(m 2.g - m 2.a - m 1.g - m 1.a ).R = (M.R 2 /2 ). a / R. a = ( m 2 - m 1 ).g / (m 2 + m 1 + M/2) las tensiones son distintas.

Transcripción

1 Dos masas de 1 y 2 kg están unidas por una cuerda inextensible y sin masa que pasa por una polea sin rozamientos. La polea es izada con velocidad constante con una fuerza de 40 Nw. Calcular la tensión de la cuerda. Este problema fue propuesto en el examen de Selectividad de septiembre de 1998 y, en mi opinión, no es un problema adecuado a un examen de Selectividad pues el enunciado es incongruente; la pregunta del problema debería ser: Calcular las tensiones en la cuerda. Como el enunciado no especifica la masa de la polea, se tiende a suponer que la masa de la polea es despreciable frente a las otras masas y al resolver el problema se llega a una incongruencia con los datos del problema: La aceleración con que se desplazan las masas será: a = F/m = (m 2.g - m 1.g)/(m 2 + m 1 ) = (2.g -1.g)/(2+1) = g/3 = 3'27 m/s 2 Las tensiones T 1 T 2 son iguales: T 1 = m 1.g + m 1.a = m 1.g.(1 + (m 2 - m 1 )/(m 2 + m 1 )) = 2.g. m 2.m 1 /(m 2 + m 1 ) T 2 = m 2.g - m 2.a = m 2.g.(1 - (m 2 - m 1 )/(m 2 + m 1 )) = 2.g. m 2.m 1 /(m 2 + m 1 ) En este caso T 1 = T 2 = 2.g.2.1/(2+1) = 4.g/3 = 13'166 Nw Si se desea levantar la polea con velocidad constante no existe aceleración que influya en las tensiones de la cuerda y la fuerza que hay que hacer es la tensión que soporta el eje de la polea que es la suma de T 1 y T 2 : F = T 1 + T 2 = 2.13'666 = 26'13 Nw que no coincide con los 40 N del enunciado, por lo que hay que rehacer el problema aplicando el teorema fundamental de la dinámica de rotación, M = I.α, determinando no sólo las tensiones de la cuerda, que resultan ser distintas, sino la masa M de la polea. T 1 = m 1.g + m 1.a T 2 = m 2.g - m 2.a el momento total que actúa sobre la polea es: M = T 2.R - T 1.R = (T 2 - T 1 ).R = (m 2.g - m 2.a - m 1.g - m 1.a ).R el momento de inercia de una polea, disco, es: I = M.R 2 /2 la relación entre la aceleración angular y la lineal es: α = a / R M = I.α (m 2.g - m 2.a - m 1.g - m 1.a ).R = (M.R 2 /2 ). a / R m 2.g - m 2.a - m 1.g - m 1.a = M. a /2 m 2.g - m 1.g = M. a /2 + m 2.a + m 1.a a = ( m 2 - m 1 ).g / (m 2 + m 1 + M/2) T 1 = m 1.g + m 1.( m 2 - m 1 ).g / (m 2 + m 1 + M/2) = m 1.g.[1 + ( m 2 - m 1 ) / (m 2 + m 1 + M/2) ] T 1 = m 1.g.[ ( m 2 + m 1 + M/2 + m 2 - m 1 ) / (m 2 + m 1 + M/2) ] = m 1.g..[ (2. m 2 + M/2 ) / (m 2 + m 1 + M/2) ] T 1 = 1.9'8.[( M/2) / ( M/2) ] = 9'8. [( 8 + M) / (6 + M) ] T 2 = m 2.g - m 2.( m 2 - m 1 ).g / (m 2 + m 1 + M/2) = m 2.g.[1 - ( m 2 - m 1 ) / (m 2 + m 1 + M/2) ] T 2 = m 2.g.[ ( m 2 + m 1 + M/2 - m 2 + m 1 ) / (m 2 + m 1 + M/2) ] = m 2.g.[ ( 2. m 1 + M/2 ) / (m 2 + m 1 + M/2) ] T 2 = 2.9'8.[ ( M/2 ) / ( M/2) ] = 19'6.[ (4 + M ) / (6 + M) ] las tensiones son distintas. Si se levanta la polea con una fuerza de 40 N y con velocidad constante no existe aceleración que influya en las tensiones de la cuerda y la fuerza que hay que hacer, en este caso 40 N, es la tensión que soporta el eje de la polea que es la suma de T 1 y T 2 más el peso de la polea: F = T 1 + T 2 + M.g 40 = 9'8. [( 8 + M) / (6 + M) ] + 19'6.[ (4 + M ) / (6 + M) ] + 9'8.M 40.(6 + M) / 9'8 = ( 8 + M) + 2.(4 + M ) + M.(6 + M) 24'45 + 4'08.M = M + M 2 M 2 + 4'92.M - 8'49 = 0 M = 1'35 kg a = ( 2-1 ).9'8 / ( '35 /2) = 2'67 m/s 2 T 1 = 9'8. [( 8 + 1'35) / (6 + 1'35) ] = 12'47 N T 2 = 19'6.[ (4 + 1'35 ) / (6 + 1'35) ] = 14'27 N

