TEORÍA DE MECANISMOS 3.- CINEMÁTICA DE MECANISMOS

Transcripción

1 TEORÍ DE MECNISMOS 3.- CINEMÁTIC DE MECNISMOS Departamento de Ingeniería Mecánica 1

2 Cinemática de máquinas Estudio cinemático: determinación de Trayectorias Velocidades celeraciones Métodos analíticos y gráficos Pares elementales Rotación Traslación Departamento de Ingeniería Mecánica 2

3 Rotaciones (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes FUERZ Vectores deslizantes ROTCIÓN Reducción del sistema de vectores deslizantes en un punto dado. (Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas) (Rotación, Momento de la rotación) Velocidad NOT: los vectores deslizantes se aplican sobre un sólido rígido Departamento de Ingeniería Mecánica 3

4 Fuerzas (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes FUERZ La reducción del sistema de vectores Deslizantes FUERZ en un punto cualquiera P, consiste en : Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas, en dicho punto P. Posicionar el vector Suma de los Momentos de las fuerzas respecto a dicho punto P. Departamento de Ingeniería Mecánica 4

5 Reducción sistema de fuerzas en un punto En el punto de contacto P El sólido rígido superior ctúa mediante un sistema Equivalente de vectores, Consistente en: -una resultante de las fuerzas ctuantes. - un momento suma de los momentos de cada una de las fuerzas en el punto P. Departamento de Ingeniería Mecánica 5

6 Rotaciones (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes ROTCIÓN La reducción del sistema de vectores deslizantes ROTCIÓN en un punto cualquiera P, consiste en : Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho punto P. Y Posicionar el vector Suma de los Momentos de las rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDD DE P) Departamento de Ingeniería Mecánica 6

7 Rotaciones (Vectores deslizantes) El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede representarse por el esquema de la figura. Cada bastidor está bajo el efecto de una rotación. Estando todos los ejes de rotación de cada bastidor apoyados en el siguiente. Cualquier punto P del sólido rígido está afectado por una rotación suma de las de cada bastidor. Cualquier punto P del sólido rígido está afectado por el momento suma de todas las rotaciones, es decir su velocidad. SÓLIDO RÍGIDO Departamento de Ingeniería Mecánica 7 w 3 w 1 w 2 w 4

8 Movimiento general de un sólido rígido El sistema de referencia (SF) es fijo V = V + ω OP P 0 Departamento de Ingeniería Mecánica 8

9 Movimiento general en el plano Sólido rígido V P = V 0+ ω OP V = 0 I V = V + IP ω P I Departamento de Ingeniería Mecánica 9

10 Cinemática Ecuaciones Mecánica (dado un SF, SM) r =r +r BS RR REL v =v +v BS RR REL a = a + a + a BS RR REL COR IOLIS Relaciones vectoriales (, B Є a un sólido rígido SR) r =r +r B B v =v +v + v a B B = a + a B B + REL a REL + a COR IOLIS v 0,, = a = 0 a = 0 REL REL COR IOLIS (Dado un SF, y un SM asociado al SR) Departamento de Ingeniería Mecánica 10

11 Cinemática Ecuaciones Mecánica (dado un SF, SM) r =r +r BS RR REL v =v +v BS RR REL a = a + a + a BS RR REL COR IOLIS Relaciones vectoriales (, B Є a un sólido rígido SR) r =r +r B B v =v + ω r + v B B B dω a = a + ω ( ω r ) + B B rb dt + a + a B COR IOLIS, v 0 ω = 0 a = 2ω = COR IOLIS rel (Dado un SF, y un SM asociado a un punto del SR y // al SF) Departamento de Ingeniería Mecánica 11

12 Cinemática de un eslabón Velocidad de un punto genérico del eslabón 3 v = v + v 31 3C C1 Pegados al eslabón en estudio en el punto C y paralelos al sistema fijo en todo momento M 31 (absoluto) Movimiento absoluto del eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 1 Rotación de 3 sobre C M C1 (arrastre) Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Movimiento del punto C del eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 1 M 3C (relativos) Rotación alrededor de C Movimiento absoluto del eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 3 Departamento de Ingeniería Mecánica 12

