MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Transcripción

1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

2 Ángulo Es la abertura comprendida entre dos radios abiertos que limitan un arco de circunferencia. B _ r θ _ r A Θ= desplazamiento angular r = vector de posición A = posición inicial B = posición final del objeto después de un intervalo de tiempo.

3 Radián Se define al radián como el ángulo central al que corresponde un arco del círculo cuya longitud es igual al radio del mismo círculo. El radian (rad) es una unidad de medida angular, así como el metro es la unidad de medida lineal. radián r Un radián equivale a 57.3 Puesto que la circunferencia entera de un círculo es justo 2 veces el radio r, hay 2 radianes en un círculo completo. 1ciclo=1revolución = 2 radian = 360 Puesto que = rad = 360 =

4 De las relaciones anteriores se deduce que el ángulo en radianes, en cualquier punto sobre la circunferencia de un círculo, está dado por d, la longitud del arco entre los dos puntos, dividida por el radio r. En otras palabras: Ángulo en radianes = longitud del arco Radio = d_ r

5 Desplazamiento angular ( ): Es la magnitud física que cuantifica la magnitud de la rotación que experimenta un objeto de acuerdo con su ángulo de giro. Su unidad de medida es el radián. Es una distancia recorrida por una partícula en una trayectoria circular y se expresa frecuentemente en radianes (rad), grados ( ) y revoluciones (rev); es conveniente expresar toda rotación en radianes. El movimiento circular uniforme presenta en su trayectoria el paso en un punto fijo, equivalente a un ciclo por cada vuelta o giro completo de 360. En física son también llamados revoluciones para un determinado tiempo, por ejemplo RPM (revoluciones por minuto).

6 Periodo y frecuencia El periodo de un movimiento circular es el tiempo que tarda una partícula en realizar una vuelta completa, revolución o ciclo completo. La unidad utilizada para el periodo es el segundo o, para casos mayores unidades mayores. T = segundos transcurridos/ciclo La frecuencia es el número de vueltas, ciclos o revoluciones completas que realiza un móvil en un segundo. f = #ciclos/ 1 segundo

7 La unidad utilizada para medir la frecuencia de un movimiento es el hertz (Hz), que indica el número de revoluciones o ciclos por cada segundo. El periodo equivale al inverso de la frecuencia y la frecuencia al inverso del periodo, es decir: f = 1/T T= 1/f

8 VELOCIDAD ANGULAR. La magnitud de la velocidad angular representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo que tarda en efectuarlo: = t = velocidad angular en rad/s = desplazamiento angular en rad t = tiempo en segundos en que se efectuó el desplazamiento angular. El símbolo (omega) se usa para denotar la velocidad angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por minuto (rev/min, rpm) o revoluciones por segundo (rev/s) en la mayor parte de los problemas físicos se hace necesario usar radianes por segundo (rad/s) para adaptarse a fórmulas más convenientes.

9 La magnitud de la velocidad angular se puede expresar en función de los cambios de la magnitud de su desplazamiento angular con respecto al cambio en el tiempo, esto es: = D = 2 Dt - 1 t1 - t2 La velocidad angular también se puede determinar si conocemos el periodo (el tiempo que tarda en dar una vuelta completa): = 2 Y como: T = 1/F entonces = 2 f T [ ]= rad/s

10 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA Cuando a velocidad angular no es constante o uniforme podemos estimar la magnitud de la velocidad media al conocer las magnitudes de las velocidades angular inicial y final. m = f donde: m = velocidad angular media en rad/ s f = velocidad angular final en rad/s 0 = velocidad angular inicial en rad/s

11 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Este movimiento se presenta cuando un cuerpo o partícula, con una magnitud de velocidad angular constante, describe ángulos iguales en tiempos iguales. En el MCU sólo permanece constante la rapidez, o sea, la magnitud de la velocidad lineal o tangencial, ya que ésta cambia de dirección.

12 Problemas de Movimiento circular uniforme. 1.- Un móvil con trayectoria circular recorrió 820 Cuántos radianes fueron? Solución: 1 rad = x 1 rad = radianes. 57.3

13 2.- Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un cuerpo B recorrió 472 radianes. A cuántos grados equivalen los radianes en cada caso? Solución: Cuerpo A: 515 rad x 57.3 = rad Cuerpo B : 472 rad x 57.3 = rad

14 3.- Cuál es el valor de la velocidad angular de una rueda que gira desplazándose 15 radianes en 0.2 segundos? Datos Fórmula Sustitución ω = = θ = 15 rad θ = 15 rad t 0.2 seg t = 0.2 seg = 75 rad/seg.

