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1 FÍSICA GENERAL I Descripción del movimiento 1 Responda las siguientes cuestiones en el caso de un movimiento rectilíneo ilustrando sus respuestas con la ayuda de gráficas x-t ó v-t según corresponda. a Puede ser la aceleración y velocidad distinta de en todos los puntos de un intervalo? Y en algún punto del intervalo? b Puede ser la velocidad y aceleración distinta de en todos los puntos de un intervalo? Y en algún punto del intervalo? c Pueden ser la velocidad y la aceleración iguales a (distintas de) en todos los puntos de un intervalo? Y en algún punto del intervalo? d Pueden tener la velocidad y la aceleración distinto signo (igual signo) en todos los puntos de un intervalo? e Puede ser la velocidad media menor (mayor) que la velocidad en cada uno de los puntos de un intervalo? f Es siempre la velocidad media igual a la velocidad en algún punto del intervalo? g Puede ser la velocidad media igual a la velocidad en todos los puntos de un intervalo? h Si la aceleración de una partícula es constante la velocidad media en cualquier intervalo es igual a la media aritmética de las velocidades inicial y final Se cumple esto si la aceleración no es constante? La siguiente figura es una gráfica de la posición de una araña que camina sobre el eje x. x parábola recta parábola recta parábola t t 1 t t 3 t 4 t 5 t 6 Haga una gráfica de su velocidad y aceleración en función del tiempo.

2 3 Una profesora sale de su casa y camina hacia el campus. Al cabo de cierto tiempo comienza a llover y regresa a su casa. Su posición desde su casa en función del tiempo se muestra en la figura x III IV I II V t Diga en cuál de los puntos rotulados su velocidad es: a nula b constante y positiva c constante y negativa d de magnitud creciente e de magnitud decreciente 4 La figura muestra la aceleración de una locomotora de juguete que se mueve en el eje x. a(m/s ) t(s) - Dibuje las gráficas x(t) y v(t) si x= y v= cuando t=.

3 5 La posición de una partícula entre t= y t= s está dada por: x ( t) = ( ms ) t 7( ms ) t + 7( ms ) t. a Trace las curvas x-t, v-t y a-t de su movimiento b En qué instante(s) está en reposo la partícula? Coincide el resultado con la gráfica v-t del apartado a? c En cada instante calculado en b la aceleración es positiva o negativa? Demuestre que la respuesta puede deducirse de a(t) y de la gráfica v-t d En qué instante(s) entre t= y t=s no está cambiando la velocidad instantánea de la partícula? Sitúe este punto en las curvas v-t y a-t de a e Cuál es la distancia máxima de la partícula respecto al origen (x=) entre t= y t= s? f En qué instante(s) entre t= y t=s la partícula está aumentando de velocidad con mayor ritmo? En qué instante(s) de ese intervalo se está frenado con mayor ritmo? Sitúe esos puntos en las curvas v-t y a-t de a 6 En t= un auto está detenido en un semáforo. Al encenderse la luz verde el auto acelera a razón constante hasta alcanzar una velocidad de ms -1 a los 8 s de arrancar. El auto continúa con velocidad constante durante 4 m. Luego el conductor ve un semáforo en rojo en el siguiente cruce y frena a razón constante. El auto para en el semáforo a 18 m de donde estaba en t=. Dibuje las curvas x-t, v-t y a-t exactas para el movimiento del coche. 7 El ser humano puede sobrevivir a un suceso de trauma por aceleración negativa si su magnitud es menor que 5 ms -. Si usted sufre un accidente automovilístico con velocidad inicial de 88 km/h y es detenido por una bolsa de aire que se infle desde el tablero, en qué distancia mínima debe ser detenido para poder sobrevivir? 8 Un tren subterráneo parte de una estación y acelera a 1.8 ms - durante 1 s, viaja con rapidez constante 5 s y frena a 3.5 ms - hasta parar en la siguiente estación. Calcule la distancia total recorrida.

