Sólido Rígido. Momento de Inercia 17/11/2013

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Eugenio Alarcón Sosa
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1 Sólido ígido Un sólido rígido es un sistema formado por muchas partículas que tiene como característica que la posición relativa de todas ellas permanece constante durante el movimiento. A B El movimiento de un sólido rígido puede ser descompuesto en uno de traslación del CM y otro de rotación alrededor del CM. Momento de Inercia Sea un sólido rígido que rota con velocidad angular constante alrededor del punto O. Calculemos la energía cinética debido a la rotación. O v r m Se puede demostrar que existes tres direcciones para las cuales se cumple que el momentum angular es paralelo al eje de rotación. Dichas direcciones se llaman ejes principales de inercia. Si un cuerpo tiene un eje de simetría, un eje principal pasa por dicho eje. El teorema de los ejes paralelos nos permite relacionar momentos de inercia. 1

2 Cuando un sólido rígido rota alrededor de un eje principal de inercia se cumple que D CM Como el torque es la derivada del momentum angular respecto del tiempo, tenemos que Se tiene una polea fija de masa M y radio. Una cuerda ideal está enrollada alrededor de la rueda y una masa m cuelga de ella. Hallar la aceleración de la masa m y su velocidad cuando cae una altura h. La polea fija de una máquina de Atwood tiene masa M y radio. Hallar la aceleración de las masas y la velocidad de m 2 cuando cae una altura h. m m 1 m 2 Se tiene barra de longitud L y masa M que está pivotada por un extremo. Encontrar las reacciones del pivote sobre la barra cuando está cayendo y forma un ángulo con la horizontal. Una barra uniforme AB de masa M y longitud L ( )se sostiene de un extremo mediante un pivote sin fricción. La barra se encuentra inicialmente en reposo en forma vertical cuando un proyectil de masa m impacta sobre ella y queda incrustado instantáneamente. La velocidad inicial del proyectil es de v 0. Hallar: a) El momentum angular del sistema respecto del pivote justo antes de la colisión. b) La velocidad angular de giro del sistema después que el proyectil se incrusta en la barra. c) La altura máxima que alcanzará el CM de la barra. d) El trabajo del proyectil cuando se incrusta contra la barra. 2

La figura muestra un disco uniforme de masa M y radio. Este disco puede oscilar alrededor de un pivote liso tal como se muestra. El disco parte inicialmente del reposo cuando el ángulo vale 53.

otación y Traslación Combinadas No siempre un sólido rígido rota alrededor de un eje fijo. A veces el eje de rotación se está trasladando a la vez que se produce la rotación alrededor de dicho eje.

3 La figura muestra un disco uniforme de masa M y radio. Este disco puede oscilar alrededor de un pivote liso tal como se muestra. El disco parte inicialmente del reposo cuando el ángulo vale 53. Hallar: a) La aceleración angular del disco cuando = 53 y = 0. b) La velocidad angular del disco cuando = 53 y = 0. c) La aceleración del CM del disco en coordenadas rectangulares cuando = 53 y = 0. otación y Traslación Combinadas No siempre un sólido rígido rota alrededor de un eje fijo. A veces el eje de rotación se está trasladando a la vez que se produce la rotación alrededor de dicho eje. Durante el movimiento puede suceder que el punto instantáneo de contacto del sólido con el piso no resbale. Este caso es conocido como rotación pura. equiere para ello que haya fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto. F r 3

4 En ese caso el cálculo de torques debe hacerse con respecto al CM del objeto que está rodando. Además se debe cumplir las condiciones de rozamiento estático. La fuerza de rozamiento no hace trabajo sobre el objeto que rueda! F r F r La energía cinética del objeto que rueda es según la fórmula : Cómo relacionar la velocidad del CM con la velocidad angular de rotación? S a S a Según el CM Según tierra c V CM c 2V CM b b V CM V CM a a 4

5 Se suelta una esfera de radio y masa M 2 (I CM = M 2 5 ) desde la parte superior de un plano inclinado de altura h. Hallar la velocidad de la esfera cuando llegue a la parte inferior del plano. También encuentre la velocidad angular de rotación de la esfera en dicha posición. h La figura muestra un rodillo de radio y masa M. Hallar la aceleración del CM del rodillo y el valor de la fricción. La figura muestra un cilindro de radio y masa M. Una cuerda está enrollada alrededor del cilindro. Hallar la aceleración del CM del cilindro y el valor de la fricción. F F La figura muestra un yo yo de masa M y radio. Una cuerda está enrollada alrededor. Hallar la aceleración del CM Hallar la aceleración de la masa m, la tensión de la cuerda y el valor de la fricción. M F m 5

El piso es rugoso, y el sistema tiene momento de inercia I y masa M m La figura muestra la rueda de tracción de un automóvil que se mueve hacia la derecha.

