TEORÍA DE MÁQUINAS 2.- CINEMÁTICA DE MECANISMOS. Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniería Mecánica

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1 TEORÍ DE MÁQUINS 2.- CINEMÁTIC DE MECNISMOS

2 Cinemática de máquinas Capítulo II: CINEMÁTIC Y DINÁMIC DE LOS MECNISMOS Y MÁQUINS Tema 2.- Cinemática de los mecanismos Lección 2.- Estudio cinemático de mecanismos partado 1.- Introducción. partado 2.- Mecanismos planos. Concepto de CIR. partado 3.- Técnicas de determinación de velocidades. partado 4.- Velocidades relativas. Estudio del mecanismo de corredera. 2

3 Cinemática de máquinas Lección 3.- Estudio cinemático de mecanismos. Velocidades. partado 1.- Velocidad de cambio de polo. Determinación de trayectorias (base, ruleta). partado 2.- Fórmula de Euler-Savary. partado 3.- plicación al cuadrilatero articulado. partado 4.- CIR relativos. Teorema de Kennedy. Lección 4.- Estudio cinemático de mecanismos. celeraciones. partado 1.- celeración en mecanismos planos. Polo de aceleraciones. partado 2.- Técnicas gráficas de determinación de aceleraciones. partado 3.- plicación al cuadrilatero articulado. Cínema de aceleraciones. partado 4.- Estudio del mecanismo biela-manivela. Mecanismo céntrico. 3

4 Cinemática de máquinas. Objetivos Estudio cinemático: determinación de Trayectorias Velocidades celeraciones Métodos analíticos y gráficos Pares elementales Rotación Traslación 4

5 Rotaciones (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes FUERZ Vectores deslizantes ROTCIÓN Reducción del sistema de vectores deslizantes en un punto dado. (Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas) (Rotación, Momento de la rotación) Velocidad NOT: los vectores deslizantes se aplican sobre un sólido rígido 5

6 Fuerzas (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes FUERZ La reducción del sistema de vectores Deslizantes FUERZ en un punto cualquiera P, consiste en : Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas, en dicho punto P. Posicionar el vector Suma de los Momentos de las fuerzas respecto a dicho punto P. 6

7 Reducción sistema de fuerzas en un punto En el punto de contacto P El sólido rígido superior ctúa mediante un sistema Equivalente de vectores, Consistente en: -una resultante de las fuerzas ctuantes. - un momento suma de los momentos de cada una de las fuerzas en el punto P. 7

8 Rotaciones (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes ROTCIÓN La reducción del sistema de vectores deslizantes ROTCIÓN en un punto cualquiera P, consiste en : Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho punto P. Y Posicionar el vector Suma de los Momentos de las rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDD DE P) 8

9 Rotaciones (Vectores deslizantes) El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede representarse por el esquema de la figura. Cada bastidor está bajo el efecto de una rotación. Estando todos los ejes de rotación de cada bastidor apoyados en el siguiente. Cualquier punto P del sólido rígido está afectado por una rotación suma de las de cada bastidor. Cualquier punto P del sólido rígido está afectado por el momento suma de todas las rotaciones, es decir su velocidad. w 3 w 1 SÓLIDO RÍGIDO w 2 w 4 9

10 Movimiento general de un sólido rígido El sistema de referencia (SF) es fijo V = V + ω OP P 0 10

11 Movimiento general en el plano Sólido rígido V P = V 0+ ω OP V = 0 I V = V + IP ω P I 11

12 Cinemática Ecuaciones Mecánica (dado un SF, SM) r =r +r BS RR REL v =v +v BS RR REL a = a + a + a BS RR REL COR IOLIS Relaciones vectoriales (, B Є a un sólido rígido SR) r =r +r B B v =v +v + v a B B = a + a B B + REL a REL + a COR IOLIS v 0,, = a = 0 a = 0 REL REL COR IOLIS (Dado un SF, y un SM asociado al SR) 12