4 9 Cuando un semáforo se pone en verde, un coche que esperaba en el cruce arranca con aceleración constante de ms -. En ese instante un camión con velocidad constante de 18 ms -1 alcanza y adelanta al coche. a A qué distancia de su punto de partida el coche alcanza al camión? b Qué velocidad tiene el coche en ese momento? c Dibuje en una sola gráfica la posición de cada vehículo en función del tiempo. Considere x=, t= en el cruce. 1 Un coche de 3.5 m de longitud viaja con una velocidad constante de ms -1 y se acerca a un cruce de m de ancho. El semáforo se pone amarillo cuando el frente del coche está a 5 m del cruce. Si el conductor pisa el freno el coche se frenará a -4. ms - ; si pisa el acelerador el auto acelerará a 1.5 ms -. El semáforo estará en amarillo durante 3s. Ignore el tiempo de reacción del conductor Deberá éste, para no estar en el cruce con el semáforo en rojo, pisar el freno o el acelerador? 11 Dos automóviles, A y B, se mueven en el mismo sentido con velocidades v A y v B, respectivamente. Cuando el auto A está a una distancia d detrás de B se aplica el freno en A produciendo una desaceleración a. Verifique que para evitar un choque entre A y B es necesario que v A -v B <(ad) 1/. 1 Si una pulga puede saltar.5 m hacia arriba, qué velocidad tiene al separarse del suelo? Cuánto tiempo está en el aire? 13 Se lanza un huevo casi verticalmente hacia arriba desde un punto cerca de la cornisa de un edificio; al bajar apenas libra la cornisa y pasa por un punto a 5 m por debajo del punto de partida 6 s después de ser lanzado. Puede ignorarse la resistencia del aire a Qué velocidad inicial tiene el huevo? b Qué altura alcanza sobre el punto de lanzamiento? c Qué magnitud tiene su velocidad en el punto más alto? d Qué magnitud y dirección tiene su aceleración en el punto más alto?

5 14 Demuestre que si pueden ignorarse los efectos del aire a Al lanzar algo verticalmente hacia arriba cuando regrese al punto de lanzamiento tendrá la misma velocidad con que se lanzó pero cambiada de signo b El tiempo de vuelo será el doble del tiempo de subida 15 Un excursionista ve caer un peñasco desde un risco. Observa que tarda 1.5 s en caer el último tercio de la distancia hasta el suelo Qué altura tiene el risco? 16 Un cuerpo que cae recorre 65.1 m en el último segundo de su movimiento. Suponiendo que empezó desde el reposo determine la altura desde la que cayó y cuánto tiempo tardó en llegar al suelo. 17 Se lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una azotea. Una segunda pelota se deja caer desde la azotea s después. Ignore la resistencia del aire. a Si la altura del edificio es de 6 m Qué velocidad inicial necesitará la primera pelota para que las dos lleguen al suelo al mismo tiempo? Dibuje en una sola gráfica la posición de cada pelota en función del tiempo a partir del instante en que se lanzó la primera. Considere la misma situación pero ahora con v de la primera pelota como dato y la altura h del edificio como incógnita. b Cuál debe ser la altura del edificio para que las dos pelotas lleguen al suelo al mismo tiempo si v = es 13 ms -1? c Si v es mayor que cierto valor v máx, no existe una altura finita para que ambas pelotas lleguen al suelo simultáneamente. Obtenga v máx. d Si v es menor que cierto valor v mín tampoco existe una altura distinta de cero para que ambas pelotas lleguen al suelo al mismo tiempo. Obtenga v mín.

6 18 Una partícula sigue la trayectoria que se muestra en la figura, donde entre B y D la trayectoria es recta. E A B C D Dibuje los vectores aceleración en A, C y E si: a la partícula se mueve con rapidez constante b la rapidez aumenta uniformemente c la rapidez disminuye uniformemente 19 Un péndulo simple (masa puntual que oscila al final de una cuerda) se mueve describiendo un arco de circunferencia Qué dirección tiene su aceleración en los extremos del arco? Y en el punto medio del arco? La posición de un coche controlado por radio es r=(1t -7t)u x +(18t -4t 3 )u y, donde todos los valores se dan en unidades del Sistema Internacional. Calcule la magnitud y dirección de los vectores posición y aceleración en el instante en que el coche está en reposo. 1 Una motocicleta se mueve en el plano xy con aceleración a=1.t u x +.6tu y donde todos los valores se dan en unidades del Sistema Internacional. Si la moto está parada en el origen en t=: a Deduzca las expresiones para los vectores velocidad y posición en función del tiempo b Dibuje la trayectoria de la moto c Obtenga la magnitud y dirección de la velocidad en t=3 s Si una rana puede saltar con la misma velocidad inicial sin importar la dirección, qué relación hay entre la altura máxima y el alcance máximo de su salto?

