F X = F cos 30 F X = 20 cos 30. F X = 17,32 Kg. F Y = F sen 30 F Y = 20 * (0,5) F Y = 10 Kg.

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1 CAPIULO 1 COMPOSICIO Y DESCOMPOSICIO DE VECORES Problema 1.2 SEARS ZEMASKY Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ángulo de con la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical. F F Y F X F X = F cos 30 F X = 20 cos 30 F F X = 17,32 Kg. F Y = F sen 30 F Y = 20 * (0,5) F Y = 10 Kg. CAPIULO 1 COMPOSICIO Y DESCOMPOSICIO DE VECORES Problema 1.3 SEARS ZEMASKY Un bloque es elevado por un plano inclinado 20 0 mediante una fuerza F que forma un ángulo de con el plano. a) Que fuerza F es necesaria para que la componente F X paralela al plano sea de 8 Kg. b) Cuanto valdrá entonces la componente F Y 20 0 F X F Y F X = 8 Kg F X = F cos 30 8 = F cos 30 8 = F 0,866 F = 9,23 Kg. F Y = F sen 30 F Y = 9,23 * (0,5) F Y = 4,61 Kg. CAPIULO 2 EQUILIBRIO Problema 2.3 SEARS ZEMASKY Dos pesos de 10 kg están suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea esta sujeta a una cadena que cuelga del techo. a) Cual es la tensión de la cuerda? b) Cual es la tensión de la cadena? 1

2 Kg 10 Kg 3 = tensión de la cuerda 1 = 10 Kg. 2 = 10 kg = = 3 3 = 10 kg kg. 3 = 20 kg. CAPIULO 2 EQUILIBRIO 2.4 SEARS ZEMASKY El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones 2 y 3 Si θ 2 = θ 3 = 60 A C Y Y 1 2 1X 2X B = 50 kg 1Y = 1. sen 60 2Y = 2. sen 60 2X = 2. cos 60 1X = 1. cos 60 Σ F X = 0 2X - 1X = 0 (Ecuación 1) 2X = 1X 2. cos 60 = 1. cos 60 2 = 1 1Y + 2Y = 0 (Ecuación 2) 2

3 = = 2 sen 60 1,732 1 = 28,86 Kg. 1Y + 2Y = pero: = 50 kg. 1. sen sen 60 = 50 (Ecuación 2) Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 1. sen sen 60 = sen 60 + ( 1 ). sen 60 = sen 60 = 50 2 = 1 2 = 28,86 Kg. C) El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones 2 y 3 θ 2 = Y 2 θ 3 = X 3 = 50 kg = 50 kg 2Y = 2. sen 60 2X = 2. cos 60 Σ F X = 0 2X - 3 = 0 2X = 3 2. cos 60 = 3 (Ecuación 1) 2Y = 0 (Ecuación 2) 2Y = pero: = 50 kg. 2. sen 60 = 50 (Ecuación 2) 50 2 = = 57,73 kg. sen 60 2 = 57,73 Kg. Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1 2. cos 60 = 3 (57,73). cos 60 = 3 3 = (57,73) * 0,5 3 = 28,86 Kg. 3

4 CAPIULO 2 EQUILIBRIO SEARS ZEMASKY Problema 2-5 Calcular la tensión en cada cuerda de la figura 2-14 si el peso del cuerpo suspendido es 200 Kg. A C 45 0 B Caso a A A AY B 45 0 BY = 200 kg AX BX Caso a) = 200 kg Llamando a las tensiones de las cuerdas A, B, C como a, b, c respectivamente tenemos Figura 2.14 BX AX = 0 Pero: BX = B B cos45 AX = A cos 30 F X = - A cos 30 + B B cos 45 = 0-0,866 A + 0,707 B B = 0 (Ecuac 1) AY + BY = 0 Pero: BY = B B sen 45 AX = A sen 30 F Y = a sen 30 + b sen 45 = 0 0,5 A + 0,707 B B = 200 (Ecuac 2) - 0,866 A + 0,707 B = 0 (Ecuac 1) 0,707 B = 0,866 A B B = 0,866 A / 0,707 B B = 1,25 A Reemplazando en la ecuac 2 0,5 A + 0,707 B B = 200 (Ecuac 2) 0,5 A + 0,707 (1,25 A ) = 200 0,5 A + 0,8837 A = 200 1,366 A = 200 A = 200 / 1,366 A = 146,41 Kg. B B = 1,25 A 4

