Física 2 - Ingeniería Ambiental Práctica Nº1: electrostática. I. Ley de Coulomb

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1 Física 2 - Ingeniería Ambiental Práctica Nº1: electrostática I. Ley de Coulomb 1. Una esfera de metal sin carga cuelga de un cordón de nailon. Cuando se le acerca una varilla de vidrio con carga positiva, la esfera es atraída hacia la varilla. Pero si la esfera toca la varilla, de pronto se aleja de la varilla. Explique por qué la esfera primero es atraída y luego repelida. 2. Los relámpagos ocurren cuando hay un flujo de carga eléctrica (sobre todo electrones) entre el suelo y los cumulonimbos (nubes de tormenta). La tasa máxima de flujo de carga en un relámpago es de alrededor de 20,000C/s; esto dura 100µs o menos. Cuánta carga fluye entre el suelo y la nube en este tiempo? Cuántos electrones fluyen en dicho periodo? 3. Una carga negativa de 0, 55µC ejerce una fuerza hacia arriba de 0, 2N, sobre una carga desconocida que está a 0, 3m directamente abajo ella. a) Cuál es la carga desconocida (magnitud y signo)? b) Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que la carga desconocida ejerce sobre la carga de 0, 550µC? 4. Tres cargas puntuales están alineadas a lo largo del eje x. La carga q 1 = 3µC está en el origen, y la carga q 2 = 5µC se encuentra en x = 0, 2m. La carga q 3 = 8µC. Dónde está situada q 3 si la fuerza neta sobre q 1 es de 7N en la dirección negativa del eje x? 5. Se colocan cuatro cargas eléctricas idénticas en las esquinas de un cuadrado cuyos lados miden L. En un diagrama de cuerpo libre, muestre todas las fuerzas que actúen sobre una de las cargas. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza total ejercida sobre una carga por las otras tres cargas. 6. Calcule cuál debe ser la carga (signo y magnitud) de una partícula de 1,45g para que permanezca estacionaria, cuando se coloca en un campo eléctrico dirigido hacia abajo con magnitud de 650N/C. Cuál es la magnitud de un campo eléctrico donde la fuerza eléctrica sobre un protón tiene la misma magnitud que su peso? Datos del protón: m = 1, kg, q = 1, C. 7. Se lanza un electrón con rapidez inicial v 0 = 1, m/s hacia el interior de un campo uniforme entre un par de placas paralelas, como se muestra en la siguiente figura. Suponga que el campo entre las placas es uniforme y está dirigido verticalmente hacia abajo, y que el campo fuera de las placas es igual a cero. El electrón ingresa al campo en un punto equidistante de las dos placas. a) Si el electrón apenas libra la placa superior al salir del campo, encuentre la magnitud del campo eléctrico. b) Suponga que en la figura el electrón es sustituido por un protón con la misma rapidez inicial v 0. Golpearía el protón alguna de las placas? Si el protón no golpea ninguna de las placas, cuáles serían la magnitud y la dirección de su desplazamiento vertical, a medida que sale de la región entre las placas? c) Compare las trayectorias que recorren el electrón y el protón, y explique las diferencias. d) Analice si es razonable ignorar los efectos de la gravedad en cada partícula. 1

2 Problema 7 8. La carga puntual q 1 = 5nC se encuentra en el origen y la carga puntual q 2 = 3nC está sobre el eje x en x = 3cm. El punto P se halla sobre el eje y en y = 4cm. a) Calcule los campos eléctricos E 1 y E 2 en el punto P debido a las cargas q 1 y q 2. Exprese los resultados en términos de vectores unitarios. b) Utilice los resultados del inciso a) para obtener el campo resultante en P, expresado con notación de vectores unitarios. 9. En la región entre dos placas planas paralelas con carga opuesta, existe un campo eléctrico. Se libera un protón desde el reposo en la superficie de la placa con carga positiva, y golpea la superficie de la placa opuesta, que está a una distancia de 1,6cm de la primera, en un intervalo de tiempo de 1, s. Encuentre la magnitud del campo eléctrico y calcule la rapidez del protón cuando golpea la placa con carga negativa. 10. La siguiente figura muestra algunas de las líneas de campo eléctrico debidas a tres cargas puntuales situadas a lo largo del eje vertical. Las tres cargas tienen la misma magnitud. a) Cuáles son los signos de las tres cargas? Explique su razonamiento. b) En cuál(es) punto(s) la magnitud del campo eléctrico es la más pequeña? Explique su razonamiento. Diga cómo los campos producidos por cada carga puntual individual se combinan para dar un campo neto pequeño en este(os) punto(s). Problema Se colocan tres cargas puntuales idénticas q en cada una de tres esquinas de un cuadrado de lado L. Obtenga la magnitud y la dirección de la fuerza neta sobre una carga puntual de 3q que se sitúa: i) en el centro del cuadrado; ii) en la esquina vacía del cuadrado. En cada caso, dibuje un diagrama 2

