Capítulo II. Movimiento plano. Capítulo II Movimiento plano

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1 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II Movimiento plano inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II Movimiento plano II. spectos generales del movimiento plano. Movimiento continuo de una figura plana en su plano. entro instantáneo de rotación (cir). Teorema de ronhold-kennedy. plicación del cir al análisis de velocidades y aceleraciones. ase y ruleta. celeración de un punto del plano móvil que coincide con el cir. II. Teoría de la curvatura. II. Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado.

2 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II: Tema Movimiento lano. Movimiento continuo de una figura plana en su plano. entro instantáneo de rotación (cir). Introducción. entro instantáneo de rotación.. Teorema de ronhold-kennedy. Enunciado. Diagrama del círculo.. plicación del cir al análisis de velocidades y aceleraciones. Teorema de Mehncke. Teorema de urmester. Imagen o campo de velocidades. plicaciones al análisis de aceleraciones..5 ase y ruleta..6 celeración de un punto del plano móvil que coincide con el cir. inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II: Tema. Movimiento continuo de una figura plana en su plano. entro instantáneo de rotación (cir).. Introducción.. entro instantáneo de rotación. 4

3 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Introducción La gran mayoría de los mecanismos que aparecen en la práctica tienen movimiento plano. Muchas de las propiedades de estos mecanismos, los teoremas obtenidos, desarrollos matemáticos, etc. pueden ser extrapolados al caso de movimiento tridimensional. En este capítulo se estudian estas propiedades del movimiento plano para poder abordar su análisis y síntesis cinemática y, posteriormente, su análisis dinámico. 5 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Introducción Definición: un mecanismo tiene movimiento plano cuando las velocidades de todos sus puntos son paralelas a un plano fijo. S S S Л S S S Л osición osición osición 6

4 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Introducción Movimiento plano no quiere decir que el mecanismo este contenido en un plano, aunque así se puede idealizar su movimiento para el análisis cinemático. Esta hipótesis no es válida en el caso dinámico. 7 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación osición S Vamos a estudiar el movimiento de una figura plana en su plano. ara estudiar este movimiento basta con estudiar el movimiento de un segmento,, ya que el movimiento de cualquier otro punto,, queda definido por la condición de que no varia su posición relativa con respecto a y. 8 4

5 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación osición S s b osición El punto es un punto que si se considera rígidamente unido al segmento su posición inicial coincide con la final. S s 9 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación osición r s b osición Dicho punto se obtiene mediante la intersección de las mediatrices de los segmentos y S S r s 0 5

6 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación osición S r r s θ θ s b S osición Dicho punto se denomina polo de rotación o centro de rotación entre las posiciones y. Entonces, el movimiento entre las dos posiciones se puede considerar como una rotación alrededor de dicho punto (esto es sólo válido cuando estudiemos las posiciones iniciales y finales). inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación Si la posición se acerca a la posición osición osición S r b el segmento tiende a la tangente a la trayectoria en el punto, y lo mismo ocurre con el punto. r sí pues, el polo de rotación en el movimiento infinitesimal se convierte en el centro instantaneo de rotación (cir), o simplemente polo del movimiento, y se obtiene trazando las tangentes a las trayectorias de dos puntos cualquiera del sólido. 6

7 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación ropiedades del cir uesto que en un dt su posición no varía, la velocidad de este punto es cero. La velocidad de todos los demás puntos del sólido son perpendiculares al segmento que les une con el cir, y además su magnitud es proporcional a la distancia. La velocidad angular del sólido es una relación, constante para todos los puntos del sólido, entre la velocidad de un punto y su distancia al cir. V V ω t V t n n n cir n t t (cir) inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación ropiedades del cir olos relativos Observador móvil Elemento Elemento cir del movimiento relativo de con respecto a Observador fijo Número de polos relativos N( N ) n = 4 7

8 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación ropiedades del cir Las propiedades de los cir permiten encontrar los denominados polos primarios de un mecanismo rápidamente siguiendo un conjunto de reglas fácilmente deducibles de todo lo anterior. partir de ahora, se denominan polos primarios a aquellos polos de un mecanismo que pueden localizarse por simple inspección directa de éste siguiendo las siguientes reglas:. Todos los pares de rotación (tipo R) que existen en un mecanismo.. untos en el infinito cuando un elemento se traslada con respecto a otro.. Los puntos de contacto entre dos elementos donde existe rodadura pura. 4. Si en un elemento se conocen las trayectorias de dos de sus puntos respecto de otro elemento, se obtiene el polo del movimiento relativo en el punto de corte de las dos normales a las respectivas trayectorias que pasan por dichos puntos. 5 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano entro instantáneo de rotación Determinación del cir Determinación de los polos primarios. 4 ( ) n= n=6 4 ( ) 6 8