13 celeración en un eslabón (1) Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto C del propio eslabón, y mantenemos el SM paralelo al SF a = a + a + a a = a + a C C1 Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 eslabón TIERR 31 3C C1 COR IOLIS Interpretación: a31 = ROT+ TRS a = 2 ω V 0 CORIOLIS SM 3C Departamento de Ingeniería Mecánica 13 0

14 celeración en un eslabón (2) a = a + a + a COR IOLIS eslabón Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 abs = arr + arel + acor IOLIS v = v + v BS RR REL Departamento de Ingeniería Mecánica 14

15 Técnicas de determinación de velocidades 1. Método de proyección o componente axial 2. Método de las velocidades giradas 3. Cinema de velocidades 4. Método de las velocidades relativas Departamento de Ingeniería Mecánica 15

16 1. Método de proyección, B B = cte vb = 0 v = v B B B SF v v Dado y la dirección de conocemos B v B Departamento de Ingeniería Mecánica 16

17 2. Método de las velocidades giradas (I) Eslabón C ISC Datos: C, vc y Incógnita: Técnica gráfica de cálculo de velocidades VC V C' 1. Giramos 90º sentido obtenemos C 2. Obtenemos, siendo S ' B ωs Is B B' VB ω ESLBON C C'' ESLBON obteniendo v Departamento de Ingeniería Mecánica 17 v 3. Giramos 90º en sentido contrario a el segmento v C o ω c b a Cinema de velocidades de BC (abc) '

18 2. Método de las velocidades giradas (II) v ' Cálculo de v N N' N'' v NN'' N v ' Cálculo de v M M' M'' v MM'' M Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Cínema de velocidades de los eslabones: O oa 2 OB 4 B ob ab Departamento de Ingeniería Mecánica 18

19 3. Cínema de velocidades (I) Sea un eslabón y su CIR en un instante dado. CIR r p ω P k P eslabón: vp = ω rp Vector unitario al plano si ω = 1 v = k r Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y haciendo una expansión o contracción de factor ω. Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá, posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de velocidades (puntos homólogos de los del eslabón). P eslabón Departamento de Ingeniería Mecánica 19 P HOMOLOGÍ 90º ω P P cínema

20 3. Cinema de velocidades (II) Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del mecanismo articulado plano para cada eslabón Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Departamento de Ingeniería Mecánica 20

21 4. Método de velocidades relativas Sean, B Eslabón v = v + v B B Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Rotación de B sobre B v Traslación de B v B v B v B v B Departamento de Ingeniería Mecánica 21

22 Cinema de velocidades del eslabón BCD Datos: v Técnica del punto auxiliar: obtención de la v x, a partir del esquema de velocidades del eslabón (4) vx = vxb + vb vb = vb + v vx = vxb + vb + v X (4) (2) Eslabón (4) XC C Departamento de Ingeniería Mecánica 22 (1) Encontrar tal que v XB vb BX Localizar un punto de 4, por ejemplo C con velocidad de dirección conocida, de modo que X (4) esté localizado de manera que Cinemática y dinámica de v v Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Cinema del punto auxiliar x

23 Velocidades relativas. Mecanismo de corredera nálisis del punto C (C3 y C 2) Dato v = v + v C C C C Eslabón (deslizadera) (4) Dir. Dir. Tg. guía Conocido el centro de curvatura de la guía por donde se desliza el eslabón (4), podemos sustituir el mecanismo por el cuadrilátero articulado: O,C,C,O en C se hace el cálculo de v C0 Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de v = v + v C C C C Dir. Departamento de Ingeniería Mecánica Corral, UPM, Madrid

24 Polo de velocidades de un eslabón La rodadura de la curva C m sobre la C f define el movimiento del eslabón CIR del eslabón (2). Es un punto fijo 1 Eslabón biela O2 V 3 I13 Departamento de Ingeniería Mecánica Es un punto fijo 24 B 2 4 CIR permanentes CIR del eslabón (3). es un punto móvil 1 VB O4 Cm Cf CIR del eslabón (4). C f P 3 Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema fijo a tierra C m describe la curva polar Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema móvil de la biela

25 Curvas polares Velocidad de cambio de polo u tangente a la curva polar (PROPIEDD) 3 V B P t CIR 3 Pt+ t en t CIR 3 en t+ t B0 Cf Cm I13 BB0 ub u u'd ud 0 u 0 VB t PP t t t+ t Departamento de Ingeniería Mecánica 25 Cf lim Detalle: P CIR del eslabón (3) Componentes de Euler-Savary C m u = ua + ud = = u + u' b d

