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1 IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL BA1 Física y Química UD 1: Cinemática 1. El vector de posición de una partícula, en unidades del SI, queda determinado por la expresión: r (t)=3t i +(t t) j. a) Determina los vectores de posición de la partícula en los instantes t=1 s y t=4 s. Calcula el vector desplazamiento y su módulo entre los instantes anteriores. Calcula la velocidad media y su módulo entre los dos instantes anteriores. Vectores de posición: r (1)=3 1 i +(1 1) j=3 i j (m), r (4)=3 4 i +(4 4) j=1 i +8 j (m) Vector desplazamiento y módulo: Δ r= r (4) r (1)=(1 i +8 j) (3 i j)=9 i +9 j (m), Δ r = 9 +9 = 16=9 m Vector velocidad media y módulo: v m = Δ r Δ t = 9 i +9 j 4 1 = 9 i +9 j =3 i +3 j (m/s), v 3 m = v m = 3 +3 = 18=3 m/ s b) Qué condiciones deben darse para que el módulo del desplazamiento coincida con la distancia recorrida en cualquier intervalo de tiempo? La trayectoria debe ser rectilínea y sin retroceso. c) Determina la ecuación de la trayectoria y represéntala gráficamente. La ecuación del movimiento en forma paramétrica: x=3t y=t t Se despeja el tiempo de la 1ª ecuación t= x 3 Se sustituye en la ª ecuación: Se trata de la parábola: y= 1 9 x 3 x y= ( x 3 ) x 3 d) Determina la expresión de la velocidad media entre dos instantes t y t+ Δ t y la velocidad instantánea en un instante t. Calcula el módulo de la velocidad instantánea en t=4 s. Posición en un instante t : r (t)=(3 t, t t) Posición en un instante t+δ t : r (t+δ t)=(3(t +Δ t ),(t +Δ t ) (t+δ t))=(3t +3Δ t, t +t Δ t+δ t t Δ t) Raúl Corraliza 1

2 Velocidad media: v m = Δ r r (t +Δ t) r (t) = Δ t Δ t Velocidad instantánea: v (t)= lim v m = lim (3, t +Δ t )=(3, t ) (m/s) Δ t 0 Δt 0 = (3 Δ t, t Δ t+δ t Δ t) =(3, t+δ t ) (m/s) Δ t En t=4 s : v (4)=(3, 4 )=(3,6) (m/ s) v (4) = 3 +6 = 45=3 5 m/ s e) Determina la expresión de la aceleración media entre dos instantes t y t+ Δ t y la aceleración instantánea en un instante t. Calcula el módulo de la aceleración instantánea en t=4 s. Velocidad en un instante t+ Δ t : v (t+δ t)=(3,(t +Δ t) )=(3,t + Δ t ) Aceleración media: a m = Δ v t) v(t ) = v(t+δ = Δ t Δ t Aceleración instantánea: a(t)= lim a m =lim (0,)=(0,) (m/ s ) Δt 0 Δt 0 (0, Δ t) =(0,) (m/ s ) Δ t En t=4 s : a(4)=(0,) (m/s) a(4) = 0 + = 4= m/s f) Qué condiciones deben darse para que la velocidad media en cualquier intervalo coincida con la instantánea en cualquier instante? Y en el caso de la aceleración? Tan solo en el caso en que la magnitud media sea constante, esta coincidirá con el valor instantáneo en cualquier instante.. Un conductor transita por una carretera recta con una velocidad de 7 km/h y ve que se enciende la luz ámbar de un semáforo situado a una distancia de 100 m. Si el semáforo tarda s en cambiar a rojo y el coche frena con una aceleración de m/s, cometerá infracción? El movimiento del coche puede describirse mediante un MRUA. Se considera el eje OX positivo en la dirección y sentido del movimiento, con origen en el punto donde inicia la frenada. En este caso, x 0 =0, v 0 =7 km/ h=0 m/ s y a 0 = m/ s (con signo negativo por tratarse de frenada), siendo las ecuaciones de movimiento (en unidades del SI): x(t )=x +v t+ a0 t v(t )=v 0 +a 0 x(t)=0t t v(t)=0 t t En primer lugar se determina la posición donde se detiene el coche una vez ha frenado, para lo cual se determina en primer lugar el instante de tiempo en que se detiene: v(t )=0 0 t=0 t=10 s Y a continuación se sustituye este valor en la ecuación de la posición: x(10)= =100 m Así pues, dado que el coche no excede la posición del semáforo una vez está en rojo, el conductor no cometerá infracción. Raúl Corraliza