13 Cinemática Ecuaciones Mecánica (dado un SF, SM) r =r +r BS RR REL v =v +v BS RR REL a = a + a + a BS RR REL COR IOLIS Relaciones vectoriales (, B Є a un sólido rígido SR) r =r +r B B v =v + ω r + v B B B dω a = a + ω ( ω r ) + B B rb dt + a + a B COR IOLIS, v 0 ω = 0 a = 2ω = COR IOLIS rel (Dado un SF, y un SM asociado a un punto del SR y // al SF) 13

14 Cinemática de un eslabón Velocidad de un punto genérico del eslabón 3 v = v + v 31 3C C1 Pegados al eslabón en estudio en el punto C y paralelos al sistema fijo en todo momento M 31 (absoluto) Movimiento absoluto del eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 1 Rotación de 3 sobre C M C1 (arrastre) Movimiento del punto C del eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 1 M 3C (relativos) Rotación alrededor de C Movimiento absoluto del eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 3 14

15 celeración en un eslabón (I) Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto C del propio eslabón, y mantenemos el SM paralelo al SF a = a + a + a 31 3C C1 COR IOLIS a = a + a C C1 eslabón TIERR Interpretación: a31 = ROT+ TRS a = 2 ω V 0 CORIOLIS SM 3C 0 15

16 celeración en un eslabón (II) a = a + a + a COR IOLIS eslabón abs = arr + arel + acor IOLIS v = v + v BS RR REL 16

17 Técnicas de determinación de velocidades 1. Método de proyección o componente axial 2. Método de las velocidades giradas 3. Cinema de velocidades 4. Método de las velocidades relativas 17

18 1. Método de proyección, B B = cte vb = 0 v = v B B B SF v v Dado y la dirección de conocemos B v B 18

19 2. Método de las velocidades giradas (I) Datos: C, vc y Incógnita: Técnica gráfica de cálculo de velocidades v Eslabón Cinema de velocidades de BC (abc) ωeslbon 1. Giramos 90º sentido obtenemos C 2. Obtenemos, siendo 3. Giramos 90º en sentido contrario a ESLBON el segmento obteniendo ω ESLBON C C'' v C ω v ' 19

20 2. Método de las velocidades giradas (II) v ' Cálculo de v N N' N'' v NN'' N v ' Cálculo de v M M' M'' v MM'' M Cínema de velocidades de los eslabones: O 2 OB 4 B oa ob ab 20

21 3. Cínema de velocidades (I) Sea un eslabón y su CIR en un instante dado. P P eslabón: vp = ω rp CIR r p ω Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y haciendo una expansión o contracción de factor ω. Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá, posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de velocidades (puntos homólogos de los del eslabón). k Vector unitario al plano P eslabón si ω = 1 v = k r P HOMOLOGÍ 90º ω P P cínema 21

22 3. Cinema de velocidades (II) Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del mecanismo articulado plano para cada eslabón 22

23 4. Método de velocidades relativas Sean, B Eslabón v = v + v B B Rotación de B sobre B v Traslación de B v B v B v B v B 23

24 Cinema de velocidades del eslabón BCD Datos: v Técnica del punto auxiliar: obtención de la v x, a partir del esquema de velocidades del eslabón (4) vx = vxb + vb vb = vb + v vx = vxb + vb + v X (4) Encontrar tal que v XB vb BX Localizar un punto de 4, por ejemplo C con velocidad de dirección conocida, de modo que X (4) esté localizado de manera que v v XC C (2) Eslabón (4) (1) Cinema del punto auxiliar x 24

25 Velocidades relativas. Mecanismo de corredera nálisis del punto C (C3 y C 2) Dato v = v + v C C C C Eslabón (deslizadera) (4) Dir. Dir. Tg. guía Conocido el centro de curvatura de la guía por donde se desliza el eslabón (4), podemos sustituir el mecanismo por el cuadrilátero articulado: O,C,C,O en C se hace el cálculo de v C0 v = v + v C C C C Dir. 25

