MECANICA APLICADA II. EXAMEN FINAL PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Transcripción

1 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40' Elegir sólo de las 3 preguntas: 1. Teoremas de Köenig.. plicación del teorema del momento cinético al centro instantáneo de rotación. 3. Deducción de las ecuaciones de Euler.

2 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 45' Un disco de masa M y radio R está sometido a la acción de un par motor Pm y apoyado sobre un suelo horizontal rugoso, de modo que el máximo par que puede actuar sobre el disco sin que éste deslice vale MgR. l tiempo que el par motor deja de actuar se inclina dicho suelo rugoso. Calcular la máxima inclinación posible para que el disco siga sin deslizar. Pm Mg Mg ϕ

3 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45' Una placa triangular de masa M y espesor despreciable está soldada a un eje vertical, en el mismo plano vertical y también soldado a ese eje se sitúa un semiaro de masa M y radio R tal y como se indica en la figura. El sistema gira con velocidad angular ω constante alrededor de ese eje. Se pide calcular: 1. Tensor axil en O.(3 puntos). Reacciones en los apoyos.(4 puntos) 3. Equilibrar el sistema con una masa a una distancia R del eje.(3 puntos) R R O R R R

4 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO. TIEMPO: 50' El sólido rígido de la figura está formado por dos discos de radio R y R/ y masa M y m, cuyos centros están unidos por medio de una barra sin masa ortogonal a los discos. El sólido rígido está dotado de un movimiento de rodadura pura (existe rozamiento suficiente) sobre un plano horizontal de forma que la intersección de la prolongación de la barra con el plano horizontal permanece fijo. a velocidad angular de precesión ω es constante. Se pide: a.- Valor de la resultante de las fuerzas normales para cualquier valor de ω.(1 punto) b.- Valor de la velocidad de precesión máxima para que el sólido rígido no vuelque (en la posición límite la resultante de las fuerzas de enlace normales al plano se encuentra en el extremo ).(8 puntos) c.- Para ω = 0 (reposo), relación entre m y M para que el sólido rígido no vuelque (la resultante de las fuerzas normales se aplica en esta ocasión en ).(1 punto) R R/ Mg mg 30º ω ω N N N N

5 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 50' El sistema de la figura está constituido por un bloque de masa M, apoyado sobre un plano horizontal sin rozamiento, una barra OC de longitud y masa M articulada en O al bloque, y cuatro resortes iguales de constante K y longitud natural a. Determinar: 1) Valor de K para que el sistema se encuentre en equilibrio estable cuando la barra está vertical (4 puntos). ) Frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio estable para los siguientes valores particulares (6 puntos): K Mg = 3 a = 3 C O

6 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SOUCIONES º tgθ= º 1) [ Io ] = 0 MR x = x = 0 z = Mg 1 MR Mg Mg 1 ) y = + + MR ω ω 4 6 π π 3 MRω 1 MR Mg Mg y = 1 + ω π π m = M 1 π 3 xm = 0 3) ym = R Rπ zm = 46 ( π) 4º a) N N ( M m) + = + g 16 3 M+ 5m b) ω = 57 4M+ m M c) m = 1 5º 1) K > Mg a 6 g ω1 = 5 ) g ω = 6

7 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO. TIEMPO 40 Elegir sólo de las 3 preguntas: 1. Tensor axil de inercia.. Ángulos de Euler. 3. Formas reducidas de la energía potencial y cinética.

8 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO 40 El sistema de la figura está constituido por una barra homogénea D de longitud y masa M, y por la barra homogénea C de masa M y longitud que se apoya sobre la primera a través de la deslizadera articulada C, la cual desliza sin rozamiento a lo largo de D. mbas están situadas en un plano vertical y en el instante inicial, representado en la figura, el sistema se encuentra en reposo. Si se deja que el sistema se mueva libremente, determinar en dicho instante inicial (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento): 1.- Reacción existente en la deslizadera C. (4 puntos).- celeración angular de la barra D. (3 puntos) 3.- celeración angular de la barra C. (3 puntos) M, M, C D