5 B B = 1,25 * (146,41) B B = 183,01 Kg. Caso b 45 0 B BY B A 45 0 A C = 200 kg C BX = 200 kg Caso b) BX A = 0 Pero: BX = B B cos 45 F X = B B cos 45 - A = 0 0,707 B B = A (Ecuac 1) BY - = 0 Pero: BY = B B sen 45 F Y = B B sen 45 = 0 0,707 B B = 200 (Ecuac 2) 0,707 B = 200 (Ecuac 2) B B = 200 / 0,707 B B = 283 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 0,707 B = A Ecuac 1 0,707 * (283 Kg.) = B 200 Kg. = B Caso c) Caso c 45 0 B A B AX = 200 kg AY A 45 0 BX = 200 kg BY 5

6 B A BX A = 0 Pero: BX = B B cos 45 AX = A cos 30 F X = B cos 45 - = 0 F X = B B cos 45 - A cos 30 = 0 AY + BY = 0 Pero: BY = B B sen 45 AY = A sen 30 F Y = B B sen 45 A sen 30 = 0 0,707 B B - 0,5 A = 200 (Ecuac 2) 0,707 B B = A 0,866 (Ecuac 1) ótese que tomamos ya que este es el ángulo que A forma con el eje de las x. Reemplazando ecuac 1 en ecuac 2 0,707 B B - 0,5 A = 200 (Ecuac 2) ( A 0,866) - 0,5 A = 200 0,366 A = 200 A = 200 / 0,366 A = 546,45 Kg. Pero: 0,707 B B = A 0,866 B B = A 0,866 / 0,707 B B = (546,45 ) * 0,866 / 0,707 B B = 669,34 Kg. Caso d) A 37 0 B 37 0 A Caso d C C 53 0 C C AY A B CY AX CX C 53 0 CX CY M CY CX FIGURA 2.8 FIGURA 2.9 6

7 Como el sistema se halla en equilibrio. Aplicando las condiciones de equilibrio a cualquier punto, ene este caso el nudo o entre C y A tenemos: De la figura 2.8 AX B B CX = 0 Pero: AX = A cos 37 CX = A cos 53 F X = AX cos 37 B B CX cos 53 = 0 Ecuac 1 AY CY = 0 Pero: AY = A sen 37 CY = c sen 53 F Y = A sen 37 C sen 53 = 0 A sen 37 = C sen 53 (Ecuac 2) De la figura 2.9 tenemos: CX - CX = 0 F X = c cos 53 c cos 53 = 0 CY + CY = 0 Pero: CY = C sen 53 F Y = C sen 53 + C sen 53 = 0 F Y = 2 C sen 53 = 0 (Ecuac 3) De la ecuac 3 tenemos: 2 C sen 53 = 0 Ecuac 3 2 C sen 53 = C (0,799) = 200 C 1,598 = 200 C = 200 / 1,598 C = 125 Kg. Reemplazando en la ecuac 2 A sen 37 C sen 53 = 0 Pero: C = 125 Kg. A sen 37 = C sen 53 A sen 37 = (125) * sen 53 A sen 37 = (125) * 0,799 A sen 37 = 99,875 A = 99,875 / sen 37 A = 99,875 / 0,602 7