26 Polo de velocidades de un eslabón La rodadura de la curva C m sobre la C f define el movimiento del eslabón CIR del eslabón (2). Es un punto fijo Eslabón biela CIR permanentes CIR del eslabón (3). es un punto móvil C f P 3 Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema fijo a tierra C m describe la curva polar Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema móvil de la biela CIR del eslabón (4). Es un punto fijo 26

27 Curvas polares eslabón Velocidad de cambio de polo u tangente a la curva polar (PROPIEDD) lim t Cf P t CIR 3 Pt+ t en t PP t t t+ t Detalle: P CIR del eslabón (3) CIR 3 en t+ t Componentes de Euler-Savary C m u = ua + ud = = u + u' b d 27

28 Fórmula de Euler-Savary (I) La componente de la velocidad de cambio de polo en la dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad del punto según las distancias del punto y del CIR al centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el punto. Sea el punto perteneciente al eslabón Sea ρ el centro de curvatura de C C ρ CIR u v v u = C IC C C 28

29 Fórmula de Euler-Savary (II) Relaciona: u, ρ,v,cir Componentes de Vectores paralelos a i ds,ds Velocidad de cambio de polo: dciriciri' u = t dsb B d B ds d v ρ α B τ B v ρ = = α = = τ dt dt dt dt τ Vector unitario tangente CIR CIR dscir i,b = CC dα B B τ i' B dscir i, = CC dα τ B dscir i, CC CIR i PROY. u ds = u = = v dt ρ dscir i,b CC CIR B i PROY. u dsb = ub = = vb dt ρ B 29

30 Velocidad de cambio de polo Obtención gráfica. plicación a la biela 3 de un cuadrilátero articulado de la Fórmula de Euler-Savary ρ ρ,v,cir u,v,cir u 3 B B 3 B I 13 u = u + (u d) u = u + ' (u' ) B d Velocidad del punto B de la biela 3 Velocidad cambio de polo Velocidad del punto de la biela 3 30

31 Teorema de Kennedy (I) I 23 I 13 I 34 I 24 I 21 I 14 Teorema de los tres centros o teorema de Kennedy CIR relativo es el punto en el que la velocidad relativa entre dos eslabones dados se anula CIR = CIR B B Sea un mecanismo articulado plano: Sean 3 los eslabones:, B, C. Los 3 CIR relativos 2 a 2 ESTÁN LINEDOS I B, I BC, IC lineados 31

32 Teorema de Kennedy (II) Sean:, B, C los eslabones Sea el CIR relativo de B Sea el CIR relativo de C v = v α=πrad Sea O el CIR relativo de C B O B O C l calcular las velocidades relativas respecto al eslabón B o C, se observa que son iguales, pues O es un punto CIR relativo α O Para que sean iguales v O B, vo C los tres CIR relativos,, O deben estar alineados 32

33 Cálculo de los CIR relativos usando el teorema de Kennedy N eslabones ( ) N N 1 2 (CIR relativos) 1. Se calculan los CIR absolutos (N,1). 2. Se calculan los CIR relativos en las articulaciones (N,N-1). 3. Se calculan los CIR relativos en las deslizaderas guia 4. Se aplica el teorema de Kennedy ( ) 33

34 Escalas gráficas Escala de longitudes Escala de velocidades Escala de aceleraciones α cm grafi cos cm real β cm grafi cos cm seg real γ = 2 β α 34

35 Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientes a un mismo eslabón (mismo SM) d dt d dt rb = r + rb vb = v + vb a = a + a B B Si, B Є pieza sólido rígido rb vb a B B cte B rota sobre Posición de B respecto de velocidad de B respecto de aceleración de B respecto de 35

36 Posición, velocidad y aceleración de P, se mueve respecto al sistema móvil El sistema móvil está parametrizado por la posición del origen del sistema móvil (O) y el vector de rotación ( ω ) del triedro móvil respecto al triedro fijo. SF O SM ω arrastre rm vm a M Posición relativa velocidad relativa aceleración relativa Posición, velocidad y aceleración de arrastre rarr = r0 varr = v0 +ω rm a = a +α r +ω ω r ( ) arr 0 M M 36