9 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO. TIEMPO 50 Un cuarto de disco de radio R, masa M y espesor despreciable está soldado al eje vertical como se indica en la figura. El eje gira con velocidad angular ω = sen t. Calcular: 1. Reacciones en los apoyos en la dirección del eje X y par aplicado. (6 puntos) Si se usan tres barras iguales, soldadas a 45º con la vertical como se indica en la figura, para equilibrar el sistema. Determinar:. a masa m y la longitud de las barras. (4 puntos) 3R/ m ω=sen t m Z 45º X O 45º Y 45º 3R/ M R m

10 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO. TIEMPO 45 Sean cuatro esferas iguales de masa M y radio R unidas mediante dos barras perpendiculares sin masa tal y como se indica en la figura. a distancia desde el centro de cualquier esfera al punto O de intersección de las barras es a. El punto O es un punto fijo (hay una rotula esférica). Sabiendo en el instante inicial, la componente en la dirección del eje z (eje perpendicular al plano formado por las dos barras) de la velocidad angular, ωoz y el ángulo de nutación θ o, se pide: obtener la expresión de la rotación propia y de la precesión en cualquier instante (en función de M, R, a, ω oz y θ o ). z H o O

11 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO. TIEMPO 45 El sistema de la figura está constituido por un resorte vertical de constante K y longitud natural l 0, y dos barras iguales O y C, de masa M y longitud, articuladas en el punto fijo O y en el punto medio de la barra O, respectivamente. Sabiendo que en la posición de equilibrio estable la barra O está horizontal y la C vertical, calcular: 1. Deformación del resorte en el posición de equilibrio (1 punto).. Energía potencial reducida del sistema (3 puntos). 3. Energía cinética reducida del sistema (3 puntos). 4. Frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio estable (3 puntos). O K,l 0 C

12 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SOUCIONES..1 C y = 0. g α D = 3 4 k.3 g α C = 3 4 k MR P = cost 4 MR x = cost π 5MR x = cost 6π 3. R9 = 16 M18 m = 7π 4. 8 MR + 4Ma ω oz ψo = 5 8 MR + Ma cosθ o 5 8 MR + 4Ma ω ϕo = ωoz 5 8 MR + Ma Mg d = o + K 5. V = ( K ) + Mg 1 1 α θ T = M M α θ K 3g ω = ; ω = 7M oz

13 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40' Elegir sólo de las 3 preguntas: 1. Teoremas de Steiner.. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo. 3. Giroscopio simétrico con movimiento por inercia. (Giroscopio de Euler)

14 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50' En la figura, el plano vertical π gira con velocidad angular constante ω. Una barra O también sin masa y de longitud se mueve sobre el plano articulada en O al eje. Un muelle ideal de constante elástica K=Mω une el extremo a una masa puntual M que desliza sobre la barra O, sin rozamiento. En el instante inicial t=0: - la masa M se encuentra a una distancia / de sin velocidad relativa a la barra O; - barra y eje son perpendiculares entre sí siendo ω el valor de la velocidad angular relativa entre la barra y el plano en el sentido indicado en la figura. Determinar: 1. Ecuaciones diferenciales del movimiento de la masa M. (5 puntos). celeración de la masa M relativa a la barra O en el instante inicial. (1 punto) 3. celeración absoluta de la masa M en el instante inicial. (3 puntos) 4. Fuerzas de enlace entre masa M y barra O en el instante inicial. (1 punto) O M ω Mg

15 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40' Una barra de masa M y longitud 4R está suspendida en un plano vertical mediante Mg un hilo C y un muelle ideal O de constante K = que forma 45º con la vertical. R Sobre el punto medio de la barra se apoya un disco de masa M y radio R, no existiendo rozamiento entre ambos. Estando el sistema en equilibrio con la barra horizontal, se corta el hilo C. Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento): 1. celeración del punto medio de la barra ( puntos).. celeración angular de la barra ( puntos). 3. celeración del centro del disco ( puntos). 4. celeración angular del disco ( puntos). 5. Reacción entre disco y barra ( puntos). O C 45º D R 4R

16 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO. TIEMPO: 45' Un sistema plano, formado por un cuadrado CDEF de masa M, lado y espesor despreciable, y por una barra CH de masa M y longitud ; gira alrededor del eje vertical y fijo. Sabiendo que el apoyo no admite esfuerzos axiales, determinar g en el instante en que la velocidad angular es ω= y la aceleración angular α= g : 1. Reacciones en los apoyos y y valor del par P necesario.. Posición en la que ha de colocarse una masa puntual M para equilibrar el sistema. H C D Mg ω,α Mg F P E