8 A = 165,88 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 A cos 37 B B C cos 53 = 0 A cos 37 C cos 53 = BB Pero: C = 125 Kg. A = 165,88 Kg. B B = 165,88 * cos cos 53 B B = 165,88 * 0,8 125 * 0,602 B B = 57,29 Kg. CAPIULO 2 EQUILIBRIO SEARS - ZEMASKY Problema 2.6 Calcular la tensión del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote, en los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los casos 1000 Kg. el peso del objeto suspendido. Despréciese el peso del puntal? Caso a C CX CY C Caso a Sea = 1000 kg el peso suspendido. la tensión del cable y C la fuerza del pivote. Las condiciones del equilibrio de los sistemas exige para cada punto. Condición que la tomaremos en la unión del puntal con la cuerda. pero: CX = cos 30 F X = C - CX = 0 F X = C - cos 30 = 0 C = cos 30 (Ecuac 1) pero: CY = sen 30 F Y = CY = 0 F Y = sen 30 = 0 sen 30 = (Ecuac 2) sen 30 = Ecuac 2 = 1000 / 0,5 8

9 = 2000 KG. Reemplazando C = cos 30 (Ecuac 1) C = (2000) * cos 30 = 2000 * C = 1,732 KG. Caso b C Y C C x C Caso b ) pero: C X = C cos 30 F X = C X - = 0 F X = C cos 30 - = 0 = C cos 30 (Ecuac 1) pero: C Y = C sen 30 F Y = C Y = 0 F Y = C sen 30 = 0 C sen 30 = (Ecuac 2) C sen 30 = (Ecuac 2) C = / sen 30 = 1000 / 0,5 C = 2000 KG. Reemplazando = C cos 30 = 2000 * 0,866 = 1732 kg. Caso C) F X = C cos 30 - cos 45 = 0 cos 45 = C cos 30 Ecuac 1 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 F Y = C sen 30 + sen 45 - = 0 C sen 30 + sen 45 - = 0 Ecuac 2 0,707 = - C 0,5 Ecuac 2 9

10 45 0 Y 45 0 C Y C X C X Caso C C Igualando las ecuaciones 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 0,707 = - C 0,5 Ecuac 2 C 0,866 = - C 0,5 C 0,866 = C 0,5 C 0,866 + C 0,5 = ,366 C = 1000 C = 1000 / 1,366 C = 732,7 Kg Reemplazando 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 0,707 = (732,7) * 0,866 Ecuac 1 = (732,7) * 0,866 / 0,707 = 896,7 Kg. Caso d) C 45 0 X C 45 0 C X Y C Y 10

11 Pero: C X = C cos 45 X = cos 30 F X = C X - X = 0 F X = C cos 45 - cos 30 = 0 cos 30 = C cos 45 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) Igualando las ecuaciones Pero: C Y = C sen 45 Y = sen 30 F Y = C Y Y - = 0 F Y = C sen 45 sen 30 - = 0 C 0,707 = + 0,5 (Ecuac 2) 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) C 0,707 = + 0,5 (Ecuac 2) 0,866 = + 0,5 0,866-0,5 = 0,366 = 1000 = 1000 / 0,366 = 2720 kg. Reemplazando en la ecuac 1 C 0,707 = 0,866 C 0,707 = 2720 * 0,866 C = 2720 * 0,866 / 0,707 C = 3340 KG CAPIULO 2 EQUILIBRIO Problema 2.8 SEARS ZEMASKY Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de sus extremos. En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg. La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared situado en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra. a) Si la tensión en este cable no puede exceder de 1000 kg. Cuál sera la altura minima por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared. b) En cuantos Kg aumentaría la tensión del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga). h = 1000 kg X θ Y X = 80 cm P = 500 kg P = 500 kg 11