3 de cuerpo libre que muestre las fuerzas ejercidas sobre la carga de 3q por cada una de las otras tres cargas. 12. Encuentre por integración directa: a) El campo E en todo el espacio debido a un hilo infinito con carga lineal λ; b) El campo E(z) a lo largo del eje axial (ẑ) de un anillo de carga lineal λ y radio a. 3

4 Física 2 - Ingeniería Ambiental Práctica N 1: electrostática II. Ley de Gauss 1. En la siguiente figura, suponga que se coloca una tercera carga puntual fuera de la superficie gaussiana de color púrpura C. Afectaría esto el flujo eléctrico a través de cualquiera de las superficies A, B, C o D en la figura? Por qué? Problema 1 2. Las tres esferas pequeñas que se muestran en la figura tienen cargas q 1 = 4nC, q 2 = 7,8nC y q 3 = 2,4nC. Calcule el flujo eléctrico neto a través de cada una de las siguientes superficies cerradas que se ilustran en sección transversal en la figura: i) S1; ii) S2; iii) S3; iv) S4; v) S5. vi) Las respuestas para los incisos i) a v), dependen de la manera en que está distribuida la carga en cada esfera pequeña? Por qué? Problema 2 Problema 3 3. Una lámina plana tiene forma rectangular con lados de longitud 0,4m y 0,6m. La lámina está inmersa en un campo eléctrico uniforme de magnitud 75N/C dirigido a 20 con respecto al plano de la lámina. Encuentre la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina. 4. En cierta región del espacio, el campo eléctrico E es uniforme. a) Use la ley de Gauss para demostrar que esa región debe ser eléctricamente neutra; es decir, la densidad volumétrica de carga ρ debe ser igual a cero. b) Lo contrario, es verdadero? Es decir, en una región S del espacio donde no hay carga, E debe ser uniforme? Explique su respuesta. 4

5 5. Una carga puntual de 5µC se localiza en el eje x en x = 4m, cerca de una superficie esférica de radio 3m con centro en el origen. a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en x = 3m. b) Determine la magnitud del campo eléctrico en x = 3m. c) De acuerdo con la ley de Gauss, el flujo neto a través de la esfera es igual a cero porque no contiene carga. Pero el campo debido a la carga exterior es mucho más fuerte en el lado cercano a la esfera (por ejemplo, en x = 3m) que en el lado alejado (en x = 3m). Entonces, cómo puede ser igual el flujo hacia la esfera (en el lado cercano) que el flujo hacia fuera de ella (en el lado lejano)? Dé una explicación; un diagrama será de utilidad. 6. Encuentre por Gauss el campo eléctrico en todo el espacio, en presencia de las siguientes distribuciones uniformes de carga: a) un hilo infinito con carga lineal λ; b) una superficie infinta con carga σ; c) una esfera de radio a hueca con carga σ ó sólida con carga en volumen ρ; d) un cilindro de radio a hueco con carga σ ó sólido con carga en volumen ρ. 7. Sobre la superficie de una coraza esférica aislante de radio R, está distribuida con uniformidad una carga negativa Q. Calcule la fuerza (magnitud y dirección) que ejerce la coraza sobre una carga puntual positiva q ubicada a una distancia i) r > R del centro de la coraza (fuera de la coraza), y ii) r < R del centro de la coraza (dentro de la coraza). 8. Cable coaxial. Un cable coaxial largo consiste en un conductor cilíndrico interior con radio a, y un cilindro exterior con radio interior b y radio exterior c. El cilindro exterior está montado en apoyos aislantes y no tiene carga neta. El cilindro interior tiene carga positiva uniforme por unidad de longitud λ. Calcule el campo eléctrico a) en cualquier punto entre los cilindros a una distancia r del eje, b) en cualquier punto fuera del cilindro exterior. c) Elabore una gráfica de la magnitud del campo eléctrico como función de la distancia r desde el eje del cable, de r = 0 a r = 2c. d) Determine la carga por unidad de longitud en las superficies interna y externa del cilindro exterior. 9. Una coraza esférica conductora, con radio interior a y radio exterior b, tiene una carga puntual positiva Q localizada en su centro. La carga total en la coraza es 3Q, y está aislada de su ambiente. a) Obtenga expresiones para la magnitud del campo eléctrico, en términos de la distancia r desde el centro, para las regiones r < a, a < r < b y r > b. b) Cuál es la densidad superficial de carga en la superficie interior de la coraza conductora? c) Cuál es la densidad superficial de carga en la superficie exterior de la coraza conductora? d) Elabore un diagrama de las líneas de campo y la localización de todas las cargas. e) Grafique la magnitud del campo eléctrico como función de r. 5

