Física I. Curso 2010/11. Departamento de Física Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca

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1 Física I. Curso 2010/11 Departamento de Física Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca Profs. Alejandro Medina Domínguez y Jesús Ovejero Sánchez Tema 1. Cinemática Índice 1. Introducción 3 2. Movimiento en una dimensión Velocidad media Velocidad instantánea Aceleración Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado Movimiento en dos y tres dimensiones Velocidad Aceleración Componentes de la aceleración Ejemplos particulares Movimiento circular Movimiento parabólico Movimiento relativo Velocidad relativa Aceleración relativa Problemas 22

2 Tema 1. Cinemática 2

3 Tema 1. Cinemática 3 1. Introducción La Mecánica es una parte de la Física que tiene por objeto estudiar el estado de movimiento de los cuerpos, buscar sus causas y establecer las leyes que rigen estos movimientos. Dependiendo de la naturaleza del estudio, la Mecánica se divide en dos partes Cinemática y Dinámica. La Cinemática estudia de forma genérica el movimiento independientemente de las causas que lo producen. Sin embargo, la Dinámica atiende también a las causas que lo provocan. Dentro de la Dinámica, existe otra parte, de especial interés en Ingeniería, denominada Estática. Trata de estudiar en que circunstancias los cuerpos están en reposo, aunque estén sometidos a varias fuerzas. Los elementos básicos de la Cinemática son el espacio, el tiempo y el móvil. La Cinemática Clásica admite la existencia de un espacio y un tiempo absolutos y continuos. Este espacio es independiente de los objetos materiales que contiene. Postula también la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todo el Universo y que es el mismo para todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento. De este modo el tiempo se puede representar como una variable real. Aunque en este curso nosotros nos dedicaremos esencialmente al estudio de la Mecánica Clásica, cabe decir que existen otros modos dentro de la Física de entender el espacio y el tiempo. En Mecánica Relativista esos conceptos no son absolutos sino que están relacionados entre sí y con el observador y su estado de movimiento. Es la mecánica apropiada para el estudio de problemas en que aparecen velocidades próximas a la de la luz. Existe otro tipo de descripción mecánica de la naturaleza apropiada para sistemas de dimensiones pequeñas, como átomos y núcleos. Se denomina Mecánica Cuántica. En ella la posición y la velocidad de una partícula no se pueden determinar simultáneamente con precisión arbitraria (Principio de Incertidumbre). Un cuerpo cualquiera puede considerarse como un punto material o como una partícula cuando sus dimensiones son despreciables frente a las dimensiones de sus desplazamientos. Así por ejemplo, la Tierra puede considerarse como un objeto puntual al estudiar su movimiento respecto al sol, puesto que su diámetro son aproximadamente 10,000 km y la distancia media al sol son km. Es por lo tanto, un concepto relativo relacionado con el observador. En Mecánica se considera que un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia en el espacio con relación a otros que consideramos fijos y que sirven de referencia. Pero también

4 Tema 1. Cinemática 4 puede suceder que no sólo el cuerpo se mueva sino que también lo haga el sistema de referencia. Por lo tanto, el concepto de movimiento siempre tiene un sentido relativo. El mejor modo de establecer la relación entre el cuerpo en estudio y su referencial es utilizando un sistema de coordenadas. Para un punto material bastará determinar sus coordenadas, pero para un cuerpo extenso habrá que determinar las coordenadas de todos sus puntos. Se dice que el movimiento del punto material es unidimensional si queda perfectamente determinado por una única coordenada, x = x(t). Esa ecuación matemática describe la trayectoria del cuerpo. A cada valor de la variable temporal, t, se le asigna unívocamente una posición de la partícula. Este tipo de movimiento se denomina a veces rectilíneo. Existen muchos movimientos reales, que tienen lugar en el espacio tridimensional ordinario, que pueden entenderse como unidimensionales, pues de algún modo sólo una de las coordenadas de posición varía apreciablemente en el tiempo. Ejemplos de esto son un movimiento de caída libre o el de un tren sobre unos raíles en línea recta. En otras ocasiones es necesario estudiar la evolución de dos coordenadas para describir correctamente la evolución de la partícula. En este caso es como si el movimiento tuviera lugar sobre una superficie plana (bidimensional). Ejemplos de estos movimientos son el de una bola de billar sobre una mesa o el de un proyectil. En general, para describir el movimiento de una partícula en el espacio tridimensional se requiere una trayectoria de la forma: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). Expresado en forma vectorial, el vector de posición de la partícula es una función del tiempo de la forma: r = r(t). 2. Movimiento en una dimensión 2.1. Velocidad media Consideremos una partícula o punto material moviéndose sobre una línea recta representada por la coordenada x. Supongamos que en el instante t i se encuentra en la posición x i y en el t f en la posición x f. Se define la velocidad media de la partícula en ese intervalo de tiempo como: v = x f x i t f t i x t [ v] = LT 1