17 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45' 3 4 El sistema de la figura está compuesto por una barra O de masa M y longitud R, y por un disco de centro C, masa M y radio R. a barra O está articulada en O al techo y en al disco. a distancia entre el punto de articulación del disco y su R centro C es. Sabiendo que la posición de equilibrio estable es la de la figura, determinar: 1) Energía potencial reducida del sistema. ) Energía cinética reducida del sistema. 3) Frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio estable. O M, 3 4 R R C M, R

18 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SOUCIONES [ ω cos θ ( x) + & θ ( x) ] + g senθ + ω x = 0 ( x) x& & θ ( x) + ω ( x) senθ cosθ g cosθ ( x) = 0 && x && θ 3 a Mrel = ω j a M = j g k ω F = 0 g a Gde = g i j 3g α = k R g a GdeDisco = j = α Disco = 0 k N = = Mg i Mg 5 4 Mg j Mg j+ 3Mg k 4. ( 0 ) j V red = + MgR 8 MgR T red = MR θ + MR & ϕ + MR ± g ω = 5 R θ ϕ & & & 5. ( ) ( ) ( ) θϕ 5.3

19 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40' Elegir sólo de las 3 preguntas: 1. Tensor axil de inercia.. Teorema de Köenig de la energía. 3. ngulos de Euler.

20 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50' Una barra O de masa M y longitud está suspendida en un plano vertical mediante un hilo h en el extremo y una articulación a una pared en el extremo O. En M el extremo se articula otra barra de longitud y masa libre en el extremo. 3 Estando el sistema en equilibrio con la barra O a 45º y la barra vertical calcular: 1. Reacciones en la articulación O y fuerza en el hilo h ( puntos). Si ahora se corta el hilo h. Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento):. celeración angular de las barras (4 puntos). 3. Reacciones en las articulaciones (4 puntos). h O 45º M M 3

21 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 50' Dos cuadrados iguales de masa M, lado y espesor despreciable están situados en planos perpendiculares verticales y giran alrededor del eje vertical D con velocidad g g angular ω = sen t por la acción de un par desconocido P. Sabiendo que el apoyo D no puede absorber esfuerzos verticales, se pide: 1. Valor del par P, en el instante t = 0 ( puntos).. Calcular las reacciones en los apoyos y D en el instante t = 0 (4 puntos). 3. Si se equilibra el sistema colocando dos masas iguales de valor M en los planos perpendiculares al eje que pasan por y C respectivamente, determinar su posición en los planos (4 puntos). D Z C Y X

22 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO. TIEMPO: 45' Un disco de masa M y radio R y espesor despreciable, cuyo centro O siempre permanece fijo, gira en el instante inicial con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por el punto O y forma 45º con el eje de revolución del disco como se indica en la figura. Calcular en el movimiento posterior los valores de: 1. Velocidad y ángulo de nutación.. Velocidad de precesión. 3. Velocidad de rotación propia. o 45º O ω o

23 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40' El sistema mecánico de la figura está constituido por dos barras articuladas entre sí: la barra O de longitud sin masa y la barra de masa M y longitud. as barras pueden oscilar en el plano vertical del dibujo. Se pide determinar alrededor de la posición de equilibrio estable: 1. a energía potencial reducida del sistema.(3 puntos). a energía cinética reducida del sistema. (3 puntos) 3. a frecuencias naturales de oscilación del sistema. (4 puntos) O M,

24 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SOUCIONES.- 1. Mg 7Mg H o = 0 ; V o = ; T = 6. 7g 7g α O = ; α = Mg 41Mg H o = ; V o = Mg 4Mg H = ; V = Mg P = 3. Mg Mg x = ; y = ; z = Mg Mg Mg D x = ; D y = ; C & θ = 0 ;cosθ = ψ & = ω o 5 1 & ϕ = ω o 1 1 V reducida = Mg θ + Mg ϕ 1 & 1 M M T reducida = M θ + & ϕ + 3 g ω = 5 ± ( ) & &. ( ) ϕθ 3. ( )

