Los grandes logros son efecto de los grandes riesgos o sacrificios; simplemente, el Final depende del Principio

Transcripción

1 ELECTROMAGNETISMO Departamento de Física Taller A (primer corte) Docente: Alexánder Contreras Físico/Physicist (El presente taller es únicamente una guía de estudio para los estudiantes) (No se conformen con la limitación de los presentes ejercicios, recuérdese que la Física es un Universo de infinitas particularidades; siempre habrá algo nuevo que aprender ) Ley de Coulomb Los grandes logros son efecto de los grandes riesgos o sacrificios; simplemente, el Final depende del Principio [1] En las esquinas de un triángulo equilátero existen tres cargas puntuales, como se observa en la figura. Vectorialmente, calcule la fuerza eléctrica total sobre la carga de valor 7μC. [2] En las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura, existen cuatro partículas con carga. a) Algebraicamente, determine el vector fuerza sobre la carga 4q en términos de a. b) Hallar el valor numérico del anterior, magnitud y dirección, cuando q = 2μC y a = 12cm. [3] Hay cinco cargas idénticas q en los vértices de un pentágono regular de lado d. a) Cuál es la fuerza vectorial eléctrica neta debida a esas cinco cargas, sobre una sexta carga +q en el centro del pentágono?, b) Cuál es la magnitud de dicha fuerza cuando d = 10cm y q = 4μC. [4] Hay dos cargas iguales de +Q en los vértices inferiores de un triángulo equilátero de lado a; una tercera carga q está en el otro vértice. A una distancia de a/2, fuera del triángulo y sobre la mediatriz de las cargas +Q, está una carga q 0 (véase la figura), sobre la cual aplica una fuerza neta igual a cero. Calcúlese el valor de la relación q/q.

2 [5] Cuatro cargas puntuales idénticas q están en los vértices de un tetraedro regular de lado a. Cuál es la fuerza vectorial experimentada por una carga con respecto a las demás? (Sugerencia: Desprecie la atracción gravitacional. Adicionalmente, recuérdese que con los triángulos equiláteros de la figura se realiza un tetraedro regular). [6] Una carga q 1 = 4μC ubicada en el punto P 1 (2,2, 2) experimenta una fuerza con respecto a las cargas q 2 = 2μC ubicada en el punto P 2 (4,8,7) y q 3 = 6μC ubicada en el punto P 3 (4, 7,5). Hallar la fuerza vectorial eléctrica resultante sobre la carga q 1 y la dirección. (Sugerencia: una buena forma de realizarle, es tomar la gráfica individual para los pares de cargas implicados y tomar en primera instancia el vector posición de cada carga con respecto al origen de coordenadas P 0 (0,0,0)). [7] Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con una masa de kg, cuelgan en equilibrio como se muestra en la figura. La longitud de cada cuerda es L = 0.12 m y el ángulo θ = 7º. Encuentre: a) la expresión algebraica de la carga explícita en términos de los demás parámetros, b) el valor numérico para dicha carga.

3 [8] Dos esferas idénticas tienen una masa m y una carga q. Cuando se les coloca en un tazón de radio R y de paredes no conductoras y libres de fricción, las esferas se mueven, y cuando están en equilibrio se encuentran a una distancia R (véase la figura). Demuestre que el valor de cada carga es: q = R mg 3K E [9] Tres esferas idénticas colgantes de masa m y de carga q, están unidas desde un punto común a través de tres hilos de longitud l, respectivamente. Después de ser soltadas, en el aire adquieren un equilibrio como consecuencia de las interacciones eléctrica y gravitacional, formando un triángulo equilátero de lado d (en el plano XY). Demostrar que la expresión algebraica de la carga q para cualquier esfera es: (Sugerencia: Utilice para los lados del triángulo las direcciones i y j, y para la altura del triángulo con respecto al punto común utilice la dirección k ). q 2 = 4 3 πε 0mgd 3 (l 2 d2 1/2 3 ) Cinemática de cargas eléctricas en campos eléctricos uniformes [10] Se proyectan varios protones con una rapidez inicial v i = 9.55 km/s en una región donde está presente un campo eléctrico uniforme E = 720j N/C, como se muestra en la figura. Los protones deben alcanzar un objetivo que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto por donde los protones atraviesan el plano y entran en el campo eléctrico. Determine: (a) los dos ángulos de proyección θ que logren el resultado esperado y (b) el tiempo de vuelo (intervalo de tiempo durante el cual el protón pasa por encima del plano en la figura) para cada una de las trayectorias. [11] En la figura, se lanza electrón con una velocidad inicial de m/s en la dirección de un eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme entre placas, tiene una intensidad de 20000N/C y está dirigido hacia arriba. (a) Qué distancia perpendicular al eje ha recorrido el electrón cuando pasa por el extremo de las placas?, (b)