6 Hallar la aceleración de la masa m, la tensión de la cuerda y el valor de la fricción. M En el sistema de la figura determinar la condición que F 1 y F 2 deben de cumplir para que el carrete ruede sin deslizar hacia la derecha. El piso es rugoso, y el sistema tiene momento de inercia I y masa M m La figura muestra la rueda de tracción de un automóvil que se mueve hacia la derecha. Los pernos de la rueda ejercen cuatro fuerzas tangenciales a la circunferencia de radio r y cada una tiene módulo F. Cuando el motor ejerce fuerza sobre la rueda de tracción por medio de los pernos, la rueda, de masa M, acelera. Hallar la aceleración de la rueda y el valor y sentido de la fuerza de rozamiento del piso. Un disco de masa M y radio cae en rodadura pura sobre una tabla de masa m y longitud L que se encuentra apoyada sobre un piso rugoso y una pared lisa. La tabla se encuentra en todo momento en reposo. En cierto instante el punto de contacto entre el disco y la tabla se encuentra sobre el centro de masa de la tabla. a) Encuentre la fuerza que el disco ejerce sobre la tabla. b) Encuentre la fuerza que el piso ejerce sobre la tabla. Nota: Use el símbolo g para denotar la aceleración de la gravedad. y x 6

En la figura se muestra una rueda de radio P y masa M, y otra rueda de radio y masa m. La rueda de radio tiene pegado un disco de radio r de masa despreciable.

7 En la figura se muestra una rueda de radio P y masa M, y otra rueda de radio y masa m. La rueda de radio tiene pegado un disco de radio r de masa despreciable. El eje de la rueda de radio y de la rueda de radio r están alineados. Una cuerda está enrollada alrededor del disco de radio r y está unida al CM de la rueda de radio P. La cuerda se mantiene horizontal como lo muestra la figura. Una fuerza F actúa en la parte superior de la rueda de radio P y ambas ruedas ruedan sin deslizar. Hallar: a) La aceleración angular de cada una de las ruedas b) La tensión de la cuerda que une ambas masas. c) La fricción que actúa sobre cada una de las ruedas. Estática La Estática es un caso particular de la Dinámica en donde la suma de fuerzas y de torques sobre un sólido rígido es cero. Una de las cosas interesantes es que el punto donde se toma los torques no interesa porque siempre debe salir cero su suma. Una escalera de longitud L y peso W se apoya en una pared lisa y un piso rugoso. Hallar las reacciones en los puntos de apoyo. 7

La figura muestra una viga horizontal de longitud L y masa m articulada en la pared y sostenida por un cable. Determinar las reacciones en la articulación y la tensión del cable.

8 La figura muestra una viga horizontal de longitud L y masa m articulada en la pared y sostenida por un cable. Determinar las reacciones en la articulación y la tensión del cable. N 1 N 2 fr W M y x mg T 1 T 2 M T 2 Mg Una barra uniforme de longitud l y peso P se encuentra en equilibrio, apoyada en una articulación en un extremo, y sujeta por una cuerda en el otro extremo. La barra forma un ángulo con la vertical como lo muestra la figura. Encuentre la tensión de la cuerda y la fuerza que la articulación ejerce sobre la barra. Una barra homogénea de longitud L y masa m se encuentra sujeta por una cuerda vertical al techo y puede girar alrededor de un pivote sin fricción. a) Halle la tensión de la cuerda y la fuerza del pivote sobre la barra. Use el sistema de coordenadas XY mostrado. b) Si la cuerda se rompe, encuentre la aceleración angular de la barra y la aceleración del centro de masa de la barra para la posición mostrada. Nota: USE EL SÍMBOLO g para la aceleración de la gravedad. 8

La figura muestra a Batman detenido sobre un plano inclinado con la

Suponiendo que tiene los pies como se detalla en la figura y

El DCL de Batman. b) Hallar las reacciones en cada uno de sus pies.

9 La figura muestra a Batman detenido sobre un plano inclinado con la ayuda de una cuerda. La masa de Batman es de 80 kg. Suponiendo que tiene los pies como se detalla en la figura y asumiendo que se le puede considerar un sólido rígido, hallar: a) El DCL de Batman. b) Hallar las reacciones en cada uno de sus pies. c) La tensión de la cuerda. Nota: asuma que la fuerza de rozamiento es estática máxima. 9

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