25 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 40 Responder a todas las preguntas: 1. Calcular las coordenadas del centro de gravedad, y el producto de inercia Cx de la figura utilizando las integrales precisas. ( puntos) Z M X. En el sistema mecánico sin rozamiento de la figura indicar: Z a) Ecuaciones de enlace. M b) Tipos de enlace. c) Coordenadas generalizadas. Ω cte d) Indicar cómo se aplicaría el Y teorema de la energía para obtener una ecuación del movimiento. X ( puntos) Y 3. Demostrar que en un giróscopo de Euler-Poinsot simétrico (movimiento por inercia) el movimiento es siempre estacionario. (3 puntos). 4. El sistema de la figura está constituido por una barra O sin masa de longitud y una barra de masa M y longitud. Calcular el momento cinético del sistema respecto de los puntos O,, y G en la posición de la figura.(3 puntos) O θ ϕ M, G

26 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40 Una barra de masa M y longitud 3 soporta una masa puntual M, no existiendo rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal C de constante K y la barra rígida D, observándose que ésta soporta un esfuerzo de magnitud Mg. Determinar: 1. El valor de la constante K en el equilibrio.( puntos). a reacción entre la masa puntual y la barra en el instante subsiguiente al de eliminar la barra D. (8 puntos) D / K o=0 O M M, 3 C

27 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO TIEMPO: 45 Una placa triangular de masa M y espesor despreciable, está soldada a un eje vertical y a una barra CD de masa M y longitud como se indica en la figura. Todo el sistema está contenido en un plano vertical que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical. Se pide calcular: 1. Reacciones en los apoyos. (6 puntos). Equilibrar el sistema con una masa de valor m=m/, dando sus coordenadas. (4 puntos) z D ω O 45º y C

28 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO TIEMPO: 45 a barra O, de masa M y longitud, está rígidamente unida al disco de masa M y radio /4. El centro del disco, está unido a un muelle de constante elástica 4Mg/ y longitud sin tensión. Sobre la barra O hay una deslizadera de masa M que está unida a su vez a un muelle de constante elástica Mg/ y longitud sin tensión cuyo otro extremo se encuentra en el punto de la barra. El disco rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal. Se pide: 1. Obtener la posición de equilibrio estable vertical. (3 puntos). En esa posición obtener la energía cinética y potencial reducida. (4 puntos) 3. Calcular las frecuencias naturales del sistema. (3 puntos) M O R= /4 K = 4Mg/ o= M, M K= Mg/ o=

29 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 40 El sistema de la figura está situado en el plano vertical y constituido por dos barras iguales de masa M y longitud articuladas en y posicionadas como se indica en la figura, un disco de masa M y radio R y un muelle de longitud sin tensión 0 y constante K cuyos extremos están unidos al suelo y al punto medio E de la barra. Se lanza el disco contra la barra y se produce un choque elástico y sin rozamiento en el extremo de dicha barra. En el instante anterior al choque, el disco posee una velocidad angular conocida ω r y la velocidad de su centro de gravedad es vertical, conocida y de valor v. Determinar, inmediatamente después del choque: 1. Energía cinética del sistema constituido por las barras, el muelle y el disco (1 punto).. Velocidad angular del disco (1 punto). 3. Velocidad angular de las barras O y (8 puntos). ω E C 45º v K,o O D

30 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SOUCIONES.- 1. K = 3Mg. 9 N = Mg = 0 Mg y = + Mω 4 3 = Mg x z x = 0 Mg 1 y = + Mω 4 3. x = 0 y = z = M = 0. Coordenadas generalizadas: θ giro del disco y x desplazamiento de la deslizadera desde el extremo. 7Mg 1 0 θ V red = { θ x} 4 Mg 0 x 1 M T = { 77 & red θ x& } 0 θ 96 0 M x& 3. g ω = 4g ω = MR T = Mv + ω. 3. Ω Ω Ω disco barrao barra = ω k 6v = k 3 4v = k 3

31 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO TIEMPO: Calcular el centro de gravedad de la figura así Z como el momento de inercia respecto del eje X y el producto de inercia respecto de los planos R XOZ e YOZ. Densidad ρ = 4M πr O (1 punto) X. Ecuaciones de Euler. ( puntos) C R/4 OC=R/ 45º Y 3. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo ( puntos) 4. Obtener el sistema de ecuaciones o=0 o=0 o=0 diferenciales del movimiento absoluto K M K M K de las masas. ( puntos) 5. Una masa M se suelta a una altura H y rebota hasta H/. No hay rozamiento. Calcular el coeficiente de restitución de Newton. (1 punto) 6. Un disco de masa M y radio R desciende por un plano inclinado de 30º partiendo del reposo. M Explicar en cuál de las situaciones siguientes el disco llega al suelo con mayor velocidad de su centro si en ambos casos parte de la misma altura: a) no existe rozamiento 30º b) existe rozamiento suficiente para garantizar la rodadura. ( puntos)