5 Tema 1. Cinemática 5 x x f x(t) x i α t x t i t f t La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida por la partícula, sólo depende del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Si una partícula parte de un determinado punto y vuelve a él después de un tiempo, su velocidad media en ese intervalo es cero. Geométricamente, la velocidad media representa la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final Velocidad instantánea v = x t = tan α. La velocidad de la partícula en un instante de tiempo cualquiera se denomina velocidad instantánea. Es un concepto importante especialmente cuando la velocidad media en diferentes intervalos de tiempo no es constante. Para determinarla debemos hacer el intervalo temporal tan pequeño como sea posible de modo que esencialmente no tengan lugar cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo. Matemáticamente: x v = lím v = lím t 0 t 0 t = dx = v(t) = dx(t).

6 Tema 1. Cinemática 6 x t 0 x(t) x i t i t + t i t La interpretación geométrica se puede entender a partir de la figura. Cuando t 0, el cociente, x/ t, representa la pendiente de la recta tangente a la curva, x(t), en el instante t i. Una vez conocida la velocidad como función del tiempo, v = v(t), es posible determinar la posición de la partícula en cualquier instante sin más que utilizar el concepto de integral. v = dx v = dx t x x 0 dx = v v 0 v(t) = x = x 0 + v(t) (1) t 0 A partir de esto, el desplazamiento, x x 0, se puede interpretar geométricamente como el área bajo la curva v = v(t) Aceleración Cuando la velocidad de una partícula permanece constante se dice que realiza un movimiento uniforme, pero en general la velocidad puede variar con el tiempo. Supongamos una partícula que en el instante t i tiene velocidad v i y en el t f velocidad v f. Se define la aceleración media en ese intervalo como : ā = v f v i t f t i = v t De esa ecuación se deduce que las dimensiones de esta nueva magnitud son, [ā] = LT 2. En algunos casos la aceleración media es diferente en distintos intervalos temporales y conviene entonces definir una aceleración instantánea como límite de la aceleración media en un intervalo temporal muy pequeño. a = lím ā = lím v t 0 t 0 t = dv = a(t) = dv(t).

7 Tema 1. Cinemática 7 Si conocemos la aceleración instantánea, a = a(t), podemos calcular la velocidad instantánea, v = v(t), así: a(t) = dv dv = a v v 0 dv = t t 0 a = v(t) = v 0 + La aceleración, en general, se puede relacionar con la posición del siguiente modo: a(t) = dv = d ( ) dx = d2 x = a(t) = d2 x 2. 2 Una relación importante entre velocidad y aceleración se obtiene así: a = dv dv = a v dv = av = a dx v v 0 v dv = x x 0 a dx = v 2 = v t = v dv = a dx x t 0 a(t). (2) x 0 a(x) dx (3) 2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado Dos casos analíticamente sencillos son el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado. El primero se produce cuando v v 0 =cte. y el segundo cuando a a 0 =cte. En el caso particular v = v 0 =cte., la integral (1) es trivial y resulta: x = x 0 + v 0 t t 0 = x 0 + v 0 (t t 0 ), que es la relación que liga posición con tiempo en un movimiento unidimensional uniforme. Si la aceleración es constante, a = a 0 =cte. En este caso a a(t) y a partir de (2), v = v 0 + a 0 t t 0 = v 0 + a 0 (t t 0 ) = v(t) = v 0 + a 0 (t t 0 ). (4) Utilizando las ecuaciones (1) y (4) también se puede obtener para el caso de movimiento uniformemente acelerado: x = x 0 + t Por último, a partir de (3) se obtiene: t 0 [v 0 + a 0 (t t 0 )] = x 0 + v 0 (t t 0 ) a 0(t t 0 ) 2. v 2 = v a 0 (x x 0 ). En la figura adjunta se resumen las interpretaciones geométricas de las ecuaciones que hemos obtenido para el movimiento uniforme y uniformemente acelerado.

