 kg)( m) I = 1.33 kg m rev rad 1 min rad/s min 1 rev 60 s L = Iw (1.33 kg m )(31.4 rad/s) L = 1315 kg m /s

63 Impulso y cantidad de movimiento Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal: F Dt mv mv Al usar analogías angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular : t Dt Iw Iw f f 0 0

64 Ejemplo 9: Una fuerza de 00 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza actúa durante 0.00 s. Cuál es la velocidad angular final? I = mr = ( kg)(0.4 m) I = 0.3 kg m Momento de torsión aplicado t FR D t = 0.00 s w R F kg w o 0 rad/s R = 0.40 m F = 00 N Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular t Dt = Iw f Iw o 0 FR Dt = Iw f w f = 0.5 rad/s

65 Conservación de cantidad de movimiento En ausencia de momento de torsión externo, se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante). 0 I f w f I o w o = t Dt I f w f I o w o I o = kg m ; w o = 600 rpm I f = 6 kg m ; w o =? w f I0w0 I f ( kg m )(600 rpm) 6 kg m w f = 00 rpm

66 Resumen Analogías rotacionales Cantidad Lineal Rotacional Desplazamiento Desplazamiento x Radianes q Inercia Masa (kg) I (kg m ) Fuerza Newtons N Momento de torsión N m Velocidad v m/s w Rad/s Aceleración a m/s a Rad/s Cantidad de movimiento mv (kg m/s) Iw (kg m rad/s)

67 Fórmulas análogas Movimiento lineal F = ma Movimiento rotacional t = Ia K = ½mv K = ½Iw Trabajo = Fx Trabajo = tq Potencia = Fv Potencia = Iw Fx = ½mv f - ½mv o tq = ½Iw f - ½Iw o

68 Resumen de fórmulas: I = SmR K Trabajo = tq 1 Iw I w I w o o f f ½I f 0 tq ½Iw w Potencia tq tw t Altura? Rotación? Velocidad? mgh o ½Iw o ½mv o = mgh f ½Iw f ½mv f Altura? Rotación? Velocidad?

69 CONCLUSIÓN: Capítulo 11B Rotación de cuerpo rígido