32 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 45 Una circunferencia de alambre sin masa lleva soldada una masa puntual M. Se coloca sobre un suelo rugoso de coeficiente de rozamiento figura. Determinar: f = 1 tal y como se indica en la 3 1. Valor del ángulo α para que al dejarla libre no se produzca deslizamiento en el contacto con el suelo. (3 puntos). Reacción en el suelo en el primer instante. (7 puntos) α Mg

33 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO TIEMPO: 50 Una placa circular de masa 4M, radio R, y espesor despreciable, está soldada a un eje horizontal. Se le practican tres agujeros circulares de radio R/ y R tal y como se indica en la figura. El sistema gira con velocidad angular Ω=sen(t). Se pide: 1. Equilibrar el sistema con una masa m a determinar situada en la línea de centros de los agujeros. (8 puntos). Reacciones en los apoyos del sistema una vez equilibrado. ( puntos) 4R 4R e R R/ 45º Ω, α R

34 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO TIEMPO: 50 Un disco de masa M, radio R y espesor despreciable está ligado a una rótula esférica en O mediante una barra OG de longitud R, perpendicular a su plano y sin masa. En el instante inicial la barra OG está en posición vertical con β = 0 y el disco gira a su alrededor con velocidad angular ω = valor 10g R 10g R, es decir, con rotación propia de y precesión y nutación nulas. Estando en esa posición el disco recibe una percusión de módulo P = M diámetro. 5gR, situada en el plano del disco y en la dirección de un Sabiendo que, debido a la percusión, la barra OG rota alrededor del punto O ascendiendo y formando con la vertical un ánguloβ, calcular: 1. Rotaciónβ de barra OG inmediatamente después de la percusión. ( puntos) &. Percusión de enlace en la rótula O. ( puntos) 3. Valor del ánguloβ cuando la barra llegue a su máximo ascenso. (6 puntos)

35 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO TIEMPO: 50 O β & O θ G P G β ω Posición inicial ϕ& Posición en un instante cualquiera

36 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45 El semiaro C, de masa M y radio R, está soldado al diámetro, de masa despreciable, cuyo punto medio O fijo es una articulación alrededor de la cual puede girar el semiaro en un plano vertical. lo largo del aro puede deslizar la barra DE, de masa M y longitud 3 R, mediante dos deslizaderas articuladas que se encuentran unidas a O mediante muelles de constante elástica K=Mg/R, y longitud sin tensión o=r. a posición indicada en la figura es de equilibrio estable. Calcular la expresión de la energía potencial reducida (3 puntos) y la energía cinética reducida (7 puntos). O D E C

37 MECNIC PICD II. EXMEN PRCI SOUCIONES. α = 60º R = Mg 3 4 i j 3. m = M 13 69Mg = i 5 R 13 R Mg = i 5 R R 8 4. β 4 = 5 O = M β = 90º 5 g R gr j 5. Siendo θ el ángulo de posición absoluta del semiaro, y ϕ el ángulo de posición absoluta de la barra. 1 R 1 R Vred = Mg Mg ϕ θ + π 1 1 MR Tred = [ MR ] θ& + ϕ &

