Método de Separación de Variables.

Transcripción

1 ISICA TEORICA 1 - do c 004 Método de Separación de Variables 1 Se tiene un cubo conductor de lado a conectado a tierra Calcular el potencial electrostático en todo punto del espacio dividiendo la región en dos zonas, en cuya frontera común queda ubicado un plano con densidad supercial de carga σ, resolviendo la ecuación de Laplace en cada zona de tal manera que la densidad de carga aparece como condición de contorno en la supercie que divide ambas zonas σ a/ Se coloca un alambre con densidad de carga constante λ equidistante a dos placas conductoras innitas conectadas a tierra Encuentre el potencial eléctrico en todo punto del espacio utilizando separación de variables Para ello divida el problema en dos regiones de las siguientes formas: (a) Realice un corte vertical, perpendicular a los planos (b) Realice un corte horizontal, paralelo a los planos Compare los resultados obtenidos ¾ Son iguales? a/ λ a Obtener la expresión para el potencial de una carga puntual desarrollado como integral de ourier (función de Green en coordenadas cartesianas) b Hallar el potencial y el campo electrostático en todo punto del espacio, producido por un cuadrado cargado con densidad uniforme σ 1

2 4 Calcular el potencial electrostático en todo punto del espacio para una esfera cuyo casquete superior está conectado a un potencial V 1 y el inferior a V 5 IMAN ESERICO: Este problema es muy importante, pues permite practicar los distintos métodos de resolución de problemas magnéticos, entender analogías y diferencias con el caso eléctrico y aprender a pensar en términos de cargas magnéticas i Se tiene una esfera uniformente magnetizada en volumen con densidad M = M 0 ẑ (a) Calcular el momento dipolar de la esfera: i) Integrando directamente la densidad de magnetización ii) Utilizando los conceptos de cargas magnéticas y corrientes de magnetización (b) Calcular los campos B y H usando la integral de Poisson para el potencial escalar magnético Identicar el problema eléctrico equivalente Comparar el potencial en el exterior de la esfera con el que produciría un dipolo puntual igual al momento dipolar total de la esfera (c) Calcular el potencial vectorial a partir de la corriente total ii Se tiene ahora la misma esfera situada en un medio lineal, isótropo y homogéneo de permeabilidad µ (a) Discutir cuidadosamente por qué los métodos utilizados en b) y c) no sirven para hallar B en este caso Utilizar entonces el método de separación de variables Vericar que si µ = 1 se recupera el resultado anterior (b) Hallar el momento dipolar total inducido en el medio exterior iii Una esfera hueca cargada con densidad supercial σ, que rota con velocidad angular ω = ω 0 ẑ constituye un problema equivalente al de la esfera con magnetización uniforme Probarlo, y haciendo las identicaciones pertinentes, deducir el momento magnético total de la esfera rotante y los campos B y H producidos por la misma 6 Considere una esfera dieléctrica de radio a y permitividad ɛ 1, sumergida en otro medio de permitividad ɛ A una distancia d < a del centro de la esfera se encuentra una carga q (a) Halle el potencial electrostático en todo punto del espacio (b) Halle las densidades de carga de polarización en volumen y supercie 7 Se tiene una esfera homogénea de permitividad ɛ y radio b, concéntrica con una cáscara esférica con densidad de carga σ = σ 0 cosθ y radio a, tal como se indica en la gura El conjunto se halla sumergido en un campo eléctrico uniforme al innito E = E 0 ẑ (a) Calcular el potencial en todo punto del espacio (b) Hallar la distribución de cargas inducidas en r = b (Sugerencia: pensar que se puede resolver directamente la ecuación de Poisson o dividir la región en zonas)

3 E 0 ε b σ 0 cos(θ) a E 0 8 (a) Resolver el problema de una carga puntual q entre dos cáscaras esféricas metálicas concéntricas conectadas a tierra (b) Hallar la densidad de carga y la carga total inducida sobre cada esfera (c) Observar qué sucede cuando se hace tender el radio de la esfera exterior a innito ¾Cuánto valen las cargas totales inducidas en ese caso? (d) Resolver el problema en el caso en que el potencial de las esferas se eleva a V 1 y V, respectivamente Usar el principio de superposición (e) Cómo se resolvería el problema de una carga puntual entre dos cascaras esféricas conductoras aisladas con una carga total Q 1 y Q, respectivamente? 9 Una supercie cilíndrica de radio a y altura h, tiene su supercie lateral conectada a tierra, mientras que las tapas se mantienen a potencial V y V Hallar el potencial en todo punto del espacio 10 a Una supercie cilíndrica de radio a y altura h, tiene sus tapas conectadas a tierra y su supercie lateral se mantiene a un potencial V (z, φ) Hallar el potencial en todo punto del espacio 11 (a) Hallar el potencial y el campo electrostático en todo punto del espacio, producido por un disco cargado con densidad uniforme σ (b) Vericar que, a través de lí mites adecuados, la expresión obtenida se reduce a las correspondientes a una carga puntual y a un plano innito (c) ¾El disco es conductor? ¾Por qué? 1 Calcular los campos B y H en todo punto del espacio producidos por: (a) Un imán cilíndrico, nito y permanente, caracterizado por una densidad de magnetización uniforme M paralela al eje del cilindro (b) Un solenoide de las mismas dimensiones por el que circula una corriente I, y que tiene n espiras por unidad de longitud Sugerencia: Usar el resultado del problema anterior y el principio de superposición 1 Durante una experiencia de laboratorio, es necesario hacer pasar periódicamente un sensor por entre las caras polares de un imán El sensor es liforme, con un diámetro de mm, una permeabilidad magnética cercana a 1, y no puede soportar campos magnéticos superiores a 0 gauss Diseñe un blindaje magnético que lo proteja de los 000 gauss que produce el imán cuyo campo atraviesa