2 Una esfera rueda sobre una barra, con sección en forma de U, inclinada. Determinar la aceleración. Las fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso, P, la reacción normal del plano, R, y la fuerza de rozamiento Fr. Como la reacción R y el el rozamiento Fr están aplicados en el eje instantáneo de rotación no realizan ningún momento, sólo el peso: M = h. m. g. sen θ, siendo h = (r 2 - b 2 ) 1/2 El momento de inercia de la esfera con relación al eje instantáneo de rotación es = 2. m. r 2 /5 + m. h 2 I Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: a = M / I = h. m. g. sen θ /( 2. m. r 2 /5 + m. h 2 ) = h. g. sen θ /( 2. r 2 /5 + h 2 ) la aceleración lineal será: a = a.h = h 2. g. sen θ /( 2. r 2 /5 + h 2 ) = g. sen θ /(2. r 2 /(5h 2 ) + 1 ) = 5. (r 2 - b 2 ). g. sen θ /(7. r 2-5. b 2 ) Sea un cilindro de masa m, radio r y altura h, rodando por un plano inclinado θ grados. Determinar su aceleración. La aceleración lineal será la angular por el radio de giro. El cilindro está apoyado por su generatriz, siendo en cada instante su eje de giro. El Momento de inercia del cilindro respecto a su generatriz será: I = I o + m.r 2 = m.r 2 /2 + m.r 2 = 3.m.r 2 /2 El Momento total respecto al eje instantáneo de giro de las fuerzas aplicadas sólo se debe al peso pues la fuerza de rozamiento y la reacción del plano están aplicadas en el eje de apoyo y sus momentos son nulos: M = m.g.r. sen θ a = α.r = M.r / I = m.g.r 2. sen θ /(3.m.r. 2 /2) = 2.g.sen θ /3