38 MECNIC PICD II. EXMEN PRCI PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: Calcular la posición del centro de gravedad de un cono de masa M, radio de la base R y altura H, mediante las integrales precisas. (1 punto). Explicar, sin demostración, por qué no se conserva la energía mecánica en un sistema sometido a enlaces reónomos y perfectos. (1 punto) 3. ϕ Una barra de masa M y longitud, está en equilibrio en posición vertical sobre un suelo horizontal sin rozamiento. Se separa el punto ligeramente de la vertical sin velocidad y se inicia el movimiento. Demostrar que su centro de gravedad describe una recta vertical, mediante la aplicación de los teoremas fundamentales de la dinámica. ( puntos) 4. R R a figura consta de un cilindro hueco cuya superficie lateral tiene una masa de M, y dos tapas circulares de masa M cada una de ellas. El radio de las tapas es R y la altura del cilindro R. Calcular el momento de inercia de la figura respecto a su centro de gravedad. (1 punto) 5. Demostrar el teorema de Köenig de la energía cinética. ( puntos) 6. v M ϕ Mg N El extremo de una barra de masa M y longitud asciende con velocidad constante de módulo v a lo largo de MN. Sabiendo que no existe rozamiento, calcular el trabajo virtual realizado por: 1. as fuerzas de enlace. (0,5 puntos). as fuerzas aplicadas. (0,5 puntos) 7. Mg MgR Calcular el valor de la fuerza de rozamiento entre disco y suelo, si el coeficiente de fricción entre ambos es f=1/, cuando se aplica sobre el disco un par de valor MgR. ( puntos)

39 MECNIC PICD II. EXMEN PRCI SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50 El sistema de la figura consta de barras iguales O y, de masa M y longitud, unidas entre sí en el punto y a un eje vertical en el punto O mediante articulaciones planas. El punto puede deslizar sin rozamiento a lo largo del eje a través de una deslizadera articulada. su vez, el punto está unido al eje a través de un muelle ideal 1Mg C, de constante elástica K =. En el extremo C, el muelle presenta una deslizadera articulada sin masa que puede moverse sin rozamiento a lo largo del eje. El eje gira con velocidad angular constante ω. Determinar el valor de ω para que el ángulo θ sea permanentemente de 60 º. O θ C

40 MECNIC PICD II. EXMEN PRCI TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 50 El sistema plano de la figura consta de dos barras iguales de masa M y longitud R articuladas en sus extremos y un disco de masa M y radio R, apoyado sobre un suelo rugoso que garantiza la rodadura. Sabiendo que parte del reposo en la posición indicada ( vertical, C horizontal y C a la misma altura que O), calcular en el instante subsiguiente: 1. celeración angular de, de C y del disco. (6 puntos). Valor mínimo del coeficiente de rozamiento para asegurar la rodadura. (4 puntos) C O

41 MECNIC PICD II. EXMEN PRCI PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: O R G R Un disco de masa M y radio R, que está unido a una barra OG sin masa, rueda sobre un plano horizontal de modo que su centro G describe una circunferencia de radio R con velocidad de módulo constante V. Calcular el valor del momento giroscópico, es decir, el momento de las fuerzas de inercia respecto del punto fijo O. ( puntos). a) Deducir las ecuaciones de Euler. (1 punto) b) Mediante el empleo de las ecuaciones de Euler, obtener el par a aplicar al sólido de la figura para que gire con ω constante. (1 punto) ω 3. Deducir la forma reducida de la energía potencial para las pequeñas oscilaciones de un sistema alrededor de la posición de equilibrio estable. ( puntos) M, 60º O a Una barra de masa M y longitud, articulada en O a un punto fijo, se abandona a la acción gravitatoria en la posición de la figura. Si se coloca un tope en la vertical a una distancia a del punto fijo y el choque que se produce es perfectamente elástico y sin rozamiento, Cuál es ángulo máximo que alcanza? (1 punto). Si el tope se coloca a otra altura, varía ese ángulo?, por qué? (1 punto). Z Y Equilibrar mediante una masa puntual M el sistema de la figura de masa M, radio exterior R e interior R/. ( puntos)

42 MECNIC PICD II. EXMEN PRCI SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50 Sea el giróscopo de la figura constituido por un disco de masa M y radio R y una masa puntual M que están unidos mediante una barra sin masa y de longitud R. El punto medio de la barra está ligado mediante una articulación esférica y el giróscopo gira con una velocidad angular ωalrededor de su eje de revolución, permaneciendo la barra horizontal. Un bloque de masa M/ y dimensiones despreciables choca con la masa puntual. Justo antes del choque, el bloque tiene una velocidad vertical ascendente de valor v = 5ωR. El choque es sin rozamiento (la percusión tiene la dirección vertical) y se observa que inmediatamente después del choque la velocidad vertical del bloque es nula. Se pide para el instante inmediatamente después de la percusión: 1.- Velocidad angular del giróscopo. ( puntos).- Coeficiente de restitución del choque. ( puntos) 3.- Velocidad de precesión, rotación propia y ángulo de nutación. (4 puntos) 4.- celeración angular del giróscopo. ( puntos) ω v