9 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II: Tema. Teorema de ronhold-kennedy.. Enunciado.. Diagrama del círculo. 7 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Teorema de ronhold-kennedy. Enunciado Los tres polos del movimiento relativo entre tres elementos con movimiento plano están permanentemente alineados. El Teorema de ronhold-kennedy se emplea para la localización de polos relativos entre los diferentes elementos que componen un mecanismo. 0 : olo del movimiento relativo de Π y Π 0. 0 : olo del movimiento relativo de Π y Π 0. : olo del movimiento relativo de Π y Π. ω V p V Π Π 0 V = V p 0 ω 0 ω 0 ω = 0 0 ω = ω Π 0 8 9

10 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Diagrama del círculo El diagrama del círculo permite obtener fácilmente los polos del movimiento relativo entre los elementos de un mecanismo. ara ello el método emplea los conceptos vistos anteriormente y especialmente el Teorema de ronhod-kennedy. ara la localización de los polos del movimiento se seguirán los siguientes pasos:. Se toma una circunferencia y se divide en tantas partes iguales como elementos (N) tiene el mecanismo. continuación se numeran de a N los puntos en que está dividida la circunferencia. Todas las posibles cuerdas que unen los puntos marcados representan los distintos polos del movimiento en el mecanismo.. Se dibujan con líneas continuas las cuerdas correspondientes a los polos primarios y a trazos los correspondientes a los desconocidos.. El resto de los polos será obtenido utilizando el teorema de ronhold- Kennedy, aplicándoselo a grupos de tres elementos en el mecanismo. ara ello se localizan en el círculo los triángulos que tengan en común un lado dibujado a trazos y todos los demás lados continuos. 9 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Diagrama del círculo n= n= ( ) 0 0

11 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Diagrama del círculo ( ) 4 4 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II: Tema. plicación del cir al análisis de velocidades y aceleraciones.. Teorema de Mehncke.. Teorema de urmester.. Imagen o campo de velocidades. 4. plicaciones al análisis de aceleraciones.

12 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Teorema de Mehncke V v tan ϕ = v = ω φ φ V v tan ϕ = v = ω V v ' ' v = v ' v ' = v v v = = = ω v v V v ' v' v ' v ' V = = = ω ' v' v ' v' v ' v' v = = = ω inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Teorema de Mehncke Teorema de Mehncke: La figura formada por los extremos de las velocidades ortogonales de un elemento rígido es proporcional figura original y tiene una relación de semejanza (-ω), siendo ω la velocidad angular del elemento. v ' v' v ' v' v ' v' v = = = ω v v v v v 4

13 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Teorema de Mehncke Este teorema permite realizar una interesante construcción gráfica para la determinación de la velocidad de un punto de un plano móvil conocidas las velocidades de otros dos puntos, y, del mismo plano cuando el polo del movimiento cae fuera de los límites del papel. v V v v V v v V v 5 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Teorema de urmester Teorema de urmester: La figura formada por los extremos de las velocidades de un elemento rígido, es semejante a la figura original y la razón de semejanza es (+ω)/, encontrándose girada un ángulo φ respecto de la figura original. v tanϕ = v = v = v = ω v v = + v = + v = + ω φ φ φ v v = v = v = + ω + ω + ω 6

14 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Teorema de urmester omo consecuencia especial del teorema de urmester se puede decir que si tres puntos sobre el mismo plano móvil están alineados los extremos de las velocidades de éstos también estarán alineados v v v V V V 7 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Teorema de urmester α V V G V V α V V α α V V V 8 4