4 qué ángulo con el eje forma su velocidad cuando abandona las placas?, (c) A qué distancia por debajo del eje choca con la pantalla S? [12] Suponga que se lanzan electrones con una velocidad inicial v 0 = m/s con un ángulo de 35 con respecto a la placa inferior. Si el campo eléctrico es E = 3000N/C. Calcule la distancia a la cual chocan los electrones sobre la placa inferior. [13] Entre dos placas planas y paralelas de magnitud de carga igual pero de signos opuestos, existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón de la superficie de la placa negativa y choca en la superficie de la placa opuesta, distante 2cm de la primera, en un intervalo de 1, s. (a) Calcular el campo eléctrico; (b) calcular la velocidad del electrón al chocar con la placa. Campo Eléctrico de cargas puntuales [14] La distancia entre el núcleo del oxígeno y cada uno de los núcleos de hidrógeno en una molécula de agua (H 2 O) es 9, m. El ángulo entre las líneas de los dos núcleos de hidrógeno es 105 como se muestra en la figura. Calcule el campo eléctrico producido por los núcleos en el punto P a una distancia de 1, m. [15] Hallar el campo eléctrico en términos de q y a en el centro del triángulo equilátero generado por las tres cargas puntuales.

5 [16] Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo de una línea recta. La primera carga q 1 = 15μC está separada 2m de la última carga q 3 = 6μC. Si la carga q 2 está en cierto lugar intermedio entre las dos cargas y en el cual su fuerza eléctrica neta es igual a cero, qué distancia posee con respecto a la primera carga? [17] De acuerdo a la figura, hallar: a) algebraicamente una expresión vectorial del campo eléctrico en el punto superior provocado por todas las cargas implicadas; b) Hallar un valor escalar de dicho campo si q = 4μC y a = 0,1m. [18] Demostrar que las componentes cartesianas del campo eléctrico producido por una carga q a la distancia r son: E x = qx 4πε 0 r 3 ; E y = qy 4πε 0 r 3 ; E z = qz 4πε 0 r 3 [19] Siete partículas con carga, cada una de magnitud q, están situadas en las esquinas de un cubo de arista s, como se observa en la figura. (a) Determine las componentes en x, y y z del campo eléctrico total (vector campo) ejercida por las demás cargas sobre la carga ubicada en el punto P. b) Cuáles son la magnitud y la dirección de éste campo total?

6 Campo Eléctrico de cuerpos de distribución de carga continua [20] Hallar el campo eléctrico generado por un alambre infinito, con densidad de carga uniforme λ, en el punto medio de él a una distancia perpendicular [21] Una barra uniformemente cargada de longitud L es doblada en forma de semicírculo, así como se muestra en la figura. Si la barra posee una carga total Q, hallar el campo eléctrico en el centro del semicírculo. Después halle el valor numérico vectorial de éste cuando L = 15cm y Q = 7μC. [22] Se tiene un alambre de longitud L con una densidad lineal de carga λ, véase la figura. (a) probar que el campo eléctrico en un punto a una distancia R del alambre está dado por: E = (λ/4πε 0 R)(sinθ 2 sinθ 1 ) y E = (λ/4πε 0 R)(cosθ 2 cosθ 1 )

7 [23] Una línea de carga forma un semicírculo de radio R, la carga por unidad de longitud está dada por λ = λ 0 cosθ. Calcule la fuerza sobre una carga q colocada en el centro de la curvatura. [24] Con un alambre de carga λ por unidad de longitud se forma un cuadrado de lado L. Calcular el campo en puntos situados sobre la perpendicular al centro del cuadrado. [25] A través del método de distribución de carga continua, calcular el campo eléctrico de un anillo, disco y lámina infinita. [26] A través del método de distribución de carga continua, hallar el campo eléctrico en forma vectorial generado por un cascaron cilíndrico de radio a en puntos perpendiculares al centro de una de sus tapas. Véase la figura. Ley de Gauss [27] Hallar el campo eléctrico generado por dos planos paralelos y simétricos cargados con densidad de carga uniforme superficial, en un punto ubicado en el centro de un agujero circular centrado en la placa superior. Véase la figura. [28] Hallar el campo eléctrico generado por tres filamentos idénticos y de densidad de carga uniforme lineal, en puntos entre la cavidad y equidistantes a las placas superior e inferior. Véase la figura.