7 3 Un proyectil se lanza con una velocidad inicial v =5 ms -1 y un ángulo inicial α =45º. a Calcule el instante T en el que el proyectil está a su altura máxima b En t 1 =T-1s, t =T y t 3 =T+1s, obtenga las componentes de los vectores posición y velocidad a lo largo de los ejes x e y c En esos instantes obtenga las componentes del vector aceleración que son paralelas y perpendiculares a la velocidad d Dibuje la trayectoria del proyectil e identifique su posición en los instantes t 1, t y t 3. En estas posiciones dibuje el vector velocidad y las componentes paralelas y perpendiculares del vector aceleración e Comente cómo cambian la rapidez y la dirección del movimiento del proyectil en los instantes t 1, t y t 3 y explique como los vectores de su dibujo describen tales cambios 4 Durante un juego de béisbol se lanza una bola con un ángulo de 53.1º sobre la horizontal y con una rapidez inicial de 4 ms -1. Puede ignorarse la resistencia del aire. a En qué instantes estuvo la bola a 5 m sobre el punto de lanzamiento? b Calcule las componentes horizontal y vertical de la velocidad en esos dos instantes c Qué magnitud y velocidad tenía la bola al regresar al nivel en que se lanzó? 5 Un jugador patea un balón con un ángulo de 4º sobre la horizontal y con una rapidez inicial de 14 ms -1. Puede ignorarse la resistencia del aire. Otro jugador parado a 6 m del primero comienza a correr con velocidad constante en el momento de la patada Qué rapidez debe adquirir para llegar al balón antes de que éste toque el suelo? 6 Una pelota lanzada 6º sobre la horizontal golpea un edificio situado a 36 m en un punto 8 m más arriba del punto de lanzamiento. Puede ignorarse la resistencia del aire. a Calcule la magnitud de la velocidad inicial de la bola b Obtenga la magnitud y dirección de la bola justo antes de golpear el edificio

8 7 Se lanza un proyectil con una rapidez v y un ángulo α sobre la horizontal desde una altura h sobre el suelo. a Demuestre que si no se considera la resistencia del aire la distancia horizontal que recorre el proyectil antes de tocar el suelo es: [ v senα + v sen + gh ] v cosα x = α g b Simplifique la expresión para el caso en el que el punto de lanzamiento esté en el suelo c Si v =1 ms -1 y h= m, dibuje x en función de α para valores de α entre y 9º Cuáles son los valores de x para α = y α =9º? Explíquelos 8 Se lanza una roca desde una azotea con una rapidez v y un ángulo α con la horizontal. La altura del edificio es h. Puede ignorarse la resistencia del aire. Calcule la rapidez de la roca justo antes de tocar el suelo y demuestre que es independiente de α. 9 Un proyectil recibe una velocidad inicial de magnitud v y ángulo φ sobre la superficie de una rampa que, a su vez, está inclinada un ángulo θ sobre la horizontal. a Calcule la distancia sobre la rampa desde el punto de lanzamiento hasta donde el objeto golpea la rampa. Exprésela en términos de v, g, φ y θ b Qué ángulo φ da el alcance máximo sobre la rampa? 3 Un objeto viaja en un círculo de radio R=m y rapidez constante v=6 ms -1. Sea v 1 la velocidad en t 1 y v en t. Considere v= v -v 1 y t= t -t 1. Recuerde que a media = v/ t. Para t=.5s,.1s y.5s Calcule la magnitud (con cuatro cifras significativas) y la dirección (relativa a v 1 ) de la aceleración media. Compare su resultado con la expresión general de la aceleración instantánea para el movimiento circular uniforme. 31 Un cuerpo inicialmente en reposo (θ=, ω= en t=) es acelerado en una trayectoria circular de 1.3 m de radio de acuerdo con la ecuación dω/dt=1t +48t+16 donde todos los valores se dan en las unidades del Sistema Internacional. Halle θ(t), ω(t) y las componentes paralela y perpendicular de su aceleración.

9 3 Una roca atada a una cuerda se mueve en el plano x-y. Sus coordenadas en función del tiempo son: x = R cos ω t y = R senω t, donde r y ω son constantes. a Demuestre que la distancia de la roca al origen es constante e igual a R, es decir, que su trayectoria es un círculo de radio R b Demuestre que la velocidad de la roca en todos los puntos es perpendicular a su vector de posición c Demuestre que la aceleración es siempre opuesta al vector de posición y tiene una magnitud ω R d Demuestre que la magnitud de la velocidad de la roca es constante e igual a ωr e Combine los resultados de c y d para demostrar que la aceleración de la roca tiene una magnitud v /R 33 Un río fluye hacia el norte a.4 ms -1. Un hombre cruza el río remando en un bote con velocidad relativa al agua de 4. ms -1 hacia el este. El río tiene 1 m de ancho. a Qué velocidad tiene en relación con la tierra firme? b Cuánto tiempo le lleva cruzar el río? c A qué distancia al norte de su punto de partida llegará a la otra orilla? d Qué dirección debe tomar el bote para llegar a un punto de la orilla opuesta enfrente de su punto de partida? e Qué velocidad tendría el bote respecto a la tierra firme? f Cuánto tardaría en cruzar? 34 Una llanta de radio R rueda con velocidad constante v a lo largo de un plano horizontal. a Verifique que la posición de un punto de su borde, inicialmente en el origen y en reposo está dada por las ecuaciones: x=r(ωt-sen ωt) y y=r(1-cos ωt), donde ω=v /R es la velocidad angular de la llanta b Halle las componentes de la velocidad y de la aceleración del punto c Dibuje la velocidad y la aceleración del punto sobre su trayectoria