12 Y = 0 (Ecuación 1) Y = pero: = 500 kg. Y = 500 Y = sen θ Pero = 1000 Kg. Reemplazando en la ecuacion1 Y = sen θ 500 = (1000) * sen θ 500 sen θ = = 0, sen θ = 0,5 θ = arc sen 0,5 θ = h tg θ = = X h 80 h tg 30 = 80 h = 80 * tg 30 h = 46,18 cm CAPIULO 2 EQUILIBRIO Problema 2.9 SEARS ZEMASKY Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automóvil. El otro extremo esta atado a un árbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la cuerda, desplazándola lateralmente 60cm. Cual es la fuerza ejercida sobre el automóvil? 1X D = 15 metros X = 7.5 metros 1 θ 1Y X = 7.5 metros 2Y θ 2X Y = 60 cm Y 0,6 sen θ = = = 0,08 X 7,5 sen θ = 0,08 F = 50 Kg Σ F X = 0 2X - 1X = 0 2X = 1X Pero 1X = 1 cos θ 2X = 2 cos θ 1 cos θ = 2 cos θ (Ecuación 1) 12

13 1 = 2 2y + 1y - F = 0 (Ecuación 1) 2Y + 1Y = F pero: F = 50 kg. 2Y + 1Y = 50 2Y = 2 sen θ 1Y = 1 sen θ 2Y + 1Y = 50 2 sen θ + 1 sen θ = 50 (Reemplazando Ecuación 1) 1 = 2 2 sen θ + ( 2 ) sen θ = sen θ = = = = = 312,5 Kg. 2 sen θ 2*0,08 0,16 2 = 312,5 Kg 1 = 2 = 312,5 Kg CAPIULO 2 EQUILIBRIO SEARS ZEMASKY Problema 2.10 Calcular el máximo peso que puede soportar la estructura de la figura, si la máxima tensión que la cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la máxima compresión que puede soportar el puntal es de 2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga. = 1000 kg 45 0 = 1000 kg Y C C Y 45 0 X C X C C X = C. cos 45 C Y = C. sen 45 X =. cos 30 Y =. sen 30 Σ F X = 0 C X X = 0 (Ecuación 1) C X = X C. cos 45 =. cos 30 13

14 C. 0,707 = (1000). 0,866 C. 0,707 = C = = 1224,89 Kg. 0,707 C Y + Y = 0 (Ecuación 2) C Y + Y = C. sen sen 30 = (1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = 865, = = 1365,99 Kg. COCLUSIO: otese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg. Pero al formar la estructura podemos superar la tensión máxima. Esto se debe a que en la estructura es el conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente. CAPIULO 2 EQUILIBRIO SEARS ZEMASKY Problema 2.11 El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la cual reposa es 0,3. El peso es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio. Calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. A 2 F R F R 1 1Y X A A 2 2 BLOQUE A = 100 Kg. Σ F X = 0 2 F R = 0 (Ecuación 1) 2 = F R A = 0 (Ecuación 2) = A Pero: A = 100 Kg. = 100 Kg. Pero: μ = 0,3 F R = μ * (Ecuación 3) F R = (0,3) * 100 F R = 30 Kg. Pero: 2 = F R 2 = 30 Kg. 14

15 BLOQUE 2 Σ F X = 0 1X 2 = 0 1X = 2 (Ecuación 4) Pero: 2 = 30 Kg. 1X = 30 Kg. 1X = 1 cos X 1 = = = 42,426 Kg cos 45 0,707 1 = 42,426 Kg. 1Y 2 = 0 1Y = 2 (Ecuación 5) Pero 1Y = 1 sen 45 1Y = 2 = 1 sen 45 2 = 1 sen 45 2 = (42,426) sen 45 2 = 30 kg. CAPIULO 2 EQUILIBRIO SEARS ZEMASKY Problema 2.12 Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 kg. que actúa formando un ángulo de por encima de la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,5. Cual es el peso del bloque. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. F F F Y F = 10 Kg F R F X BLOQUE = 100 Kg. Σ F X = 0 F R - F X = 0 (Ecuación 1) F R = F X Pero: F X = F cos 30 F X = 10. 0,866 F X = 8,66 kg. Pero F R = F X 8,66 Kg. F R = μ (Ecuación 2) F R = 0,5 = 8,66 Kg F 8,66 = R = = 17,32 Kg. 0,5 0,5 = 17,32 KG. 15