43 MECNIC PICD II. EXMEN PRCI TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 50 Un disco de masa M y radio R puede girar alrededor de su centro fijo O. Por su periferia, y sin deslizar sobre el disco, pasa una cuerda atada en uno de sus extremos a un muelle ideal de constante R Mg, y a una masa puntual M en el otro extremo que puede oscilar en torno a la posición vertical. Sabiendo que la longitud total del cable es ( 4 + π)r y que la posición de la figura es de equilibrio estable, determinar: 1. Expresión de la energía potencial en una posición cualquiera. (3 puntos). Deformación del muelle en la posición de equilibrio estable. (1 punto) 3. Frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor de esa posición. (6 puntos) O R 3R M Mg/R

44 MECNIC PICD II. EXMENES PRCIES SOUCIONES

45 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 50 Desarrollar las siguientes tres preguntas: 1. Dinámica de sólido rígido: Cálculo de la energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo (3 puntos).. Dinámica del sólido con eje fijo: Equilibrado de rotores (4 puntos). 3. Dinámica de Percusiones: Teorema de Carnot (3 puntos).

46 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50 Un disco D1 de masa M y radio R está situado sobre una rampa fija inclinada 45º de modo que entre ambos existe rozamiento suficiente para asegurar la rodadura. Su centro está unido mediante una cuerda a otro disco D de masa M/ y radio R/, de modo que la cuerda está arrollada a la periferia de este último como se indica en la figura. El disco D se apoya en otra rampa fija de modo que no existe rozamiento entre ambos. En el instante inicial el sistema está en reposo, y los centros de los discos situados a la misma altura sobre el suelo. Calcular: 1. Posición del centro del disco D1 cuando el centro del disco D haya descendido en vertical una distancia R (3 puntos).. celeración del centro de cada disco en ese instante. (4 puntos) 3. Tensión de la cuerda en ese instante. (3 puntos) D M, R D1 M/ R/ 45º 45º

47 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 50 Una barra O de masa despreciable está soldada a un eje vertical e. Un disco de masa M y radio R está articulado en a la barra anterior pudiendo moverse en el plano vertical que contiene al eje e y a ambos sólidos. Sabiendo que el conjunto gira alrededor del eje e por la acción de un par P, determinar: 1. Energía cinética del disco (3 puntos).. Ecuaciones diferenciales del movimiento del disco (4 puntos). 3. Valor del par para que el conjunto gire a ω constante alrededor del eje e (3 puntos). e O R R/ C P

48 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO. TIEMPO: 60 El sólido de la figura está formado por un disco de masa M y radio R cuyo centro es una rótula esférica fija, una barra sin masa O de longitud R/ perpendicular al plano del disco, y una masa puntual M en el punto. El sólido se abandona a la acción gravitatoria partiendo de la posición de la figura existiendo en ese instante una rotación 3g alrededor de la línea O de valor ω =. R 1. Comprobar que la otra posición en que la velocidad angular de nutación es nula (valor absidal) es θ=10º, y obtener la velocidad angular de precesión y rotación propia (5 puntos).. Si en ese instante se elimina la masa puntual sin modificar el campo de velocidades, obtener los nuevos valores del ángulo de nutación, velocidad angular de precesión y rotación propia (5 puntos). M 60º R/ O M,R

49 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45 Una barra de masa M y longitud R está articulada a un punto fijo en y en al centro de un disco de masa M y radio R. El conjunto formado por la barra y el disco se abandona a la acción gravitatoria partiendo del reposo en la posición horizontal (línea de puntos en la figura). Cuando la barra está en posición vertical, el disco golpea en su punto medio E a la barra CD de longitud R y masa M, que se encuentra en reposo articulada en C y unida a dos resortes horizontales en E y en D, ambos de la misma constante elástica K y longitud natural 3 y cero, respectivamente. Sabiendo que no existe rozamiento y que el choque es perfectamente elástico, calcular: 1. Velocidad del punto inmediatamente antes del choque. ( puntos). Percusión de enlace en el extremo D. (1 puntos) 3. Campo de velocidades del sistema inmediatamente después del choque. (7 puntos) C K,3 E K,0 D Nota sobre el criterio de corrección: es necesario responder correctamente a las dos primeras preguntas para aprobar el ejercicio.

