EL GIRÓSCOPO. Determinación experimental del momento de inercia del giróscopo y de la velocidad angular de precesión.

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Álvaro Torregrosa Figueroa
hace 7 años
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1 EL GIRÓSCOPO 1. OBJETIVOS Determinación experimental del momento de inercia del giróscopo y de la velocidad angular de precesión. 2. FUNDAMENTO TEÓRICO. Un giróscopo es un disco en rotación construido de forma que su eje se puede orientar en cualquier dirección del espacio. En ausencia de momentos externos, el eje de rotación mantiene constante su orientación, propiedad que permite que el giróscopo sea utilizado en sistemas de navegación automática y de orientación. El momento angular de un cuerpo que gira en torno a un eje se define como: L =Iω (1) donde I es el momento de inercia y ω su velocidad angular, siendo L paralelo a ω. La ecuación fundamental de la dinámica de rotación establece que el momento aplicado a un sólido rígido es igual a la variación de su momento angular: dl M = (2) dt Si el momento aplicado al giróscopo M es nulo, su momento angular L no varía y el eje de rotación se mantiene en una dirección fija. Cuando se aplica un momento M a un giróscopo en rotación el momento angular, L, varía en la misma dirección y sentido que el momento aplicado. Supongamos que el giróscopo esta inicialmente equilibrado en su posición horizontal (θ = 0º) y gira con una velocidad angular, ω. Al colgar una masa, m, a una distancia, d, del eje vertical Z (ver figura 1), se producirá un momento de módulo: M = m g d (3) Este momento será perpendicular en todo instante al momento angular L y su efecto consistirá en desviar el vector momento angular en la misma dirección que el momento aplicado. En consecuencia, se producirá un movimiento de precesión alrededor del eje vertical Z con una velocidad angular Ω, mucho más pequeña que la velocidad angular del disco ω. Como los vectores L y M son perpendiculares en todo momento, el módulo de L no varía, pero sí varía continuamente su dirección y sentido en la dirección del vector M produciendo el giro en el plano horizontal con la citada velocidad angular, Ω. El giróscopo 1

2 Velocidad Angular de Precesión Para pequeños cambios en el ángulo de giro (dφ), se puede considerar que: dl=ldφ (4) Figura 1. Movimiento de Precesión Sustituyendo las expresiones (3) y (4) en las expresiones (1) y (2), se obtiene que la velocidad angular de precesión, Ω, viene dada por: dφ m g d m g d = L = L Ω = I ωω Ω = (5) dt I ω Junto con el movimiento de precesión, el giróscopo realiza un movimiento de nutación que consiste en una oscilación en el eje vertical. Este movimiento se explica a partir de la necesidad de que el giróscopo descienda para llevar a cabo el movimiento de precesión. En el momento de soltar el giróscopo, el descenso produce una disminución de energía potencial necesaria para que adquiera la velocidad de traslación propia del movimiento de precesión. Momento de Inercia del Disco Para determinar el momento de inercia del disco, aplicaremos al disco un momento conocido M que producirá una aceleración angular α. M = I α (6) Si M corresponde al momento producido por una pesa, que cae unida a un hilo enrollado en una polea solidaria con el disco M = r F (7) donde r es el radio de la polea acoplada al disco y F la tensión del hilo durante la caída. El giróscopo 2

3 Sabemos que: 2 a r F α = I = (8) r a Aplicando la segunda ley de Newton: m g F = m a F = m (g a) (9) La aceleración de la masa se determina midiendo el tiempo que tarda ésta en caer una determinada distancia vertical z, partiendo del reposo: z 2z a = (10) 2 t 3. MATERIAL - Giróscopo: m disco+polea =1,72 kg, D disco =0, 25 m, d polea =0,058 m - Juego de pesas y portapesas. - Polea. - Cronómetro - Soportes - Nueces y varillas 4. EXPERIMENTACIÓN 4.1 Determinación del Momento de Inercia del Giróscopo Fijen el eje del giróscopo (disco) en posición horizontal, ayudándose de la varilla vertical: Figura 2. Dispositivo Experimental El giróscopo 3

4 Enrollen el hilo en la polea del disco, pasen el hilo a través de otra polea auxiliar, tal y como aparece en la figura 2, y cuelguen del extremo un portapesas con el número de pesas que deseen. Midan el tiempo que tarda en desplazarse la masa una determinada distancia vertical partiendo del reposo. Repitan la medida y apunten el tiempo medio, t. Realicen dos veces la experiencia utilizando diferentes valores para las masas. Calculen el valor del momento de inercia, a partir de la expresión (8), y comparen su valor con el momento de inercia teórico del disco. Indiquen el error relativo cometido. masa (kg) t 1 (s) t 2 (s) t (s) a (m s -2 ) F (N) I experimental I teórico E r % 4.2 Velocidad Angular de Precesión. Equilibren el eje del giróscopo (disco) de forma que quede horizontal, desplazando y fijando los contrapesos del eje. Ajusten primero el contrapeso mayor y utilicen el menor para un ajuste fino. Una forma de comprobar que está equilibrado es hacer girar el disco sobre su eje y observar que no realiza ningún movimiento de precesión alrededor del eje vertical Z. Saquen el tornillo del extremo del eje horizontal que está más próximo al disco y añadan una masa. Sujeten con la mano el eje, manteniéndolo en posición horizontal, y comuniquen con suavidad un movimiento de giro al disco, de forma que su velocidad angular sea medible. Al soltar el eje comenzará el movimiento de precesión. Midan el tiempo que el sistema tarda en dar un determinado número de revoluciones alrededor del eje vertical Z (T 1 ). Determinen el período y la velocidad angular de precesión, Ω 1. Simultáneamente y con un segundo cronómetro midan el tiempo que tarda el disco en dar un determinado número de revoluciones. Determinen el período (T 2 ) y la velocidad angular del disco, ω. Conocidos los valores de ω, I y d (distancia del eje de giro a la masa añadida) se puede obtener también el valor la velocidad angular de precesión a partir de la expresión (5), Ω 2. Realicen el experimento para 2 masas diferentes, y determinen en cada caso el error cometido entre los dos valores de la velocidad angular de precesión calculados. Masa (kg) T 1 (s) Ω 1 (rad/s) T 2 (s) ω (rad/s) Ω 2 (rad/s) Error % El giróscopo 4

5 Al terminar la práctica, entreguen una copia de los datos experimentales obtenidos indicando el título de la práctica, sus nombres y apellidos, grupo de teoría al que pertenecen y fecha de realización. En el Informe a entregar, se deben incluir todas las tablas de datos, las gráficas y ajustes realizados, los valores calculados y su comparación con los valores reales, comentando los posibles errores cometidos, y las conclusiones obtenidas. El giróscopo 5

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