16 + F Y = 0 (Ecuación 3) Pero: F Y = F sen 30 F Y = (10) 0,5 F Y = 5 Kg. Reemplazando en la ecuación 3 + F Y = 0 Pero: F Y = 5 Kg. = 17,32 KG. = + F Y = 17, = 22,32 Kg. = 22,32 Kg. CAPIULO 2 EQUILIBRIO SEARS ZEMASKY Problema 2.13 Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el sistema a velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque. P 1 = m 1 * g P 1 = 14 kg Bloque m 1 F R F R P 1X P 1Y θ 0 1 Bloque m 2 θ 0 P 2 = m 2 * g P 2 = 10 kg P 2 = m 2 * g P 2 = 10 kg Bloque P 1 = 14 Kg. Σ F X = 0 P 1X F R = 0 (Ecuación 1) P 1 = m 1 * g P 1 = 14 kg Pero: P 1X = P 1 sen θ P 1X = 14 sen θ Pero: P 1Y = P 1 cos θ P 1Y = 14 cos θ 1 - P 1Y = 0 (Ecuación 2) 1 = P 1Y 1 = 14 cos θ F R = μ * 1 (Ecuación 3) F R = 1/7 * (14 cos θ) F R = 2 cos θ 16

17 Bloque m 2 P 2 = 0 (Ecuación 4) P 2 = Pero: P 2 = 10 kg = P 2 = 10 kg Reemplazando en la ecuación 1 P 1X F R = 0 (Ecuación 1) senθ - 2 cos θ = 0 pero : sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1/ 2 cosθ = 1- sen 2 θ = 1- sen 2 θ Reemplazando senθ - 2 cos θ = senθ - 2 (1-sen 2 θ) 1/2 = senθ - (1-sen 2 θ) 1/2 = senθ = (1-sen 2 θ) 1/2 Elevando al cuadrado en ambos lados 2 1/ 2 [ ] sen 2 sen θ = θ senθ + 49 sen 2 θ = 1 sen 2 θ 49 sen 2 θ + sen 2 θ 70 senθ = 0 50 sen 2 θ 70 sen θ + 24 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. sen θ = sen θ = - (- 70) ± 70 ± ( - 70) 2 2 (50) 70 ± 10 = (50) ± = sen θ 1 = = = 0,8 θ 1 = arc sen 0,8 θ 1 = 53, sen θ 2 = = = 0,6 θ 2 = arc sen 0,6 θ 2 = 36, θ 1 = 53,13 0 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha. θ 2 = 36,86 0 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda. 17

18 CAPIULO 2 EQUILIBRIO SEARS ZEMASKY Problema 2.14 Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de y conectado a un segundo bloque de peso pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3. a) Calcular el peso para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hallese el peso para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de permanecerá el bloque en reposo? Bloque P 1 Bloque P 1 = 100 kg 1 F R F R P 1X P 1Y =? = m 2 * g =? P 1 = m 1 * g P 1 = 100 kg Calcular el peso para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. Bloque P 1 = 100 Kg. Σ F X = 0 P 1X F R = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) P 1X = 50 kg. Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. 1 - P 1Y = 0 (Ecuación 2) 1 = P 1Y 1 = 86,6 Kg. F R = μ C * 1 (Ecuación 3) μ C = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) F R = 0,3 * (86,6) F R = 25,98 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. P 1X F R = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = 50 kg. F R = 25,98 Kg. = P 1X + F R = 0 18