26 Fórmula de Euler-Savary (I) La componente de la velocidad de cambio de polo en la dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad del punto según las distancias del punto y del CIR al centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el punto. v Sea el punto perteneciente al eslabón Sea ρ el centro de curvatura de C C ρ CIR u v u = C IC C C Departamento de Ingeniería Mecánica 26

27 Fórmula de Euler-Savary (II) Relaciona: u, ρ,v,cir Componentes de Vectores paralelos a i ds,ds Velocidad de cambio de polo: dciriciri' u = t dsb B d B ds d v ρ α B τ B v ρ = = α = = τ dt dt dt dt τ Vector unitario tangente CIR CIR dscir i,b = CC dα B B τ i' B dscir i, = CC dα τ B dscir i, CC CIR i PROY. u ds = u = = v dt ρb ds C CIR CIR i,b CB i PROY. u dsb = ub = = vb dt ρ Departamento de Ingeniería Mecánica 27

28 Velocidad de cambio de polo Obtención gráfica. plicación a la biela 3 de un cuadrilátero articulado de la Fórmula de Euler-Savary ρ ρ,v,cir u,v,cir u 3 B B 3 B I 13 u = u + (u d) u = u + ' (u' ) B d Velocidad del punto B de la biela 3 Velocidad cambio de polo Velocidad del punto de la biela 3 Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Departamento de Ingeniería Mecánica 28

29 Teorema de Kennedy (I) I 13 I 24 I 21 I 14 Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 I 23 I 14 Teorema de los tres centros o teorema de Kennedy CIR relativo es el punto en el que la velocidad relativa entre dos eslabones dados se anula CIR = CIR Sea un mecanismo articulado plano: Sean 3 los eslabones:, B, C. Los 3 CIR relativos 2 a 2 ESTÁN LINEDOS Departamento de Ingeniería Mecánica 29 B B I B, I BC, IC lineados

30 Teorema de Kennedy (II) Sean:, B, C los eslabones Sea el CIR relativo de B Sea el CIR relativo de C v = v α=πrad Sea O el CIR relativo de C B O B O C l calcular las velocidades relativas respecto al eslabón B o C, se observa que son iguales, pues O es un punto CIR relativo α O Para que sean iguales v O B, vo C los tres CIR relativos,, O deben estar alineados Departamento de Ingeniería Mecánica 30

31 Cálculo de los CIR relativos usando el teorema de Kennedy N eslabones ( ) N N 1 2 (CIR relativos) 1. Se calculan los CIR absolutos (N,1). 2. Se calculan los CIR relativos en las articulaciones (N,N-1). 3. Se calculan los CIR relativos en las deslizaderas guia 4. Se aplica el teorema de Kennedy ( ) Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Departamento de Ingeniería Mecánica Corral, UPM, Madrid

32 Escalas gráficas Escala de longitudes Escala de velocidades Escala de aceleraciones α cm grafi cos cm real β cm grafi cos cm seg real γ = 2 β α Departamento de Ingeniería Mecánica 32

33 Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientes a un mismo eslabón (mismo SM) d dt d dt rb = r + rb vb = v + vb a = a + a B B Si, B Є pieza sólido rígido rb vb a B B cte B rota sobre Posición de B respecto de velocidad de B respecto de aceleración de B respecto de Departamento de Ingeniería Mecánica 33

34 Posición velocidad y aceleración de arrastre P, se mueve respecto al sistema móvil El sistema móvil está parametrizado por la posición del origen del sistema móvil (O) y el vector de rotación ( ω ) del triedro móvil respecto al triedro fijo. SF O SM ω rm vm a M Posición relativa velocidad relativa aceleración relativa Posición, velocidad y aceleración de arrastre rarr = r0 varr = v0 +ω rm a = a +α r +ω ω r ( ) arr 0 M M Departamento de Ingeniería Mecánica 34

35 Estudio de la aceleración (I) Pto Є eslabón i Pto B Є eslabón i Pto C Є eslabón i+1 SM i B C i+1 SM pegado al eslabón i que rota con ω i respecto al SF SF B i, rb = rb + r vb = vb + v a = a + a B B C + i 1, rc = rc + r vc = vc + vrel + v a = a + a + a + a C C rel CORIOLIS B rota sobre con ω i C rota sobre con ω i Rotación a = a + a + a C C arr CORIOLIS Departamento de Ingeniería Mecánica SM 35