3 Sea una polea en forma de disco de masa m y radio r con una cuerda sin masa enrollada de cuyo extremo pende una masa m'. Calcular la aceleración de giro de la polea. La polea gira debido a la tensión que ejerce la cuerda debido a la caída de m'. La tensión será igual al peso menos la fuerza de inercia, y el momento que ejerce sobre la polea será: T = m'.g -m'.a -> M = m'.(g-a).r La polea está sujeta por su eje por lo que existirá una fuerza reactiva en dicho eje, pero su momento será cero al estar en el eje. El momento total será: M = m'.(g-a).r La ecuación de la Dinámica de rotación resultará: α = M / I = m'.(g-a).r / (m.r 2 /2) = 2.m'.(g-a) / m.r pero a = α.r -> α = 2.m'.( g - α.r ) / m.r El momento de inercia de la polea (disco) es: I = m.r 2 /2 -> m.r.α + 2.m'.α.r = 2.m'. g -> α = 2.m'. g / (m.r + 2.m'.r) Determinar la ecuación del movimiento de un aro de radio r que rueda sin deslizar por un plano inclinado. M = m.g.r.senθ Si rueda sin deslizar es porque existe una fuerza de rozamiento que lo impide. El eje instantáneo de rotación es el punto de contacto del círculo con el plano. La fuerza de rozamiento F r y la reacción del plano R tienen su punto de aplicación en el eje instantáneo de rotación, por lo que el momento que ejercen es cero. El momento total de las fuerzas aplicadas sólo se debe al peso: Sea I o el momento de inercia del sistema, esfera, cilindro, aro,..., con relación a su eje. El momento de inercia del aro con relación al punto de apoyo será el momento de inercia respecto a su eje más el término de Steiner; es decir: I = I o + m.r 2 Sustituyendo en la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, resulta: M = I.α m.g.r.senθ = α. (I o + m.r 2 ) α.r = m.g.r 2.senθ / (I o + m.r 2 ) a = g.senθ / (1 + I o /m.r 2 ) El movimiento es uniformemente acelerado. En el caso particular de un aro: I o = m.r 2 a = g.senθ /2

4 Un objeto está colgado de un hilo. Al aplicarle un momento de 5 N.m el cuerpo gira, retorciéndose el hilo 12º. Se le deja oscilar y su período es 0'5 seg. Determinar el momento de inercia del objeto y el ángulo que ha girado al cabo de 3'2 seg. El momento recuperador es proporcional y opuesto a la deformación, en este caso al ángulo girado. Si k es la constante de proporcionalidad: M = - k.θ Si al aplicar un momento de 5 N.m gira 12º, 0'20944 radianes, el valor de k será: k = 5 / 0'20944 = 23'87 N.m/rad La ecuación del movimiento, aplicando la ley fundamental de la dinámica de rotación, será: que es la ecuación de un movimiento armónico simple, cuya solución es: siendo θ m ω ϕ constantes a determinar según las condiciones iniciales. en este caso: w = 2.π/0'5 = 12'57 rad/s I = k/w 2 = 23'87/12'57 2 = 0'151 kg.m 2 si el origen de tiempos lo ponemos cuando se suelta el sistema, entonces para t=0, θ = θ m = 0'20944 radianes y la velocidad cero por lo que ϕ = - π/2 La ecuación de la posición resulta ser: θ = 0' sen(12'57.t + π/2) = 0' cos (12'57.t) al cabo de 3'2 seg. el ángulo será: θ = 0' cos (12'57.3'2) = - 0'17 radianes

5 Una regla uniforme de longitud L está en el plano vertical de modo que puede girar por un eje horizontal, perpendicular a la regla, y a una distancia d del centro de masas. Calcular el valor de d que da período mínimo de oscilaciones pequeñas. Si denominamos : I CM momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masa. I momento de inercia respecto al eje asctual d distancia entre ejes, el período de oscilación de un péndulo físico es: si el período debe ser mínimo, la derivada del período respecto a la distancia d debe ser cero: es decir: m.d 2 = I CM El momento I CM de la regla es m.l 2 /12, por lo que: m.d 2 = m.l 2 /12 -> d = L.12-1/2 Un disco de 2 Kg de masa y 10 cm de radio gira alrededor de su eje a 180 r.p.m.. Encima, pero sin que exista contacto, se encuentra otro disco de 1 Kg de masa, del mismo radio y en reposo. Cuando el disco superior se deja caer, ambos se mueven solidariamente. Calcular la velocidad angular final. Cuando el disco superior se posa sobre el inferior, el momento de las fuerzas sigue siendo nulo por lo que se conserva el Momento angular, I.w. (I.w) antes = (I.w) después I 1.w i = (I 1 + I 2 ).w f w f = I 1.w i /(I 1 +I 2 ) como el Momento de inercia de un disco es ½.m.R 2 se obtiene: w f = ½.m 1.R 2 w i /( ½.m 1.R 2 + ½.m 2.R 2 ) = m 1.w i /(m 1 +m 2 ) En este caso particular: w f = 2 Kg. 180 rpm / (2 kg + 1 Kg) = 120 r.p.m.