8 [29] Calcule el campo eléctrico para cada situación mostrada: a) Dos líneas con distribución de carga λ. Calcular E en P; b) Dos planos infinitos cruzados con la distribución de carga σ. Calcular E en P; c) Dos alambres infinitos con distribución de carga λ que se cruzan formando un ángulo α. Calcular E en puntos a lo largo de una bisectriz del ángulo. d) Dos planos cruzados perpendiculares con distribución de carga σ. Calcular E en un punto (x, y) de cualquier cuadrante. e) Un plano con distribución de carga σ atravesado por un alambre infinito con distribución de carga λ. Calcular E dentro de la lámina infinita a una distancia d del alambre. f) Tres láminas paralelas infinitas idénticas con distribución de carga +σ. Calcular E en todos los puntos fuera de las láminas. [30] Usando la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por una distribución volumétrica de una esfera sólida cargada de radio a, en puntos interiores y exteriores a ella. [31] Una esfera de radio 2a está hecha de un material no conductor con una densidad de carga volumétrica uniforme ρ, (suponga que el material no afecta al campo eléctrico al interior). Se efectúa en seguida una cavidad de radio a en la esfera, así como se muestra en la figura. Demuestre que el campo eléctrico dentro de la esfera es uniforme y está dado por: E = 0i + ρa 3ε 0 j

9 [32] Una esfera maciza de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente en su volumen. Se hace un orificio de radio R/2, tal que el centro del hueco esférico esté a una distancia R/2 del centro de la esfera maciza. Demuestre que el campo eléctrico a una distancia r > R del centro de la esfera maciza es: [33] Suponga que se tiene una esfera hueca conductora de carga q y radios interno y externo R 1 y R 2, respectivamente. a) Calcule el campo eléctrico en todas las regiones; b) si se introduce una carga puntual q dentro de la esfera hueca, calcular en este caso el campo eléctrico en todas las regiones y la carga inducida sobre la superficie interna de la esfera. [34] Una cilindro de radio R está hecho de un material no conductor con una densidad de carga volumétrica uniforme ρ. Se efectúa en seguida una cavidad cilíndrica de radio R/2 dentro del cilindró original, así como se observa en la figura. Hallar el vector campo eléctrico resultante en un punto al interior del cilindro original que intercepte el cilindro hueco ( R < r < R). 2 [35] De acuerdo a la figura, por medio de la ley de Gauss determine el campo eléctrico producido por una esfera aislante hueca de radio interno a y radio externo b con carga total Q en las regiones: a) r < a b) a < r < b c) r > b. [36] Una esfera aislante sólida, de radio a, tiene una carga positiva Q neta distribuida de manera uniforme por todo su volumen. Un cascarón esférico conductor, de radio interior b y

10 radio exterior c, es concéntrico con la esfera sólida y tiene una carga neta 2Q. Ahora, con la aplicación de la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico en las regiones marcadas como: 1, 2, 3 y 4 en la figura. Finalmente, analice el caso para el campo eléctrico cuando el cascarón conductor tuviese carga neta cero; y qué sucedería si la esfera sólida de radio a no estuviese. [37] Considérese un cilindro aislante de radio a y carga Q distribuida en todo su volumen. Concéntricamente al primer cilindro, considérese un cascarón cilíndrico conductor de radio interno b y radio externo c con carga Q. Hallar el campo eléctrico en: a) r < a b) a < r < b c) b < r < c d) r > c. [38] Una superficie cerrada de dimensiones a = b = 0.4m y c = 0.6m está ubicada de la forma en que se muestra en la figura. La cara izquierda de la superficie cerrada está posicionada en x = a. El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y se varía de la forma E = (3 + 2x 2 )i [N/C], donde x está expresado en metros. Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. Cuál es la carga neta que se encuentra dentro de la superficie? (RTA: q=2,378pc) [39] Considérese una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud E = N/C, como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico a través de: a) Superficie rectangular vertical, b) La superficie inclinada, c) La superficie total de la carga.

11 [40] Una pirámide tetraédrica está formada por triángulos equiláteros de lado a. La pirámide descansa con una cara sobre un plano infinito con distribución de carga σ. Calcule el flujo eléctrico a través de la cara que descansa sobre el plano. Cuál es el flujo a través de cada una de las otras caras? [41] Una carga lineal infinitamente larga tiene carga uniforme por cada unidad de longitud l y se localiza a una distancia d del punto O, como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R con centro en O como resultado de la carga lineal. Tome en cuenta cuando el caso cuando R < d y el caso cuando R > d. [42] Una esfera de radio R rodea una partícula con carga Q, ubicada en su centro, véase la figura. a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de semiángulo θ es: b) cuál es el flujo para θ = 90 y θ = 180. Φ E = Q 2ε 0 (1 cosθ)

12 Cultura General: Un magnetar o magnetoestrella es una estrella de neutrones alimentada con un campo magnético extremadamente fuerte. Se trata de una variedad de púlsar cuya característica principal es la expulsión, en un breve período (equivalente a la duración de un relámpago), de enormes cantidades de alta energía en forma de rayos X y rayos gamma. Bien se dice: él éxito consta de 10% de habilidad y 90% de transpiración. ÉXITOS!!...