36 Estudio de la aceleración (II) Caso de movimiento circular 2 a = ρ α a =ω ρ t cte dω dt celeración de los puntos y B Є pieza ω B v B Departamento de Ingeniería Mecánica 36 n v = v + v B B arrastre Rotación a = a + a B B Rotación sobre acoriolis = 0 v = 0 arr

37 Ejemplos: Manivela a = ao + a O C O a = a + a C O t n a = a + a O t n O O Coincide el CIR = O Coincide el polo = O de aceleraciones En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos CIR Polo aceleraciones Departamento de Ingeniería Mecánica 37

38 celeración del polo del cínema de velocidades I I' I'' a a 0 a = a + a I I I no es un punto singular en cuanto a aceleraciones I POLO VELOCIDD a = a + a ω, α,a { } B B Departamento de Ingeniería Mecánica 38

39 Polo de aceleraciones (I) a = ab + a B;, B a = a I + a I (a I 0 en general);, I CIR ap = 0 a = ap + a P P a = a P Si conocemos P, el cuerpo se comporta como un sólido rígido en rotación pura en ese instante POLO DE CELERCIONES Modelo de comportamiento del eslabón en el instante t en cuanto a aceleraciones a XP Departamento de Ingeniería Mecánica 39

40 Polo de aceleraciones (II) B a θ θ a B Polo P eslabon ( a ) P = 0 aceleración a P a a B = ap = a BP celeración relativa de alrededor de P, con ω y α del eslabón eslabón Cinema de aceleraciones (,B,C) (a,b,c) Departamento de Ingeniería Mecánica 40

41 celeración normal Construcción gráfica del vector aceleración normal relacionado con una rotación (pura) Teorema del cateto Teorema de la altura c m h n 2 h m n 2 c = m m+ n = ( ) Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Centro de rotación Departamento de Ingeniería Mecánica 41

42 Obtención de la aceleración Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir de la aceleración en : a = a + a B B donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática relativa de B respecto de Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Departamento de Ingeniería Mecánica 42

43 ejemplo v,a Datos: t es decir, conocemos la secuencia gráfica sería: 1. Obtención gráfica de a n 2. Cinema del eslabón 2 3. Obtención gráfica de a n B 4. Obtención gráfica de a a partir de y a n 5. Obtención gráfica de a n B ω, α 2 2 a t Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Departamento de Ingeniería Mecánica 43

44 ejemplo datos Cinema de v, a t velocidades del eslabón 3 Cinemática y dinámica de Máquinas. de Lamadrid,. de Corral, UPM, Madrid 1992 Cinema de velocidades del eslabón 5 a Obtenemos conjuntamente B con a y tenemos el cinema de aceleraciones del eslabón 3 y a Departamento de Ingeniería Mecánica obtenemos 44 C

45 nálisis de aceleraciones (I) Piezas en contacto deslizante En piezas articuladas P 1o 2 a v = a = v P(1) P(2) P 1 2 En piezas con P(1) contacto P(2) deslizante articulación vp a P vp a (1) (2) P (1) (2) Se conoce la dirección de la velocidad relativa 1 2 SM P 1,2 3 Departamento de Ingeniería Mecánica 45

46 nálisis de aceleraciones (II) Considero y enclavo en él el 3 v (3) 1 v = v (abs ) + v (arr ) ( rel) SM v = v + v SM ( ω ) 1, α1 (3) (1) (SM) 1 v (1) 1 2 v (SM) Departamento de Ingeniería Mecánica 46

47 Cálculo de aceleraciones (III) Cálculo de dir arr t SM dir arr n a a a a (1) a = O + 3 n + t v a a dir O 2 n = t 3 O 3 a = a + a + a (2) arr rel cor a = a arr O 1 + a + a n arr comosi 1 a rel O1P a = 2 ω v ( O P y v ) cor 1 r 1 r t arr Departamento de Ingeniería Mecánica 47

48 Cálculo de aceleraciones (IV) Secuencia de cálculo (1) (2) (3) (4) (5) a t arr O1P a n arr (3) (2) a O3 cor o (4) (1) a n dir a t a t dir a O P rel 1 (5) Departamento de Ingeniería Mecánica 48