8 Tema 1. Cinemática 8 Movimiento uniforme: a = 0 v v 0 = cte. x = x 0 + v 0 (t t 0 ) v x v= cte. a=0 x-x 0 x x 0 ~ v0 t 0 t t t 0 t t Movimiento uniformemente acelerado: a a 0 = cte. v = v 0 + a 0 (t t 0 ) x = x 0 + v 0 (t t 0 ) + a 0 2 (t t 0) 2 v v x v 0 ~ a0 ~ v x 0 t 0 t t t 0 t 2.1 Ejemplo Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación, x(t) = 2t 3 + 5t (S.I.). Determínense:

9 Tema 1. Cinemática 9 a) La velocidad y aceleración instantáneas. b) La posición, velocidad y aceleración en t = 2 s. c) Velocidad y aceleración medias entre t = 2 s y t = 3 s. a) b) En t = 2 s, x(t) = 2t 3 + 5t v(t) = dx = 6t2 + 10t a(t) = dv = 12t + 10 x = 2, , = 41 m v = = 44 m/s a = 34 m/s 2 c) En el intervalo t = 2 s 3 s, 2.2 Ejemplo ā = v f v i t f t i = v = x f x i t f t i = = 40 m/s = 63 m/s 1 La aceleración de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x viene dada en función de su posición por a(x) = 4x 2 (S.I.). Suponiendo que v 0 = 10 m/s cuando x = 0, obténgase la velocidad en cualquier otra posición. a(t) = dv dv = a(t) v dv = av = a dx = v dv = a dx, con lo que integrando: v v dv = v 0 En este caso: v 2 = v x x x a dx = v 2 = v a(x) dx. x 0 x 0 x 0 (4x 2) dx = v (2x 2 2x) = v(x) = [ x(x 1)] 1/2.

10 Tema 1. Cinemática Ejemplo Caída libre. Es un hecho experimental que todo objeto en las proximidades de la superficie terrestre adquiere una aceleración aproximadamente g = 9,81 m/s 2 cuando se deja en libertad (supondremos que no hay rozamientos y que g no varía con la latitud, altitud u otros factores). Tomando como origen la superficie terrestre y coordenadas positivas, y, hacia arriba, la aceleración será negativa, a = g, y las ecuaciones de movimiento adecuadas las de un movimiento uniformemente acelerado. Particularizadas a este caso tomarán la forma: v(t) = v 0 g(t t 0 ) y(t) = y 0 + v 0 (t t 0 ) 1 2 g(t t 0) 2 v 2 (y) = v 2 0 2g(y y 0 ) Un ejemplo de aplicación de estas ecuaciones de movimiento podría ser el siguiente. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Obténganse: a) La máxima altura que alcanza sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar a ella. b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo total transcurrido hasta que llega a él. a)-b) t 0 = 0; v 0 = 98 m/s; y 0 = 100 m; a = g Altura máxima: v = 0 v 0 = g t max y max = y 0 + v 0 t max 1 2 g t2 max t max = v 0 g = 10 s y max = 590 m c)-d) Al llegar al suelo y = 0: 0 = y 0 + v 0 t 1 2 gt2 resolviendo { t = 0,96 s (sin sentido físico) t t = 20,96 s v t = v 0 g t t = 107,41 m/s

11 Tema 1. Cinemática Movimiento en dos y tres dimensiones 3.1. Velocidad Supongamos ahora una partícula moviéndose en el espacio. Denotamos su posición en cada instante de tiempo por medio de un vector posición r = r(t). En coordenadas cartesianas, la ecuación de la trayectoria vendrá dada por: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). En el caso de movimiento en un plano, las dos primeras ecuaciones son suficientes para describir el movimiento de la partícula. Si la posición de la partícula en el instante t i viene dada por r i y en el t f por r f, se define su velocidad media en ese intervalo temporal como: v = r f r i t f t i z = r t (5) t i r t f r(t) r i r f x y v es un vector paralelo al desplazamiento r. Para definir la velocidad instantánea basta tomar el límite cuando el intervalo temporal tiende a cero. r v = lím t 0 t = d r (6) En componentes tomará la forma: v = dx i + dy j + dz k = v x i + v y j + v x k. La velocidad instantánea será un vector tangente a la trayectoria curvilínea, es decir, se puede expresar: v = v u t, donde u t es un vector unitario tangente a la trayectoria.