15 4.- Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un hilo, si gira con un periodo de 0.5 segundos. Datos Fórmula ω =? = 2 π f =? T T = 0.5 seg = 2 x 3.14 = rad/seg. 0.5seg f = 1/T f = 1/ 0.5 seg =2 ciclos/seg o 2 Hz.

16 5.- Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430 revoluciones por minuto. Datos Fórmulas ω = = 2 π F T = T = 1/F F = 430 rpm Sustitución y resultado: 430 rpm x 1 min = 7.17 rev/seg 60 seg = 2 x 3.14 x 7.17 rev/seg = 45 rad/seg. T = 1/7.17 rev/seg = seg/rev.

17 6.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento angular, si su movimiento duró 3 minutos. Datos Fórmulas ω =? = 2 π F θ =? θ = ω t F = 45 rpm t = 3 min = 180 seg 45 rpm x 1 min = 0.75 rev/seg 60 seg = 2 x 3.14 x 0.75 rev/seg = 4.71 rad/seg. θ = 4.71 rad/seg x 180 seg=847.8 rad.

18 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)

19 Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular aumenta o disminuye en cada unidad de tiempo su velocidad angular en forma constante, por lo que la magnitud de su aceleración angular permanece constante.

20 ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA Como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento circular puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de rotación puede aumentar o disminuir. La aceleración angular se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo y esta dada por: a m = D = f - 0 Dt tf t0 donde: a = velocidad angular final en rad/ s 2 f = velocidad angular final en rad/s 0= velocidad angular inicial en rad/s Dt = tiempo durante el cual varía la magnitud de la velocidad angular en s

21 Esta ecuación es también similar a una ecuación derivada para el movimiento lineal. De hecho las ecuaciones para la aceleración angular tienen las mismas formas básicas que las que se derivan de la aceleración lineal, estableciendo las analogías siguientes: d (m) (rad) v (m/s) (rad/s) a (m/s 2 ) a (rad/s 2 ) RELACION ANGULARES ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y d = r v t = r a t = a r

22 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA) Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente acelerado son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado con las siguientes variantes: 1.- en lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en radianes (θ en lugar de d). 2.- la velocidad en m/s se dará como velocidad angular en rad/s (ω en lugar de v). 3.- la aceleración en m/s 2 se cambiara a aceleración angular en rad/s 2 (a en lugar de a)

23 En conclusión las ecuaciones serán: a).- Para calcular el valor de los desplazamientos angulares cuando el cuerpo no parte del reposo: 1.- θ = ω 0 t + a t θ = ωf 2 ω a 3.- θ = ωf + ω 0 t 2

24 Si el cuerpo parte del reposo su velocidad angular inicial (ω 0 ) es cero, y las tres ecuaciones anteriores se reducen a: 1.- θ = a t θ = ωf 2 2 a 3.- θ = ωf t 2

25 b).- Para calcular el valor de velocidades angulares finales cuando el cuerpo no parte del reposo. 1.- ωf = ω 0 + at 2.- ωf 2 = ω a Si el cuerpo parte del reposo su velocidad inicial (ω 0 ) es cero, y las dos ecuaciones anteriores se reducen a: 1.- ωf = at 2.- ωf 2 = 2 a

26 2.- Un mezclador eléctrico incremento su velocidad angular de 20 rad / s a 120 rad / s en 0.5 s. calcular: a) Cuál fue el valor de su aceleración media? B) cual fue el valor de su desplazamiento angular en ese tiempo? Datos formula ω 0 = 20 rad/ s am = ωf ω 0 ωf = 120 rad/ s t t = 0.5 s a) am =? θ = ω 0 t + a t 2 b) θ =? 2 Sustitución y resultado: am = 120 rad/ s 20 rad/ s = 200 rad / s s θ = 20 rad/ s x rad/ s 2 (0.5 seg) 2 = 10 rad/ s + 25 rad θ = 35 radianes.

27 4.- Una rueda que gira a 4 rev/ s aumenta su frecuencia a 20 rev/ s en 2 segundos. Determinar el valor de su aceleración angular. Datos formulas F 0 = 4 rev/ s ω 0 = 2 π F 0 F f = 20 rev/ s ωf = 2 π Ff a =? t = 2 s Sustitución y resultado: ω 0 = 2 x 3.14 x 4 rev/s= rad/s ωf = 2 x 3.14 x 20 rev/s = rad/ s a = ωf - ω 0 a = rad/ s rad/ s t 2 s a = rad / s 2.