3 3. Se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota con una velocidad de 10 m/s. En ese instante, se deja caer otra, partiendo del reposo, desde 10 m de altura. Calcula: a) La altura de encuentro. El movimiento de ambas pelotas puede describirse mediante un MRUA. Se considera el eje OX positivo en la dirección vertical hacia arriba (la aceleración de la gravedad tendrá pues signo negativo, pues va dirigida hacia abajo), con origen en el punto de lanzamiento de la primera pelota. Para la primera pelota x 01 =0, v 01 =10 m/s y a 01 = g= 9,8 m/ s, siendo sus ecuaciones del movimiento (en unidades del SI): x (t)=x +v t+ a01 t x 1(t)=10t 4,9t v v 1 (t )=v 01 +a 1 (t )=10 9,8t 01 t Para la segunda pelota x 0 =10 m, v 0 =0 (parte del reposo) y a 0 = g= 9,8 m/ s, siendo sus ecuaciones del movimiento (en unidades del SI): x (t )=x +v t + a 0 t x (t)=10 4,9 t v v (t)=v 0 +a 0 t (t )= 9,8t Ambas pelotas se encontrarán en el valor del instante de tiempo tal que x 1 (t)=x (t) 10t 4,9t =10 4,9t ; 10t=10 t=1 s. La altura del encuentro se determina sustituyendo este valor en una de las ecuaciones de la posición: x(1)=10 4,9 1 =5,1 m. b) La velocidad de ambas pelotas en el momento del encuentro. Se determinan sustituyendo el valor de tiempo del apartado anterior en las ecuaciones del movimiento: En el caso de la primera pelota: v 1 (1)=10 9,8 1=0, m/ s. En el caso de la segunda pelota: v (1)= 9,8 1= 9,8 m/s. c) La diferencia de tiempo con la que ambas llegarán al suelo. En primer lugar se calcula el instante de tiempo en que llega la primera pelota al suelo: x 1 (t)=0 10 t 4,9 t =0 ; t (10 4,9t)=0. La primera solución t=0 no tiene sentido en este contexto, pues corresponde al instante del lanzamiento. La segunda solución es la correcta: 10 4,9t=0 t= 10 4,9 =,04 s. A continuación se calcula el instante de tiempo en que llega la segunda pelota al suelo: x (t )=0 10 4,9t =0 ; t= 10. De las dos raíces, tan solo tiene sentido físico la 4,9 correspondiente a un tiempo positivo: t=1,43 s. La diferencia de tiempo será: Δ t=,04 1,43=0,61 s. Raúl Corraliza 3

4 4. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, y al llegar al extremo lleva una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la altura del edificio es 60 m y la anchura de la calle es 30 m: a) Escribe la ecuación de la trayectoria. Se considera un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto del suelo en la vertical del borde del tejado por el que resbala la pelota, el eje OX positivo en la dirección horizontal dirigido hacia la calle y el eje OY positivo en la dirección vertical hacia arriba (la aceleración de la gravedad tendrá pues signo negativo, pues va dirigida hacia abajo). El vector velocidad inicial, v 0, puede descomponerse en sus componentes cartesianas de la forma: v 0 x =v sen 60º=10 3 =5 3 m/s (Signo positivo por dirigirse hacia la calle) v 0 y = v cos60º 10 1 = 5 m/ s (Signo negativo por dirigirse hacia abajo) El movimiento en el eje OX puede describirse mediante un MRU con x 0 =0 y v 0 x =5 3 m/s, siendo sus ecuaciones (en unidades del SI): x(t )=x +v x t 0 0 x(t)=5 3 t v x (t)=v 0 x v x (t)=5 3 m/s El movimiento en el eje OY puede describirse mediante un MRUA con y 0 =60 m, v 0 y = 5 m/ s y a 0 y = 9,8 m/s, siendo sus ecuaciones (en unidades del SI): y(t)= y +v y t a 0 y t y(t)=60 5 t 4,9t v y (t )=v 0 y +a 0 y v t y (t)= 5 9,8t La ecuación de la trayectoria se determina eliminando el tiempo de las ecuaciones paramétricas para las coordenadas de posición: x=5 3 t y=60 5t 4,9 t Se despeja el tiempo de la primera ecuación, t= x, y se sustituye en la segunda: 5 3 x 4,9 ( x y= ) ; y=60 x 3 4,9 75 x Se trata de la parábola de ecuación: y= 4,9 75 x 3 3 x+60 b) Dónde golpeará primero, contra el suelo o contra la pared opuesta? Se sustituye en la ecuación de la trayectoria la coordenada x=30 m, correspondiente a la posición de la pared opuesta, y se determina la altura de la pelota cuando alcanza el otro extremo de la calle: y= 4, = 4, = 16,1 m 3 75 Puesto que este valor negativo no tiene sentido físico, la pelota choca antes contra el suelo que contra la pared opuesta. Raúl Corraliza 4