12 Tema 1. Cinemática Aceleración En un movimiento curvilíneo, la velocidad puede variar en general, tanto módulo como en dirección ó sentido. Se define la aceleración media como el cambio de velocidad en un intervalo temporal determinado: y la aceleración instantánea como: ā = v t v a = lím ā = lím t 0 t 0 t = d v = dv x i + dv y j + dv z k Es un vector que tiene la misma dirección que el cambio de la velocidad, pero en general no es ni tangente ni perpendicular a la trayectoria. Pero sí es importante destacar, tal y como se comprueba en la figura, que siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva (formalmente, hacia la región que contiene el centro de curvatura) que representa la trayectoria de la partícula, porque esa es la dirección en que cambia la velocidad. v(t) a v(t+ t) a v a v a v a v 3.1 Ejemplo La aceleración instantánea también se puede expresar así: a = d v = d ( ) d r = d2 r = 2 ( d 2 x, d2 y 2, d2 z 2 2 Una partícula se desplaza en el espacio y su vector posición, en cada instante de tiempo, toma en el SI la siguiente forma: Obténganse: r(t) = (t 2 2) i + cos t j + e 2t k ).

13 Tema 1. Cinemática 13 a) La velocidad en cualquier instante de tiempo, v(t). b) La velocidad inicial de la partícula y su velocidad en t = 1 s. c) Su aceleración, a(t). d) Su aceleración en el instante inicial y su módulo. a) b) c) b) v(t) = d r = 2t i sen t j + 2e 2t k v(0) = (0, 0, 2) v(1) = (2, sen 1, 2e 2 ) a(t) = d v = 2 i cos t j + 4e 2t k a(0) = (2, 1, 4) a = ( ) 1/2 = 4, Componentes de la aceleración Consideremos una partícula que describe una trayectoria curva. Supondremos por simplicidad que es plana, pero los resultados que obtendremos en esta sección son válidos en general. Considerando que el vector aceleración siempre está dirigido hacia el lado cóncavo de la curva siempre se puede descomponer en una componente tangencial a la trayectoria, a t, y otra componente normal dirigida hacia el interior de la curva, a n. Veremos en esa sección que cada una de estas componentes tiene un significado físico claro. a t r (t) a n a

14 Tema 1. Cinemática 14 * Aceleración tangencial, a t cambios del módulo de la velocidad, v * Aceleración normal ó centrípeta, a n cambios en la dirección de v Se puede demostrar (aunque no lo haremos aquí en detalle) que la aceleración siempre se puede descomponer así: a = d v = d (v u dv t) = u t + v d u t = u dv t + v2 ρ u n (7) donde u t es un vector unitario (de módulo unidad) tangente a la trayectoria de la partícula, u n es un vector unitario normal a ella y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria (es decir, el radio de la circunferencia que mejor se aproxima a la curva en cierta región). De esa igualdad queda claro que la componente tangencial tiene por módulo la derivada del módulo de la velocidad, es decir, está asociada al cambio del módulo de v. Y el segundo está asociado a la variación de la dirección de la velocidad. Otra forma de expresar la Ec. (7) es la siguiente: donde a = a t + a n a t = dv u t a n = v2 ρ u n En el caso particular de un movimiento rectilíneo, la dirección de la velocidad es constante y entonces la componente normal es nula. En el caso de un movimiento uniforme es nula la componente tangencial. El módulo de la aceleración en general se puede expresar como: [ (dv ) 2 ( ) ] v a = (a 2 t + a 2 n) 1/ /2 = +. ρ 3.4. Ejemplos particulares Movimiento circular Consideremos ahora el caso particular de un movimiento plano con trayectoria circular. Si el radio de la circunferencia es R, y el arco recorrido, s, abarca un ángulo θ, s = Rθ. v = v u t = ds u t v = ds = Rdθ

15 Tema 1. Cinemática 15 La función dθ/ se denomina velocidad angular y se suele denotar como ω. Sus dimensiones y unidades en el S.I. son: [ω] = T 1 ; S.I. rad s Con esta definición: v = ωr. La velocidad angular también se puede definir como una magnitud vectorial, asociandole una dirección y sentido. Por definición se considera su dirección como perpendicular al plano del movimiento y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en función del sentido del movimiento, tal y como muestra la figura. z ω γ R r v x y R = r sen γ v = ωr sen γ; ω = dθ k = v = ω r. Esta relación sólo es válida para el movimiento circular, porque sólo en él r y γ son constantes. Existe un caso de movimiento circular especialmente sencillo. Es aquel en que la velocidad angular permanece constante. Se denomina movimiento circular uniforme. Es un movimiento periódico puesto que la partícula vuelve a pasar cada cierto tiempo por el mismo punto. Para este tipo de movimiento es útil definir los siguientes conceptos. - Periodo, T : tiempo que tarda la partícula en regresar al mismo punto. Si la partícula realiza n revoluciones en un tiempo t, T = t/n. Sus dimensiones son [T ] = T. - Frecuencia, ν: número de revoluciones por unidad de tiempo, ν = 1/T. Sus dimensiones son [ν] = T 1 y su unidad en el S.I. es s 1 que recibe el nombre de herzio (Hz).