19 = ,98 = 75,98 Kg. BLOQUE (por que se desplaza a velocidad constante) = 0 = (Ecuación 4) Pero = 75,98 Kg. = 75,98 Kg. Hállese el peso para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. P 1 = 100 kg Bloque P 1 = 100 Kg. Σ F X = 0 P 1X + F R = 0 (Ecuación 1) F R Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) P 1X = 50 kg. Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. 1 Bloque P 1 F R 1 - P 1Y = 0 (Ecuación 2) 1 = P 1Y 1 = 86,6 Kg. P 1X P 1Y F R = μ C * 1 (Ecuación 3) μ C = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento) F R = 0,3 * (86,6) F R = 25,98 Kg. P 1 = m 1 * g P 1 = 100 kg Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. P 1X + F R = 0 (Ecuación 1) Bloque Pero: P 1X = 50 kg. F R = 25,98 Kg. = P 1X - F R = 0 = 50-25,98 = 24 Kg. = m 2 * g =? BLOQUE (por que se desplaza a velocidad constante) = 0 = (Ecuación 4) 19

20 Pero = 24 Kg. = 24 Kg. Para que intervalo de valores de permanecerá el bloque en reposo? SI O SE MUEVE EL CUERPO HACIA ARRIBA, la fuerza de rozamiento actúa hacia la izquierda Bloque P 1 = 100 Kg. Σ F X = 0 P 1X - F R = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) P 1X = 50 kg. Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. 1 - P 1Y = 0 (Ecuación 2) 1 = P 1Y 1 = 86,6 Kg. F R = μ C * 1 (Ecuación 3) μ C = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) F R = 0,4 * (86,6) F R = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. P 1X - F R = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = 50 kg. F R = 25,98 Kg. = P 1X + F R = 0 = ,64 = 84,64 Kg. BLOQUE = 0 = (Ecuación 4) Pero = 84,64 Kg. = 84,64 Kg. SI O SE MUEVE EL CUERPO HACIA ABAJO, la fuerza de rozamiento actúa hacia la derecha. Bloque P 1 = 100 Kg. Σ F X = 0 P 1X + F R = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = P 1 sen 30 P 1X = 100 * (0,5) 20

21 P 1X = 50 kg. Pero: P 1Y = P 1 cos 30 P 1Y = 100 * 0,866 P 1Y = 86,6 Kg. 1 - P 1Y = 0 (Ecuación 2) 1 = P 1Y 1 = 86,6 Kg. F R = μ C * 1 (Ecuación 3) μ C = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento) F R = 0,4 * (86,6) F R = 34,64 Kg. Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1. P 1X + F R = 0 (Ecuación 1) Pero: P 1X = 50 kg. = P 1X - F R = 0 F R = 25,98 Kg. = 50-34,64 = 15,36 Kg. BLOQUE = 0 = (Ecuación 4) Pero = 15,36 Kg. = 15,36 Kg. Problema 2-15 Sears zemanski El bloque A pesa 4 kg y el bloque B pesa 8 kg. El coeficiente cinético de rozamiento entre todas las superficies es 0,25. Calcular la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante. a) Si A queda sobre B y se mueve con el? Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. BB - BB A = 0 BB = BB + BB = BB = A 8 kg + 4 kg 12 kg Pero: μ C = 0,25 F R1 = μ C BB 21

22 F R1 = 0,25 * 12 kg F R1 = 3 kg. Bloque B A = 4 kg. P B F R1 P B = 8 kg. A B F R1 es la fuerza de rozamiento cinético entre la masa inferior B y el piso. 0 F X = ma (por que se desplazan a velocidad constante, no existe aceleración) P - F R1 = 0 P = F R1 P = 3 kg. b) Si A se mantiene en reposo? Bloque A A P A = 4 kg. B = 8 kg. F R2 es la fuerza de rozamiento cinético entre los 2 cuerpos. F R2 A F R1 es la fuerza de rozamiento cinético entre la masa inferior B y el piso. Bloque A F X = ma 0 (por que el bloque A no se desplaza, por que esta atado a la cuerda) F R2 - = 0 F R2 = A A = 0 A = A A = 4 kg Pero: μ C = 0,25 F R2 = μ C A F R2 = 0,25 * 4 kg F R2 = 1 kg. Bloque B P B F R1 A B F R2 22