37 Estudio de la aceleración (I) Pto Є eslabón i Pto B Є eslabón i Pto C Є eslabón i+1 SM i B C i+1 SM pegado al eslabón i que rota con ω i respecto al SF SF B i, rb = rb + r vb = vb + v a = a + a B B C + i 1, rc = rc + r vc = vc + v a = a + a + a C C CORIOLIS B rota sobre con ω i C rota sobre con ω ac = ac + aarr + acoriolis i Rotación SM 37

38 Estudio de la aceleración (II) Caso de movimiento circular 2 a = ρ α a =ω ρ celeración de los puntos y B Є pieza ω B v t cte B dω dt n v = v + v B B arrastre Rotación a = a + a B B Rotación sobre acoriolis = 0 v = 0 arr 38

39 Ejemplos: Manivela a = ao + a O C O a = a + a C O t n a = a + a O t n O O Coincide el CIR = O Coincide el polo = O de aceleraciones En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos CIR Polo aceleraciones 39

40 celeración del polo del cinema de I I' I'' a a 0 a = a + a I I I no es un punto singular en cuanto a aceleraciones velocidades I POLO VELOCIDD a = a + a ω, α,a { } B B 40

41 Polo de aceleraciones (I) a = ab + a B;, B a = a I + a I (a I 0 en general);, I CIR ap = 0 a = ap + a P P a = a P Si conocemos P, el cuerpo se comporta como un sólido rígido en rotación pura en ese instante POLO DE CELERCIONES Modelo de comportamiento del eslabón en el instante t en cuanto a aceleraciones a XP 41

42 Polo de aceleraciones (II) B a θ θ a B Polo P eslabon ( a ) P = 0 aceleración a P a a B = ap = a BP celeración relativa de alrededor de P, con ω y α del eslabón eslabón Cinema de aceleraciones (,B,C) (a,b,c) 42

43 celeración normal Construcción gráfica del vector aceleración normal relacionado con una rotación (pura) Teorema del cateto Teorema de la altura c m h n 2 h m n 2 c = m m+ n = ( ) Centro de rotación 43

44 Obtención de la aceleración Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir de la aceleración en : a = a + a B B donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática relativa de B respecto de 44

45 Datos: t es decir, conocemos la secuencia gráfica sería: 1. Obtención gráfica de 2. Cinema del eslabón 2 3. Obtención gráfica de 4. Obtención gráfica de a partir de y v,a a n 5. Obtención gráfica de a n a n B a a n B ejemplo ω, α 2 2 a t 45

46 ejemplo datos Cinema de v, a t velocidades del eslabón 3 Cinema de velocidades del eslabón 5 a Obtenemos conjuntamente B con a y tenemos el cinema de aceleraciones del eslabón 3 y obtenemos a C 46

47 nálisis de aceleraciones (I) En piezas articuladas P 1o 2 ap v P = ap = v (1) (2) (1) (2) P 1 2 En piezas con contacto deslizante vp a P vp a (1) (2) P (1) (2) P Se conoce la dirección de la velocidad relativa 1 articulación 2 SM P 1,2 3 47

48 v (3) nálisis de aceleraciones (II) 1 v = v (abs ) + v (arr ) ( rel) SM v = v + v SM ( ω ) 1, α1 Considero y enclavo en él el 3 (3) (1) (SM) 1 v (1) 1 2 v (SM) 48

49 Cálculo de aceleraciones (III) Cálculo de dir arr t SM dir arr n a a a a (1) a = O + 3 n + t v a a dir O 2 n = t 3 O 3 a = a + a + a (2) arr rel cor a = a arr O 1 + a + a n arr comosi 1 a rel O1P a = 2 ω v ( O P y v ) cor 1 r 1 r t arr 49

50 Cálculo de aceleraciones (IV) Secuencia de cálculo (1) (2) (3) (4) (5) a t arr O1P a n arr (3) (2) a O3 cor o (4) (1) a n dir a t a t dir a O P rel 1 (5) 50

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