5 Para confirmarlo, como alternativa, se determina la posición horizontal en la que la pelota alcanza el suelo, sustituyéndose en la ecuación de la trayectoria la coordenada y=0 y resolviéndose la ecuación: 0= 4,9 75 x 3 3 x+60 ; 4,9 x +5 3 x 4500=0 x= 5 3± (5 3) 4 4,9 ( 4500) = 4,9 43,30+300,1 = 56,8 9,8 9,8 =6,1 m 43,30 300,1 = 343,4 = 35,04 m 9,8 9,8 = 5 3± ,8 = 43,30±300,1 = 9,8 De ambas soluciones, la negativa no tiene sentido físico, luego la pelota alcanza el suelo a 6,1 m de la pared, antes de llegar al otro lado de la calle. 5. Una bicicleta recorre 10 km en media hora con velocidad constante. Si el diámetro de cada rueda es igual a 90 cm, calcula: a) El número de vueltas que da una rueda. b) El ángulo barrido por el radio. La rueda recorre un arco Δ s=10 km=10000 m. El ángulo barrido por el radio (el ángulo girado) se calcula a partir de la definición de radián: Δ ϕ= Δ s R = =, rad 0,45 El número de vueltas se calcula dividiendo entre π rad que se gira en una vuelta: n= Δ ϕ π =, =3536,78 vueltas. π c) El período y la frecuencia de la rueda. El periodo se calcula dividiendo el intervalo total de tiempo entre el número de vueltas: T = Δ t n = 0, ,78 =0,5045 s La frecuencia es el inverso del periodo: f = 1 T = 1 =1,981 s 1 0,5045 d) La velocidad angular de un radio. La velocidad angular se calcula dividiendo el desplazamiento angular total entre el intervalo total de tiempo: ω= Δ ϕ Δ t =, =1,34 rad /s 0, Raúl Corraliza 5

6 6. Un automóvil que lleva una velocidad de 7 km/h frena y se detiene después de recorrer 40 m. Si las ruedas tienen un diámetro de 50 cm, calcula: a) La aceleración angular, supuesta constante. El movimiento del automóvil puede describirse mediante un MRUA. Se considera el eje OX positivo en la dirección horizontal en el sentido del movimiento, con origen en el punto donde se inicia la frenada. En este caso, x 0 =0, v 0 =7 km/ h=0 m/ s y a 0 será una constante por calcular, siendo sus ecuaciones del movimiento (en unidades del SI): x(t )=x +v t+ a 0 t x(t)=0 t+ a 0 t v(t )=v 0 +a 0 t v(t)=0+a 0 t Así mismo, eliminando el tiempo de ambas ecuaciones, se obtiene la expresión, más útil en este caso: v v 0 =a 0 (x x 0 ) v 0 =a 0 (x 0) ; v 400=a 0 x Si en esta última ecuación sustituimos la condición de que el automóvil se detiene ( v=0 ) después de recorrer 40 m ( x=40 m ), podemos obtener directamente la aceleración de frenado: 0 400= a 0 40 ; a 0 = 400 = 5 m/s 40 La aceleración angular puede determinarse a partir de la lineal (corresponde a la aceleración tangencial) mediante la expresión: α= a 0 R = 5 = 0 rad / s 0,5 b) El tiempo que tarda en pararse. El tiempo que tarda en pararse se calcula sustituyendo en la ecuación de la posición la que alcanza en el momento en que se detiene, x=40 m, una vez conocida la aceleración de frenado a 0 = 5 m/s : x(t)=40 0 t+ ( 5 ) t =40 ; 5 t 0 t +40=0 ; 5t 40t +80=0 ; t 8 t+16=0 t= 8± ( 8) = 8± 0 = 8 1 =4 s Así pues, el automóvil tarda 4 s en detenerse. c) El número de vueltas que dan las ruedas. d) El ángulo que describen las ruedas. La rueda recorre un arco Δ s=40 m. El ángulo que describen las ruedas (el ángulo girado) se calcula a partir de la definición de radián: Δ ϕ= Δ s R = 40 =160 rad 0,5 El número de vueltas se calcula dividiendo entre π rad que se gira en una vuelta: n= Δ ϕ π = 160 π =5,46 vueltas. Raúl Corraliza 6

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