16 Tema 1. Cinemática 16 Para este tipo de movimiento (ω ω 0 = cte.) es sencillo obtener la posición angular de la partícula a partir de la definición de ω: ω = dθ θ t t dθ = ω 0 = ω 0 = θ(t) = θ 0 + ω 0 (t t 0 ). θ 0 t 0 t 0 Si se toma la condición inicial, θ 0 = 0 en t 0 = 0, resulta: θ = ω 0 t. Tras una vuelta completa a la circunferencia: t = T ; θ = 2π 2π = ω 0 t ω 0 = 2π T = 2πν. Consideremos ahora el caso en que la velocidad angular de la partícula cambia con el tiempo. Se define la aceleración angular como: α = d ω. Como el movimiento tiene lugar en un plano, la dirección de ω no varía y se verifica la ecuación anterior también para los módulos de las magnitudes involucradas. α = dω = d2 θ 2. Si α es constante el movimiento se denomina circular uniformemente acelerado. En este caso, α α 0 = cte.: ω t dω = α 0 = α(t t 0 ) = ω(t) = ω 0 + α 0 (t t 0 ). ω 0 t 0 Esta ecuación es análoga a la correspondiente para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. ω = dθ Resolviendo la integral resulta: = θ θ 0 = t t 0 ω = t θ = θ 0 + ω 0 (t t 0 ) α 0(t t 0 ) 2. t 0 [ω 0 + α 0 (t t 0 )].

17 Tema 1. Cinemática 17 Todas estas ecuaciones son como en el movimiento lineal en una dimensión, sin más que hacer las sustituciones: x θ v ω a α (8) Veamos ahora cómo son las componentes de la aceleración en el caso del movimiento circular: a t = dv = Rdω = Rd2 θ 2 = Rα a n = v2 R = ω2 R En el movimiento circular uniforme, a t = 0 pero a n 0. En este caso además se puede calcular la aceleración de otro modo: v = ω r d v = a = ω d r = ω v, porque d ω/ = 0. Entonces, a = ω ( ω r). Pero, en general, para un movimiento circular no uniforme la derivada de la velocidad lineal para obtener la aceleración hay que realizarla del siguiente modo: a = d v = d d ω d r ( ω r) = r + ω Esta ecuación es válida para cualquier movimiento circular Movimiento parabólico = α r + ω v (9) Uno de los casos particulares más interesantes de movimiento uniformemente acelerado es el estudio del movimiento de proyectiles. Es simplemente el caso de movimiento plano en que la aceleración es la debida a la fuerza gravitatoria. A diferencia del movimiento de caída libre en este caso consideramos que la velocidad inicial, v 0, puede formar un cierto ángulo con la horizontal y así el movimiento tiene dos componentes. Igual que hicimos en el movimiento de caída libre, despreciando las fuerzas de rozamiento y las anomalías gravitatorias, podemos considerar que la aceleración gravitatoria es aproximadamente constante y se puede expresar como a = g = g j. Si el proyectil se lanza con una

18 Tema 1. Cinemática 18 velocidad inicial v 0 que forma un ángulo α con el eje x, su movimiento bidimensional es una composición de un movimiento uniforme en el eje horizontal (donde no hay ninguna aceleración) y un movimiento uniformemente acelerado en el eje vertical. y y m v (t) v=v 0x v 0x v (t) y v(t) v 0 α g R x Condiciones iniciales: t 0 = 0 r 0 = (0, 0); v 0 = v 0x i + v 0y j = v 0 cos α i + v 0 sen α j. Velocidad en cualquier instante de tiempo: v(t) = v x i + v y j, donde: { v x v y = v 0x = v 0 cos α = cte. = v 0y gt = v 0 sen α gt Vector posición en cualquier instante: r(t) = x(t) i + y(t) j, donde: { x(t) y(t) = v 0x t = v 0 cos α t = v 0y t 1 2 gt2 = v 0 sen α t 1 2 gt2 - Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la máxima altura, t m. La condición de máxima altura viene dada porque en ella v y = 0. Entonces v 0y = gt m y despejando t m : t m = v 0 sen α/g.