15 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Imagen o campo de velocidades y y' ω SIS =0 ω s V S r = r + r r x' dr dr dr V = = + = V + r ω = V + V dt dt dt r r V V V V V es siempre perpendicular a la recta x 9 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Imagen o campo de velocidades Imagen o ampo de Velocidades: Si se llevan a un origen común los vectores velocidad de tres puntos de un mismo sólido rígido y se unen los extremos de estos vectores se obtiene un triángulo semejante al triángulos. El triángulo se denomina Imagen o ampo de Velocidades. Esta propiedad se deduce por las características de las velocidades relativas. En la figura se muestra un sólido y sus tres velocidades que al ser llevadas a un origen común, O, generan el campo de velocidades, donde se dice que los tres puntos, y son homólogos de, y, y el punto O es homólogo del cir en el cuerpo real. V O V V = V V V = V = V + V + V + V cir V V V Imagen de velocidades V 0 5

16 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Imagen o campo de velocidades V? V V V V V Determinación de la velocidad del punto del acoplador inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano Imagen o campo de velocidades V V V V o V V nálisis de velocidades en un mecanismo biela-manivela 6

17 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano plicación al análisis de aceleraciones y r y' ω SIS =0 ω s r x' r V V S r = r + r V V + r ω = dv dv d( r ω) = = + = dt dt dt dr dω = + ω + r = dt dt + ( r ω) ω + r α = + N + T x inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano plicación al análisis de aceleraciones y y' ω SIS =0 r ω s γ N T S N = + + tan γ = T N T x' T = α α tanγ = N = = ω ω cte x 4 7

18 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano plicación al análisis de aceleraciones γ γ ω α O N γ T γ γ γ O γ γ Esta propiedad permite obtener la aceleración de un punto conocida la aceleración de y en el mismo elemento 5 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II: Tema.4 ase y ruleta. 6 8

19 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición El cir, polo instantáneo o simplemente polo es, como su propio nombre indica, una característica propia de una determinada posición (o instante) de la figura móvil en el plano móvil, que podemos suponer asociado a ella. or tanto, a medida que el movimiento de dicha figura o plano móvil evolucione, el cir también se verá modificado pasando a ocupar otra posición en los planos de movimiento. 7 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición osición 8 9

20 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición osición osición 9 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición osición osición ase ase: es el lugar geométrico de los puntos del plano fijo que han sido en un determinado instante centro instantáneo de rotación. Esta curva también se conoce con los nombres de olodia o curva polar fija. 40 0

21 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta Ruleta osición ase Ruleta: es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en algún momento han tenido velocidad nula. También se conoce con los nombres de Herpolodia o curva polar móvil. 4 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición osición Ruleta ase 0 4

22 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición osición osición Ruleta ase La curva ase representa la trayectoria del cir sobre el plano fijo mientras que la curva Ruleta representa la trayectoria del cir para el observador situado en el plano móvil. 4 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición Ruleta 0 ase 0 44

23 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición osición Ruleta 0 0 ase 0 45 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta osición osición osición Ruleta ase 0 46

24 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta 0 : Es el punto del plano fijo que coincide con el cir, es por tanto un punto físico cuya velocidad es cero. : Es el punto del plano móvil que coincide con el cir, es también un punto físico y su velocidad es nula ya que no varía su posición en un instante diferencial de tiempo. : Es un punto matemático (no es un punto físico), lo que significa que no pertenece ni al plano fijo ni al móvil. Representa la variación de posición del cir sobre el plano fijo y su trayectoria es la curva ase. or tanto, este punto sí puede tener velocidad distinta de cero y a esta velocidad se la denomina: Velocidad de ambio de olo. Ruleta ase 0 osición Velocidad de cambio de polo: osición osición 47 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano ase y ruleta De todo lo expuesto anteriormente se deduce que las curvas ase y Ruleta se encuentran en contacto permanente en el cir y no existe velocidad relativa en dicho punto de contacto. En otras palabras, el movimiento entre ase y Ruleta es un movimiento de rodadura pura. Este movimiento queda perfectamente definido si se conoce la geometría de la curva ase y Ruleta y la Velocidad de ambio de olo. 48 4

25 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano apítulo II: Tema.5 celeración de un punto del plano móvil que coincide con el cir. 49 inemática y Dinámica de Máquinas. II. spectos generales del movimiento plano celeración de un punto del plano móvil que coincide con el cir V = ω V V = ω ( O O) y O ω Ruleta dv dω do do = = + ω = dt dt dt dt α + ω ( V V ) 0 x O = α + ω 0 ( ω V ) = ω 0 V ase 0 = ω µ 50 5