50 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SOUCIONES. ) El disco D1 ha descendido R en vertical. ) a = g i j G 4 a 1 = g i j G 4 C) T = Mg 8 17 sen θ 3 3. ) T = MR ϕ + senθ + + MR θ ) 3 sen θ θ ϕ cosθ = Mg R senθ MR 17 sen θ θ sen θ ϕ + + = P + senθ + ϕ θ cosθ C) θ sen P = MR ω θ cosθ + θ 4 4. ) ) ϕ = 5 3 ϕ = 3g R 3g R 4 3g ψ = 3 R 4 3g ψ = θ = 30º 3 R 5. ) 3 V = gr i ) P D = 0 Nota sobre el criterio de corrección: es necesario responder correctamente a las dos primeras preguntas para aprobar el ejercicio. C) V = 0 Ω = 0 3 g V C = 0 Ω CD = k R V = 0 = Ω 0 disco

51 MECNIC PICD II. EXMEN FIN PRIMER EJERCICIO, TIEMPO: plicación del Teorema del momento cinético al centro instantáneo de rotación. (3 puntos). Teoremas fundamentales de la Dinámica de Percusiones. (3 puntos) 3. Tensor xil de Inercia. (4 puntos)

52 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SEGUNDO EJERCICIO, TIEMPO: 45 El sistema de la figura está constituido por dos barras: barra de longitud y masa M, y barra CD de longitud y masa despreciable. os puntos y C están situados a la misma altura y el conjunto puede moverse libremente en un plano vertical. Sabiendo que no existe rozamiento y que el sistema parte del reposo con las barras horizontales, calcular para la posición de la figura: 1. Velocidad angular de la barra CD. (4 puntos). celeración angular de la barra CD. (6 puntos) 3 30º 30º C M, D

53 MECNIC PICD II. EXMEN FIN TERCER EJERCICIO, TIEMPO: 50 Dos discos iguales de radio R, masa M y espesor despreciable están situados en planos perpendiculares y giran alrededor del eje vertical D con velocidad angular de valor ω = g R sen g t R por la acción de un par desconocido P. Sabiendo que el apoyo D no puede absorver esfuerzos verticales se pide: 1. Valor del par P, en el instante t=0. ( puntos). Reacciones en los apoyos en el instante t=0. (3 puntos) 3. Si se equilibra el sistema colocando dos masas iguales de valor M en los planos perpendiculares al eje pasando por y C respectivamente, determinar su posición en los planos. D Z (5 puntos) C R R R R Y X

54 MECNIC PICD II. EXMEN FIN CURTO EJERCICIO, TIEMPO: 40 El sistema de la figura consta de un aro homogéneo de masa M y radio R, que puede rodar sin deslizar por un suelo horizontal. Dicho aro está atravesado por un diámetro sin masa, por el cual puede deslizar sin rozamiento una masa puntual de valor M, unida a los extremos de dicho diámetro mediante dos muelles iguales de constante elástica Mg K = y longitud sin tensión R. El aro está unido mediante arandelas sin masa que R pueden deslizar sin rozamiento, a dos resortes iguales ideales de constante elástica Mg K =. a posición de la figura es de equilibrio estable. R Calcular: 1. Energía potencial reducida del sistema. (4 puntos). Energía cinética reducida. (6 puntos) M, R R K=Mg/R o=0 K=Mg/R o=r R/ M R K=Mg/R o=r R K=Mg/R o=0

55 MECNIC PICD II. EXMEN FIN QUINTO EJERCICIO, TIEMPO: 35 El sistema mecánico de la figura está formado por el sólido 1, barra de masa M y longitud articulada en un punto fijo O, y el sólido, barra de masa M/3 y longitud articulada en su punto medio al extremo de la barra 1. Si se halla en reposo en la posición de la figura y se produce un choque perfectamente elástico y sin rozamiento con una masa puntual M que se desplaza en dirección horizontal a la altura del punto con una velocidad constante de valor V = g tal y como se indica en la figura, calcular y dibujar la posición de cada uno de los elementos del sistema mecánico en el máximo ascenso obtenido tras el choque. O 1 M, M/3, V 3 M

56 MECNIC PICD II. EXMEN FIN SOUCIONES. 1..