10 35 La posición de una partícula en un sistema de coordenadas O se mide en m según la siguiente expresión r=(6t -4t)u x -3t 3 u y +3u z, donde todos los valores se dan en unidades del Sistema Internacional. a Determine la velocidad relativa del sistema O con respecto a O si la posición de la partícula con relación a O Se mide como r=(6t +3t)u x - 3t 3 u y +3u z b Demuestre que la aceleración de la partícula es la misma en ambos sistemas

11 Soluciones 1 a Sí, sí b No, sí c Sí (sí), Sí (sí) d Sí (sí) e No (no) f Sí g Sí h No v t a t 3 a IV b I c V d II e III v x t t

12 5 a v ( t) = 6t 14t + 7 a ( t) = 1t 14 b t 1 =.76 s y t =1.67 s c a(.76 s)=-5.3 ms - y a(1.67 s)=5.3 ms - d t=1.16 s e x=.157 m f t acelerando = s y t frenando = s 6 Si s t 8 s: a(t)=.5 (ms - ), v(t)=.5t (ms -1 ), x(t)=1.5t (m). Si 8 s t 1 s: a(t)= (ms - ), v(t)= (ms -1 ), x(t)=-8+t (m). Si 1 s t 16 s: a(t)=-3.33 (ms - ), v(t)= t (ms -1 ), x(t)= t-1.66t (m). 7 x min = x=176.5 m 9 a x=34 m b v=36 ms -1 c x coche =t (m), x camión =18t (m) 1 Pisar el freno 11 1 v =3. ms -1, t=.65 s 13 a v =1.6 ms -1 b h=.6 m c v= ms -1 d a=-9.8 u y (ms - ) 14

13 15 h=37.4 m 16 h=5 m, t=7.143 s 17 a v =16.4 ms -1 y 1 (t)= 6 (m) si t s y 1 (t)= t-4.9t (m) si t s y (t)=6 (m) si t s y 1 (t)= t-4.9t (m) t s b h=4.6 m c v máx =19.6 ms -1 d v mín =9.8 ms a= a b c 19 Dirección tangencial. Dirección radial. r=-18u x +54u y (m) y a=4u x -36u y (ms - ) 1 a r=.1t 4 u x +.433t 3 u y (m) y v=.4t 3 u x +1.3t u y (ms -1 ) b y=.436x.75 c v=1.8u x +11.7u y (ms -1 ) h máx = tgα x máx 1 4

14 3 4 a T=1.84 s b r(t-1)=14.1u x +11.4u y (m) y v(t-1)=17.67u x +9.8u y (ms -1 ) r(t)=31.89u x u y (m) y v(t)=17.67u x (ms -1 ) r(t+1)=49.57u x +11.4u y (m) y v(t+1)=17.67u x -9.8u y (ms -1 ) c a(t-1)=-4.75u +8.57u (ms - ) a(t)=9.8u (ms - ) a(t+1)= )=4.75u +8.57u (ms - ) d y=x-.157x a t 1 =.91s y t =5.6s b v(.91s)=4.u x +3.u y (ms -1 ) y v(5.6)=4.u x -3.u y (ms -1 ) c v=4.u x u y (ms -1 ) 5 v=3.44 ms -1 6 a v =1.61 ms -1 b v =1.8u x -13.9u y (ms -1 ) 7 a b x = v senα cosα g c x = 1.41cosα senα sen α x (m) α (º)

15 8 v = v gh + 9 a b v senϕ senθ sen ϕ x = g cosθ cos θ 1 = tgθ tgϕ 3 a t =.5s) = ms ( a, v )( t =.5s) = 47.º a a m ( m 1 m r r ( t =.1s) = ms ( am, v1 )( t =.1s) = 81.4º r r t =.5s) = ms ( a, v )( t =.5s) = 85.7º m ( m 1 r r 31 θ(t)=(5t 4 +4t 3 +4t ) y ω(t)= 8(5t 3 +3t +t) (s -1 ) a =1.4(15t +6t+) (ms - ) y a =-83.(5t 3 +3t +t) (ms - ) a v=4.u x +.4u y (ms -1 ) (u x dirección este y u y dirección norte) b t=38.9 s c d= m d º medidos desde la dirección norte e v=3.44u x (ms -1 ) f t=9.1 s a b v=rω(1-cosωt)u x + Rωsenωtu y c a=rω senωtu x + Rω cosωtu y 35 a V=-7u x (ms -1 ) b

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