28 5.- Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 18.8 rad/seg experimentando una aceleración angular de 4 rad/seg 2 que dura 7 segundos. Calcular: a) Qué valor de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? b) Qué valor de velocidad angular lleva a los 7 segundos? Datos Fórmula ωo = 18.8 rad/seg a) θ = ωot + at 2 2 t = 7 seg a = 4 rad /seg2. b) ωf = ωo + at θ = ωf =

29 RELACIÓN ENTRE MOVIMIENTO CIRCULAR Y LINEAL VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL Cuando un cuerpo se encuentra girando, cada una de las partículas de mismo se mueve a lo largo de la circunferencia descrita por él con una velocidad lineal mayor a medida que aumenta el radio de la circunferencia. Esta velocidad lineal también recibe el nombre de tangencial, porque la dirección del movimiento siempre es tangente a la circunferencia recorrida por la partícula y representa la velocidad que llevaría disparada tangencialmente como se verá a continuación.

30 La velocidad tangencial o lineal representa la velocidad que llevará un cuerpo al salir disparado en forma tangencial a la circunferencia que describe. V L V L V L

31 Para calcular el valor de la velocidad tangencial o lineal se usa la ecuación: V L = 2 r T Donde: r = radio de la circunferencia en metros (m). T= periodo en segundos (s) V L = Velocidad lineal en m/s Como ω=2 r la velocidad lineal puede escribirse: T V L = ωr V L = Velocidad lineal en m/s ω=valor de la velocidad angular en rad/s r= radio de la circunferencia en metros (m)

32 ACELERACIÓN LINEAL Y RADIAL ACELERACIÓN LINEAL Una partícula presenta esta aceleración cuando durante su movimiento circular cambia su velocidad lineal (V Lf V L0 ): a L =VLf VL0 t Como V L = ωr (2) (1) a L =ωf r - ω0 r= ωf-ω0 r t Sabemos que a =ωf-ω0 Sustituyendo 4 en 3 nos queda: a L = a r a L = valor de la aceleración lineal m/s 2 a= valor de la aceleración angular en rad/s 2 r= radio de la circunferencia en metros (m) t t (4) (3)

33 ACELERACION RADIAL En un MCU la magnitud de la velocidad lineal permanece constante, pero su dirección cambia permanentemente en forma tangencial a la circunferencia. Dicho cambio en la dirección de la velocidad se debe a la existencia de la llamada aceleración radial o centrípeta. Es radial porque actúa perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta porque su sentido es hacia el centro de giro o eje de rotación.

34 Su expresión es: Donde a r = VL 2 r a r =Valor de la aceleración radial m/s 2 V L =Valor de la velocidad lineal del cuerpo en m/s r= Radio de la circunferencia n metros (m)

35 Como V L = ωr a r =(ωr) 2 = ω 2 r 2 r r Donde: a r = ω 2 r a r =Valor de la aceleración radial en m/s ω=valor de la velocidad angular en rad/s r= Radio de la circunferencia en metros (m)

36 Como la aceleración lineal representa un cambio en la velocidad lineal y la aceleración radial representa un cambio en la dirección de la velocidad, se puede encontrar la resultante de las dos aceleraciones mediante la suma vectorial de ellas, como se ve. La resultante de la suma vectorial de la aceleración lineal y la aceleración radial es igual a: a resultante = a L2 +a r 2 a L a r

37 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.Calcular el valor de la velocidad lineal de una partícula cuyo radio de giro es de 25 cm y tiene un periodo de 0.01 s. Dar el resultado en cm/s y m/s.

38 3. calcular el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular es de 3 rad/seg 2 y su radio de giro es de 0.4m. Datos Fórmula al =? al = ά r ά= 3 rad/seg 2. r = 0.4m Sustitución y resultado al = 3 rad/seg 2 x 0.4 m= 1.2 m/seg 2.

39 4. Encontrar el valor de la aceleración radial de una partícula que tiene una velocidad angular de 15 rad/s y su radio de giro es de 0.2 m. Datos formula ar =? ar = ω 2 r ω = 15 rad/seg. r = 0.2 m Sustitución y resultado ar=(15 rad/s) 2 x 0.2 m= 45 m/seg 2.

40 5. Calcular los valores de la velocidad angular y lineal de una partícula que gira con un periodo de 0.2 s, si su radio d giro es de 0.3 m, determinar también los valores de su aceleración lineal y radial así como la resultante de estas dos aceleraciones.