sin 2w r 5014 Mecánica Segunda Parte (90 minutos) - Hoja 1 de 2 Ejercicio 2.1 ( ) =

Transcripción

1 Publicación de Notas: -7- Fecha de Examen: -7- Mecánica Primer pellido: Matrícula: Segundo pellido: Nombre: NOT: en el enunciado las magnitudes vectoriales se escriben en negrita (V), aunque en la solución Vd. Debe representarlas con una flecha ( V ). No se permite el uso de calculadora. La ponderación de este ejercicio en el examen es del %. Todos los recuadros tienen la misma ponderación. onteste a cada pregunta sólo con un resultado. Segunda Parte (9 minutos) - Hoja de Ejercicio. O Un círculo homogéneo de masa m y radio r se mantiene siempre sobre un plano vertical rodando sin deslizar sobre una circunferencia de radio R = r contenida en un plano vertical. En el instante t = el círculo se encuentra en reposo en la posición de la figura: ( t ) 6º. Se pide determinar: R g α w R r Datos del problema: m, g (aceleración de la gravedad) y r ) El módulo v de la velocidad del centro del círculo y la velocidad angular w del círculo, ambos en función de d / dt y de los datos del problema : v ( ) = v r w( ) = w ) La energía potencial U y la energía cinética E del círculo en función de y d / dt y de los datos del problema : (tómese como origen de energías potenciales el punto O) U( ) = U( ) mgrcos E(, ) = E( ) mr ) La velocidad angular w del círculo y su aceleración angular w en función de y de los datos del problema: w( ) = 8 g w cos r ( ) = g r sin partir de este punto, supóngase conocido el valor de w( ) w y w ( ) ambos en = : ) Módulo v I* de la velocidad de sucesión de polos y módulo v de la velocidad del punto del círculo situado en una posición diametralmente opuesta al punto de contacto entre el círculo y la circunferencia de radio R : v ( ) I* = vi* v ( ) = v w r ) Módulo a I de la aceleración del IR y módulo a de la aceleración del punto : a ( ) I = ai a ( ) = a Nota: onsidérense para el ángulo, la velocidad angular w y la aceleración angular w del círculo, como sentidos positivos los representados en la figura con una flecha.

2 Publicación de Notas: -7- Fecha de Examen: -7- Primer pellido: Matrícula: Mecánica Segundo pellido: Nombre: Segunda Parte (9 minutos) - Hoja de Ejercicio. El mecanismo de la figura está formado por tres barras articuladas en los extremos (, y, ver figura), de sección despreciable y masas m m, m m y m m que pueden moverse sobre un plano vertical. La barra se mueve con velocidad angular constante y conocida k respecto del sistema fijo S, i, j. demás, en el instante t el mecanismo se encuentra en la posición representada en la figura. Datos: m,, a. Se pide determinar:. Las velocidades angulares y (expresiones vectoriales) de la barras y respecto del sistema fijo. a a. Las velocidades v, v y D v, respecto del sistema fijo, de los puntos y D de la figura así como del punto central de la barra.. Las energías cinéticas T, T y T de las barras, y.. Las aceleraciones angulares y de las barras y respecto del sistema fijo. Ω y D E a x = k = k v = a( i j ) v = D ai v = a( i j ) T = ma T = 8ma T = ma = = k

3 Resolución Propuesta Ejercicio nº. O ) La velocidad v del centro del círculo puede escribirse utilizando las dos ecuaciones siguientes: v R' wr Por tanto, R' w r R α w R r Particularizando para R' Rr rr r, se obtiene v r y w ) La energía potencial del círculo será la debida exclusivamente a la energía potencial gravitatoria: U mgz mg( R'cos ) particularizando para R' r : U( ) mgrcos La energía cinética del círculo será R' E mv Iw m( R' ) mr r Particularizando para R' r y simplificando se obtiene E( ) mr ) El sistema es conservativo (la única fuerza aplicada presente, el peso, deriva de una función potencial y no existe deslizamiento) por lo que la energía mecánica se conserva: E U E mgrcosmr cte En el instante t =, ( t ) 6º y ( t ), por tanto E cte E( t ) mgr onsiguientemente la ecuación de la energía mecánica queda en la forma : mgr cosmr mgr Despejando se obtiene mgr mgr cos g(cos ) g mr r cos r 8 g Dado que w, w cos r

4 Si se deriva la ecuación de la energía mecánica respecto del tiempo: d d dt dt mgr cos mr cte mgr sin mr Simplificando y despejando se tiene mgr g sin sin mr r g Dado que w, se tendrá que w y por tanto r sin ) partir de este punto, se supone conocido el valor de w( ) w y w ( ), ambos en =. La velocidad de sucesión de polos puede obtenerse utilizando la siguiente expresión: n I n w n ( wk) n ( wk) n vi* ( kn) nn r R r r Por tanto su módulo será: vi* La velocidad del punto responde a la siguiente expresión: v wi ( wk) ( rn) wr( kn ) Por tanto su módulo sería v wr, ) La aceleración del centro instantáneo de rotación sería Su módulo sería ai I I* ( w ) a wv k ( k n ) n La aceleración del punto puede calcularse utilizando la siguiente expresión: a ai w Iw( wi) n n n Por tanto, su módulo sería: a

5 Resolución Propuesta Ejercicio nº. v Ω a v y vd D a E x entros Instantáneos de Rotación: Los puntos y D describen trayectorias circulares con centros en los puntos y E respectivamente. Por tanto, el centro instantáneo de rotación I de la barra (roja) se encontrará en la intersección de las normales a las trayectorias de y D. Los centros instantáneos de rotación de las barras (verde) y (azul) son, respectivamente, el punto y el punto E. I álculo de las velocidades angulares de la barras: El punto pertenece simultáneamente a las barras y. Por tanto, podrá escribirse lo siguiente: Por tanto, y k v I I a a simismo, el punto D también pertenece simultáneamente a las barras y, por lo que: Por tanto, y k vd I D I D a a álculo de las velocidades de los puntos, y D: i j k v I a( i j ) a a i j k v I a( i j ) a a i j k vd I D ai a

6 álculo de las energías cinéticas: Las barras y giran alrededor de un eje fijo, por ello se puede expresar su energía cinética del modo siguiente: T I m a ma ( )( ) ( ) T I m a ma D ( ) ( ) En el caso de la barra su energía cinética podría expresarse como: T m v I m a a m a ma ( ) ( ) ( )( ) 8 álculo de las aceleraciones angulares: a a a i j ai aj ( ) Dado que el punto D pertenece simultáneamente a las barras (roja) y la barra (azul) podrá escribirse: i j k ad a D D ai aj ai ai aj a i j k ad ae ED ED aj ai aj a ( ) ( ) Obligando a que ambas expresiones proporcionen el mismo valor para a D podrán despejarse las dos incógnitas y ( ) a a k a a