4 y y Sugerencias: i Reduzca el problema real a uno idealizado más simple, a través de suposiciones adecuadas ii Plantee las ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno para este problema idealizado iii Utilize los resultados de la Sec 51 del Jackson iv Interprete los resultados 14 Se desea analizar la dependencia de la densidad de carga inducida en un conductor a potencial V con el ángulo que forman las supercies de éste (efecto de puntas) Para simplicar, es conveniente reducir el problema al caso bidimensional como se muestra en la gura, siguiendo los siguientes pasos: (a) Realizando separación de variables en coordenadas polares, encuentre la expresión general para el potencial en el espacio exterior al conductor (b) Analizando la expresión para el potencial, obtenga la contribución más importante para el campo eléctrico en la zona cercana a la punta del conductor (c) Encuentre una expresión aproximada para la densidad de carga supercial y analice su singularidad para ángulos β mayores que π (puntas agudas) Muestre que para un conductor delgado del ancho d, la densidad de carga en la punta es proporcional a d 1/ (c) Encuentre una expresión aproximada para la densidad de carga superficial y analice su singularidad para ángulos (d) Compare d mayores que con < el caso de una punta conica en (puntas agudas) Muestre que para un conductor delgado del ancho, la densidad de carga la tres dimensión Referencia: ver Jackson punta es proporcional a v \ xwj capítulo (d) Compare con elsección caso de una punta 11 conica y en capítulo tres dimensión Referencia: sección ver Jackson 4 capítulo sección 11 y capítulo sección 4 z y P P θ β ρ β φ x a caso -D d caso -D Preguntas Molestas ig : problema Volver 17 Volver a ala guía guía de Green dey resolver Green los problemas y resolver incluidos enlos la sección problemas Problemas de Green incluidos relacionados con ensepa- ración de variables la sección Problemas de Green relacionados con separación de variables 1 Explicar las diferencias entre una solución de la ecuación de Poisson (inhomogénea), de Laplace (dividiendo en zonas) y una solución hallada por superposición Qué pasa con las condiciones de contorno? IV Preguntas conceptuales Cómo puede calcularse el potencial producido por una carga puntual en el centro de un cilindro conductor de radio y altura + a potencial? En cuántas variables se presenta problema de Sturm- Liouville? 1 Explicar Una carga las puntual está ubicada en el origen de coordenadas, dentro de una caja cilíndrica a potencial cero La caja está definida por diferencias,-+k>, entre +K> y ' una solución de la ecuación de Poisson (inhomogénea), de Laplace (dividiendo en zonas) y una solución hallada por superposición ¾Qué pasa con las condiciones (a) Se plantea la posibilidad de encarar el problema por dos métodos distintos: dividiendo en zonas y resolviendo de contorno? Laplace o directamente por Poisson Discutir por qué uno de ellos es muy poco práctico en este problema (b) Se podría calcular el potencial planteando problema de Sturm-Liouville en cualquiera de las tres variables Entonces, no debería ser 0 [ la única solución? ¾Cómo puede calcularse el potencial producido por una carga puntual en el centro de un cilindro 4 Cuál es el menor número de regiones en que puede dividirse el problema de la figura, para calcular el potencial por el conductor método de separación de radio de variables? a y altura h a potencial V? ¾En cuántas variables se presenta problema de Sturm- 5 La solución Liouville? del problema 9 (b) es: Œ I'zB{0B } ~T ƒx, "!e u $0 < l u!tsvu ˆ < m Œ s<l'ž>u+$ +=Š m Una carga puntual está ubicada en el origen de coordenadas, M< >Ž+ dentro de una caja cilíndrica a potencial Pero, entonces cero La caja está denida por z = h/, z = h/ y r = a } ~J T, "!e " 0 < l "!xscu ˆ < + Š i Se plantea la posibilidad de encarar el problema por dos métodos distintos: dividiendo en que depende de z Está bien hallada la solución? Cumple la condición de contorno? zonas y resolviendo Laplace o directamente por Poisson Discutir por qué uno de ellos es muy poco práctico en este problema 4 ii Se podrí a calcular el potencial planteando problema de Sturm-Liouville en cualquiera de las tres variables Entonces, ¾no debería ser Φ = 0 la única solución, eeeh? 4 ¾Cuál es el menor número de regiones en que puede dividirse el problema de la gura, para calcular el potencial por el método de separación de variables? 4

5 ε σ 5