23 Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. BB - BB A = 0 BB = BB = BB = BB + A 8 kg + 4 kg 12 kg Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B. Pero: μ C = 0,25 F R1 = μ C BB F R1 = 0,25 * 12 kg F R1 = 3 kg. 0 F X = ma (por que el bloque B se desplaza hacia la izquierda a velocidad constante) P - F R2 F R1 = 0 P = F R2 + F R1 P = 1 kg + 3 kg P = 4 kg c) Si A y B están unidos por una cuerda ligera flexible que pasa por una polea fija sin rozamiento. F R2 es la fuerza de rozamiento cinético entre los 2 cuerpos. A = 4 kg. F R1 es la fuerza de rozamiento cinético entre la masa inferior B y el piso. P B = 8 kg. Bloque A F X = ma 0 (por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD COSAE) F R2 - = 0 F R2 = Bloque A Bloque B B A A = 0 A = A A = 4 kg F R2 A P A F R1 F R2 Pero: μ C = 0,25 F R2 = μ C A F R2 = 0,25 * 4 kg F R2 = 1 kg. A B 23

24 F R2 = = 1 kg. Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. BB - BB A = 0 BB = BB + BB = BB = A 8 kg + 4 kg 12 kg Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B. Pero: μ C = 0,25 F R1 = μ C BB F R1 = 0,25 * 12 kg F R1 = 3 kg. 0 F X = ma (por que el bloque B se desplaza hacia la izquierda a velocidad constante) P - F R2 F R1 = 0 P = F R2 + F R1 + P = 1 kg + 3 kg + 1 kg P = 5 kg Problema 2-16 Sears zemanski El bloque A, de peso, desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado S cuya pendiente es 37 0 mientras la tabla B, también de peso, descansa sobre la parte superior de A. La tabla esta unidad mediante una cuerda al punto mas alto del plano. A) Dibujar un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque A. c) Si el coeficiente cinético de rozamiento entre las superficies A y B y entre S y A es el mismo, determinar su valor. F R1 = fuerza de rozamiento entre los dos bloques F R2 = fuerza de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado B A 37 0 Diagrama de cuerpo libre Bloque B 24

25 Por que el bloque B no se desplaza por que la cuerda no lo permite y la aceleración es cero. - BX F R1 = 0 Pero: F R1 = μ BB B B BY = 0 B B = BY = m g cos 37 Bloque B B sen 37 = BX B BX = B B sen 37 = m g sen 37 BX F R1 BY AX = A sen 37= m g sen 37 cos 37 = BY B BY = B B cos 37 = m g cos 37 AY = A cos 37 = m g cos 37 A AY BY = 0 A = AY + BY A = B B cos 37 + cos 37 BB A = m g cos 37 + m g cos 37 A = 2m g cos 37 Diagrama de cuerpo libre BX = AX B = m B g Bloque A A F R2 F R1 BY = AY Por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD COSAE, la aceleración es cero. F R1 + F R2 - BX AX = 0 B = A = m g Pero : AX = BX F R1 + F R2 = BX + AX F R1 + F R2 = m g sen 37 + m g sen 37 F R1 + F R2 = 2 m g sen 37 (Ecuacion 1) F R1 = μ B B (+) F R2 = μ A F R1 + F R2 = μ B B + μ A F R1 + F R2 = μ ( B B + A) (Ecuacion 2) Pero: A = 2m g cos 37 Pero: B B = BY = BB cos 37 = m g cos 37 25