19 Tema 1. Cinemática 19 - Altura máxima, y m. Basta sustituir t m en la ecuación que da y = y(t). ( ) v0 sen α y m = y(t m ) = v 0 sen α g - Tiempo de vuelo, t v. 1 2 g ( v0 α g ) 2 = y m = 1 v0 2 sen 2 α 2 g Se define como el tiempo que tarda el proyectil en volver a la altura inicial, y = 0. 0 = v 0 sen α t 1 2 gt2 = t v = 2v 0 sen α g = 2t m - Alcance, R. Es la distancia horizontal total que recorre el proyectil, R = x(t v ). R = x(t v ) = v 0x 2v 0 sen α g = v2 0 g (2 sen α cos α) = v2 0 sen 2α. g Esta función toma un valor máximo para α = 45 o. Téngase en cuenta que en estos razonamientos no se ha tenido en cuenta la curvatura de la Tierra por lo que sólo son válidos para alcances no demasiado grandes. Ecuación de la trayectoria, y = y(x). Eliminando t entre las ecuaciones x = x(t) e y = y(t) se obtiene: y(x) = x tan α g 2v 2 0 cos 2 α x2 que es la ecuación de una parábola invertida, de ahí que este tipo de movimiento reciba el nombre de parabólico. 4. Movimiento relativo El concepto de movimiento siempre es un concepto relativo, pues debe referirse a un sistema de referencia particular, escogido por el observador. Como diferentes observadores pueden elegir distintos sistemas de referencia, es importante estudiar qué relación hay entre las observaciones de uno y otro. Por ejemplo, la mayor parte de las observaciones de nuestra vida cotidiana están referidas a la Tierra, es decir, a un sistema de referencia que se mueve con ella (de forma muy compleja).

20 Tema 1. Cinemática 20 Sin embargo, los astrofísicos prefieren considerar como sistema de referencia, las denominadas estrellas fijas (estrellas tan lejanas que su movimiento es inapreciable desde la Tierra) y en física atómica el movimiento de los electrones se refiere al núcleo atómico. La posibilidad de elegir un sistema de referencia absoluto preocupó durante mucho tiempo a físicos y filósofos. Y de hecho durante algunos siglos se supuso la existencia de un extraño sistema, llamado éter que era una sustancia que llenaba el espacio vacío y se podía considerar como un sistema de referencia absoluto. Hoy en día la búsqueda de un sistema absoluto es innecesaria e irrelevante Velocidad relativa Consideremos dos objetos puntuales A y B y un observador O que utiliza como sistema de referencia unos ejes cartesianos. Las velocidades de A y B respecto a O serán: v A = d r A ; v B = d r B La velocidad relativa de B respecto de A será, r AB = d r AB /, y la de B respecto de A: r BA = d r BA /, donde r AB = r B r A y r BA = r A r B. A r A z v A r AB r B v B B O x y Como r AB = r BA resulta que las velocidades relativas son vectores idénticos pero con sentidos opuestos: v AB = v BA. v AB = d r AB = d r B d r A = v B v A v BA = v AB = v A v B Luego la velocidad relativa es la diferencia vectorial de velocidades respecto al sistema O.

21 Tema 1. Cinemática Aceleración relativa La aceleración relativa se calcula derivando respecto al tiempo la velocidad relativa: a AB = d v AB = d v B d v A = a AB = a B a A, a BA = a A a B En el caso particular de que una de las dos partículas se desplace con velocidad constante, por ejemplo, si v B = 0, la aceleración relativa es la de la otra partícula, a AB = a. Y si las dos se desplazan con velocidad constante su aceleración relativa, evidentemente es cero.

22 Tema 1. Cinemática Problemas 1. La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta viene dada por v = 4t 2 6t + 2 (S.I.). Sabiendo que en t = 0, x 0 = 3 m, calcula: a) Su posición en cualquier instante. b) Su aceleración instantánea. c) Su aceleración media entre t 1 = 1 s y t 2 = 2 s. (Respuestas: a) x(t) = t3 3t 2 + 2t; b) a(t) = 8t 6; c) ā = 6 m/s 2 ) 2. La variación de la aceleración de la gravedad con la altura viene dada por: g = GM 0 (R 0 + h) 2 y cuando h = 0, g 0 = 9,8 m/s 2. Teniendo en cuenta esta expresión calcula la velocidad inicial, v 0, que habría que darle a un objeto para que lanzado desde la superficie terrestre ascienda una altura vertical de 4000 km. (R 0 = 6000 km). 3. La ecuación que define la trayectoria de una partícula en un plano XY viene dada por r = 5t i + (10 3t 5t 2 ) j. Determínense: a) La ecuación de su trayectoria, y = f(x). b) Los vectores velocidad y aceleración. c) Los módulos de la aceleración tangencial y normal en t = 1 s. (Respuestas: a) y(x) = 2 3x 1 5 x2. b) v = 5 i + 10( 3 t) j; a = 10 j. c) a t = 8,2 m/s 2 ; a n = 5,7 m/s 2 ) 4. Se dispara un cañón con una inclinación de 45 respecto a la horizontal, siendo la velocidad inicial del proyectil 490 m/s. Calcúlense: a) El alcance, la altura máxima y los tiempos correspondientes. b) La posición del proyectil y su velocidad al cabo de 2 s. 5. Una pelota rueda por un tejado que forma un ángulo de 30 con la horizontal y al llegar a su extremo tiene una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m. Calcula:

23 Tema 1. Cinemática 23 a) Las ecuaciones de movimiento de la pelota y la ecuación de su trayectoria. b) Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta? c) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento. d) Posición en que se encuentra cuando su velocidad forma un ángulo de 45 con la horizontal. (Respuestas: a) a(t) = 9,8 j (S.I.); v(t) = (v 0 cos α, v 0 sen α gt); r(t) = (v 0 t cos α, y 0 v 0 t sen α 1 2 gt2 ); b) No choca con la pared; c) t = 3 s; v = 35,5 m/s; d) r = 3,5 i+2,8 j (S.I.).) 6. Una barca que se dirige hacia el norte cruza un río muy ancho con una velocidad de 10 km/h con respecto al agua. La velocidad del agua del río es de 5 km/h hacia el este. a) Determina la velocidad del bote respecto a un observador estacionario en tierra. b) Si el bote desease ir directamente hacia el norte (con la misma velocidad), en qué dirección debe dirigirse? 7. Un avión militar vuela horizontalmente a una velocidad de 360 km/h y a una altura de 1000 m. a) Si quiere lanzar una bomba sobre un objetivo estático en tierra, a qué distancia horizontal de éste debe hacerlo? b) Si el objetivo es un camión que circula a 72 km/h en la misma trayectoria rectilínea que el bombardero, a qué distancia debe lanzar la bomba, tanto si el camión se acerca como si se aleja? (Respuestas: a) x = 1429 m; b) x = 1714 si se acerca y x = 1143 si se aleja.) 8. Un cuerpo inicialmente en reposo se mueve en una trayectoria rectilínea con una aceleración a = m e nt, donde m y n con constantes. Calcula la velocidad máxima que puede alcanzar el cuerpo y el espacio recorrido en un tiempo t. 9. a) Un disco gira a 33,3 rev/min. Cuál es su velocidad angular? b) Un disco gira con aceleración angular constante α = 2 rad/s 2. Si parte del reposo, Cuántas revoluciones dará en los 10 primeros segundos? c) Cuál es la velocidad angular del disco del apartado anterior al cabo de 10 s?

24 Tema 1. Cinemática 24 (Respuestas: a) ω = 3,5 rad/s; b) θ = 15,9 rev; c) ω = 20 rad/s. ) 10. El vector de posición de una partícula que se mueve en una trayectoria plana es r = [5 cos(πt) 1] i + (5 sen(πt) + 2] j (S.I.). a) Demuéstrese que el movimiento es circular y uniforme. b) Calcula el radio de la trayectoria. c) Calcula la frecuencia del movimiento. 11. Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partícula son: x = 3 + 2t + 4t 2 ; y = 1 + t + 2t 2 ; z = 5 3t 6t 2. Determinar: a) El tipo de movimiento descrito por la partícula. b) La ecuación de la trayectoria. c) La velocidad media en el intervalo de tiempo (1, 3). d) La ley horaria del movimiento, tomando como origen su posición en t = 0 s. (Respuestas: a) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado; b) x 3 = y + 1 = 2 z 5 3 ; c) (18, 9, 27) m/s; d) 14 (2t 2 + t)) 12. Un punto material se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades y aceleraciones: v y = 8t (m/s) ; a x = 4t (m/s 2 ) con t en segundos. Cuando t = 0 s, r = (0, 2) m, v x = 0 m/s. Hallar: a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) La rapidez de la partícula cuando la coordenada x alcanza el valor de 18 m. 13. Un trineo impulsado por motores-cohete inicia su movimiento desde el reposo con una aceleración a 1 = 9x m/s 2, debiendo obtener una velocidad de 80 m/s en el punto B de la plataforma de lanzamiento de longitud D. Después de haber dejado la plataforma de lanzamiento en el punto B, el trineo empieza a desacelerarse con una a 2 = 0, 2t m/s 2, hasta detener su movimiento en el punto C. Calcular: a) La longitud D necesaria para la plataforma de lanzamiento. b) El tiempo requerido por el trineo para recorrer la distancia de B a C. c) La longitud requerida L entre los puntos B y C. (Respuestas: a) 26, 67 m; b) 28, 28 s; c) 1508, 49 m)