6 Un disco circular en reposo de 0'5 m de radio y 4 Kg.m 2 de momento de inercia, puede girar por su eje y lleva una cuerda enrollada en su periferia. Se tira de la cuerda con una fuerza constante de 2 N, durante 10 seg. Calcular, suponiendo nulo el rozamiento, la longitud de cuerda desenrollada en ese tiempo. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: a = M / I a = F. R / I a = a. R = F. R 2 / I como inicialmente está en reposo: e = ½. a. t 2 = ½. F. R 2. t 2 / I en este caso: e = ½. 2. 0' / 4 = 6'25 metros Un patinador, con los brazos extendidos y las piernas abiertas y con un momento de inercia respecto a su eje vertical de 7 Kg.m 2, inicia un giro sobre si mismo con una aceleración de 2 rad/s 2 durante 6 segundos, momento en el cual encoge los brazos y acerca sus piernas al eje hasta tener un momento de inercia de 4 Kg.m 2. Determinar su velocidad de giro final. Después de un tiempo t de iniciar el giro, su velocidad angular será: w t = ½. a. t 2 = ½ = 36 rad/s al acercar brazos y piernas al eje, el Momento de las fuerzas sigue siendo nulo, por lo que se conserva el momento angular, I.w (I. w) antes = (I. w) después w después = (I. w) antes / I después = 7.36 / 4 = 63 rad/s Una polea doble, de momento de inercia 0'6 kg.m 2 está formada por dos poleas de radios 4 cm y 8 cm solidarias. En cada una de ellas hay una cuerda sin masa enrollada de la que cuelgan masas de 40 y 60 kg. Calcular la aceleración angular del sistema y las tensiones de las cuerdas. El momento que produce la masa de 40 kg es mayor que el producido por la masa de 60 kg, por lo que el sistema, de girar, girará a izquierdas: M 1 = 40. 0'08 = 3'2 N.m M 2 = 60. 0'04 = 2'4 N.m Las tensiones en las cuerdas son: T 1 = m 1.g - m 1.a 1 = m 1.g - m 1.a.r 1 T 2 = m 2.g + m 2.a 2 = m 2.g + m 2.a.r 2 Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, M = I.a : T 1. r 1 - T 2. r 2 = I.a (m 1.g - m 1.a.r 1 ). r 1 - (m 2.g + m 2.a.r 2 ). r 2 = I.a m 1.g.r 1 - m 2.g.r 2 - m 1.a. r m 2.a. r 2 2 = I.a a = g. ( m 1.r 1 - m 2.r 2 ) / ( I + m 1.r m 2.r 2 2 ) a = 9'8. (40.0' '04) / (0' ' '04 2 ) = 8'235 rad /s 2 T 1 = m 1.g - m 1.a.r 1 = 40.9'8-40.8'235.0'08 = 365'65 N T 2 = m 2.g + m 2.a.r 2 = 60.9' '235.0'04 = 607'76 N

7 Una rueda de 6 cm de radio tiene un eje de 2 cm. El conjunto tiene un momento de inercia 0'004 Kg.m 2 y una masa de 3 kg. La rueda está apoyada sobre el suelo, existiendo rozamiento. Determinar el sentido de giro de la rueda y su aceleración lineal si se tira horizontalmente de una cuerda enrollada en el eje con una fuerza de 5 N. Al estar la rueda apoyada en el suelo, el eje instantáneo de giro es la recta de apoyo con el suelo, por lo que ni la fuerza de rozamiento F r ni la reacción del suelo, R, ni el peso, P, ejercen momento alguno sobre la rueda, por estar aplicados en el eje de giro. Sólo ejerce momento la fuerza F. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: M = I. a F.(r 1 - r 2 ) = I.a a = F.(r 1 - r 2 ) / I = 5.(0'06-0'02) / 0'004 = 50 rad /s 2 a = a. r 1 = 50. 0'06 = 3 m /s 2