26 B B = m g cos 37 Reemplazando en la ecuacion 2 F R1 + F R2 = μ ( B B + A) (Ecuacion 2) F R1 + F R2 = μ (m g cos m g cos 37 ) F R1 + F R2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) Igualando la Ecuación 1 y la Ecuación 3 F R1 + F R2 = 2 m g sen 37 (Ecuacion 1) F R1 + F R2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3) 2 m g sen 37 = μ (3m g cos 37 ) Cancelando los terminos semejantes 2 sen 37 = μ (3 cos 37 ) Despejamos μ 2 sen 37 μ = = 3 cos 37 μ = 0,5 2 3 tg 37 Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky Problema 2 17 Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por una cuerda al bloque C. El bloque A = B = 20 ewton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante. a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B c) Cual es el peso del bloque C? Bloque B 2 Bloque A 1 F R2 2 Bloque C F R1 26

27 Bloque A Bloque C F R1 A C Bloque A Por que se desplaza a velocidad constante, luego la aceleración es cero. 1 F R1 = 0 (Ecuación 1) 1 = F R1 Bloque B A 1 = 0 A = 1 A = 1 = 20 ewton Pero: F R1 = μ 1 F R1 = μ 20 = 0,5 * 20 F R1 = 10 ewton 1 BX 2 F R BY 1 = F R1 1 = 10 ewton Bloque B Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. 2 BX 1 F R2 = 0 (Ecuación 2) Pero: BX = B sen 37 BX = 20 sen 37 = 12,036 ewton BX = 12,036 ewton 1 = 10 ewton BY 2 = 0 BY = 2 = B B cos 37 = 20 cos 37 BY = 2 = 15,972 ewton B Pero: F R2 = μ 2 F R2 = μ 20 = 0,5 * 15,972 F R2 = 7,986 ewton Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión 2 27

28 2 BX 1 F R2 = 0 (Ecuación 2) 2 = BX F R2 2 = 12, ,986 2 = 30 ewton Bloque C Por que se desplaza a velocidad constante hacia la derecha, luego la aceleración es cero. C 2 = 0 C = 2 = 30 ewton C = 30 ewton Capitulo 2 Equilibrio Sears - Zemansky Problema 2 18 una cadena flexible de peso cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura, como indica la figura En cada extremo la cadena forma un ángulo θ con la horizontal a) Cual es el valor y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho de la izquierda? b) Cual es la tensión de la cadena en el punto mas bajo? F X F X = 0 F Y F Y = 0 2F Y = 0 = 2F Y Pero: F Y = F sen θ F Y F F θ θ F Y θ θ = 2F Y = 2(F sen θ) = 2 F sen θ F = 2 sen θ - F X = 0 = F X F X F X θ w/2 Pero: F X = F cos θ = F X = F cos θ = F cos θ Pero: F = 2 sen θ Reemplazando = F cos θ = cosθ 2 sen θ F Y F X F θ w/2 28

29 = 2 = 2 cos θ sen θ ctg θ Problema de Sears Zemansky Un bloque de 8 kg y otro de 16 kg están suspendidos en los extremos opuestos de una cuerda que pasa por una polea. Calcular: a) La aceleración del sistema? b) La tensión de la cuerda c) La tensión de la cuerda que sostiene la polea. Desprecie el peso de esta. F Y = m 1 a - m 1 g = m 1 a (Ecuación 1) F Y = m 2 a m 2 g - = m 2 a (Ecuación 2) 1 Sumando las ecuaciones - m 1 g = m 1 a (Ecuación 1) m 2 g - = m 2 a (Ecuación 2) m 2 g - m 1 g = m 1 a + m 2 a m 2 g - m 1 g = (m 1 + m 2 ) a 16 * 9,8 8 * 9,8 = (8 + 16) a 156,8 78,4 = 24 a 78,4 = 24 a 1 = m 1 g m 1 m 2 a = 3,266 m/seg 2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión - m 1 g = m 1 a (Ecuación 1) = m 1 a + m 1 g = 8 * 3, * 9,8 = 26, ,4 = 104,528 ewton 2 = m 2 g 1 = 2 = 2 * 104,528 1 = 209,056 ewton. 29

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