25 Tema 1. Cinemática Una partícula se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades v x = 2/x m/s, v y = 2t + 4 m/s, y para t = 0 s la posición de la partícula es (0, 1) m. Calcular: a) La ecuación de la trayectoria. b) La velocidad y aceleración para t = 1 s. c) La pendiente de la trayectoria para t = 1 s. d) La aceleración tangencial, aceleración normal y radio de curvatura para t = 1 s. 15. Se lanza una partícula de masa m con un ángulo de 45 respecto de la horizontal, desde un punto situado a una altura de 2 m sobre el suelo. La partícula cae al suelo a una distancia de 18 m. Teniendo en cuenta que la aceleración debida al viento es a v = g 3 (1, 1) (m/s2 ), siendo g la aceleración de la gravedad. Calcular: a) La velocidad inicial. b) La velocidad con la que la partícula llega al suelo. c) La altura máxima alcanzada por la partícula. (Respuestas: a) 7, 93 m/s; b) 14, 38 m/s ; α = 31, 87 ; c) 4, 41 m) 16. Un artillero dispara una pieza 10 s después se ve en el cielo la nubecilla de la explosión que se halla 30 sobre la horizontal y 2 s después de verla, oye el estampido que el proyectil produce al explosionar. Si la aceleración del viento es a v = gt 10 (m/s2 ) en dirección horizontal y suponiendo la velocidad del sonido en el aire 340 m/s, calcula la velocidad inicial del proyectil y el ángulo de tiro. 17. La ecuación del movimiento de una partícula que se desplaza por una circunferencia viene dada por: s = 1 t + 2t 2 (S.I.). Calcular: a) La rapidez del móvil y su aceleración tangencial, normal y total en el instante t = 2 s, sabiendo que a n = 0, 2 m/s 2 para t = 1 s. b) La aceleración angular y la velocidad angular para t = 10 s. (Respuestas: a) 7 m/s; a t = 4 m/s 2 ; a n = 1, 09 m/s 2 ; a = 4, 15 m/s 2 ; b) 88, rad/s 2 ; 0, 87 rad/s)

26 Tema 1. Cinemática Una partícula se mueve sobre un círculo de radio r = 2 m según la ley φ = 3t 2 2t, donde φ está expresado en radianes y t en segundos. Calcular: el ángulo descrito, el arco recorrido, las velocidades lineal y angular, y las aceleraciones tangencial, centrípeta y angular a los 4 s de iniciado el movimiento. 19. Una partícula recorre la parábola y = x2 dirigiéndose hacia el punto O, como muestra la 50 figura. La rapidez de la partícula es de la forma v = 10t (m/s). a) Si la partícula tarda 3 s en llegar al punto A, calcular el vector velocidad y las componentes intrínsecas de la aceleración en A. b) Si la partícula tarda 5 s en llegar al punto O, calcular el vector velocidad y las componentes intrínsecas de la aceleración en O. (Respuestas: a) v = ( 13,42, 26,83) m/s; 10 m/s 2 ; 3,22 m/s 2 ; b) v = ( 50, 0) m/s; 10 m/s 2 ; 100 m/s 2 ) 20. La pesa B está conectada a una polea doble por uno de los cables inextensibles mostrados en la figura.el movimiento de la polea es controlado por el cable C que tiene una aceleración constante de 23 cm/s 2 y una velocidad inicial de 30 cm/s, ambas dirigidas a la derecha. Determina: a) El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s. b) La velocidad y el cambio en la posición de la pesa B después de 2 s. c) La aceleración del punto D sobre el borde de la polea interior de t = 0 s.

27 Tema 1. Cinemática El ensamble que se muestra está compuesto por dos varillas y una placa rectangular BCDE soldadas entre si. El ensamble gira alrededor del eje AB con velocidad angular constante de 10 rad/s y que disminuye a razón de 20 rad/s 2. Si la rotación es en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde B, determina la velocidad y aceleración de C. (Respuestas: v C = (0, 2,4, 1,8) m/s; a C = (18, 19,2, 15,6) m/s 2 ) 22. La varilla acodada ABCD gira con velocidad angular constante 75 rad/s y que disminuye a razón de 600 rad/s 2 alrededor de una línea que une los puntos A y D. Si en el instante considerado la velocidad de la esquina C va hacia arriba, determina velocidad y aceleración para la esquina B.

28 Tema 1. Cinemática 28