6 Problema Una placa conductora grande y aislada tiene una carga por unidad de área σ sobre su superficie. Como la placa es conductora, el campo eléctrico en su superficie es perpendicular la superficie y su magnitud es E = σ/ɛ 0. a) En el ejercicio (6b) se demostró que campo generado por una lámina grande, con carga uniforme y con carga por unidad de área σ tiene una magnitud de E = σ/(2ɛ 0 ), exactamente la mitad de una placa conductora con carga. Por qué hay esta diferencia? b) Recuerde que la distribución de carga en la placa conductora es como si hubiera dos láminas de carga (una en cada superficie), cada una con carga por unidad de área de σ ; use el resultado del ejercicio (6b) y el principio de superposición para demostrar que E = 0 dentro de la placa, y que E = σ/ɛ = fuera de la placa. Problema 10 6

7 Física 2 - Ingeniería Ambiental Práctica N 1: electrostática III. Potencial electrostático 1. Si E es igual a cero en todo lugar a lo largo de cierta trayectoria que vaya del punto A al B, cuál es la diferencia de potencial entre esos dos puntos? Significa esto que E es igual a cero en todos los puntos a lo largo de cualquier trayectoria de A a B? Explique su respuesta. 2. Si E es igual a cero a través de cierta región del espacio, el potencial también es necesariamente igual a cero en esa región? Por qué? Si no es así, qué puede decirse acerca del potencial? 3. Si se conoce el potencial eléctrico en un solo punto, se puede determinar E en ese punto? Si es así, cómo? Si no es posible, por qué? 4. Un conductor con una carga neta Q tiene una cavidad hueca y vacía en su interior. El potencial varía de un punto a otro dentro del material del conductor? Qué sucede dentro de la cavidad? Cómo se compara el potencial en el interior de la cavidad con el potencial dentro del material del conductor? 5. Qué tan lejos de una carga puntual de 7,2µC debe situarse una carga puntual de 2,3µC para que la energía potencial eléctrica U del par de cargas sea 0,4J? (Considere U igual a cero cuando las cargas tengan separación infinita). 6. i) Cuánto trabajo se requiere para empujar dos protones con mucha lentitud desde una separación de m (una distancia atómica común) a m (una distancia nuclear común)? ii) Si los dos protones se liberan desde el reposo en la distancia más cercana del inciso i), con qué rapidez se moverán cuando alcancen su separación original? 7. Se colocan tres cargas puntuales iguales de 1,2µC en las esquinas de un triángulo equilátero cuyos lados miden 0,5m de longitud. Cuál es la energía potencial del sistema? (Considere la energía potencial de las tres cargas igual a cero cuando se encuentren separadas por una distancia infinita.) 8. Una partícula pequeña tiene carga de 5µC y masa de kg. Se desplaza desde el punto A, donde el potencial eléctrico es V A = 200V, al punto B, donde el potencial eléctrico es V B = 800V. La fuerza eléctrica es la única que actúa sobre la partícula, la cual tiene una rapidez de 5m/s en el punto A. Cuál es su rapidez en el punto B? Se mueve más rápido o más lento en B que en A? Explique su respuesta. 9. Dos cargas puntuales positivas, cada una con magnitud q, se encuentran fijas sobre el eje y en los puntos y = a e y = a. Considere el potencial igual a cero a una distancia infinita de las cargas. a) Indique en un diagrama la posición de las cargas. b) Cuál es el potencial V 0 en el origen? c) Demuestre que el potencial en cualquier punto sobre el eje x es V (x) = 1 2q (1) 4πɛ 0 x 2 + a 2 d) Elabore la gráfica del potencial sobre el eje x como función de x sobre el intervalo de x = 4a hasta x = 4a. 7

8 e) Cuál es el potencial cuando x a? Explique por qué se obtiene este resultado. 10. Calcule el potencial en todo el espacio para las situaciones del ejercicio (6) de la guía de Gauss. 11. Una carga eléctrica total de 3,5nC está distribuida de manera uniforme sobre la superficie de una esfera de metal con radio de 24cm. Si el potencial es igual a cero en un punto en el infinito, encuentre el valor del potencial a las siguientes distancias desde el centro de la esfera: i) 48cm ; ii) 24cm ; c) 12cm. 12. Una línea infinitamente larga de carga tiene densidad lineal de carga de C/m. Un protón (masa de 1, kg, carga de 1, C) se localiza a 18cm de la línea y se mueve directamente hacia ella con una rapidez de 1, m/s. a) Calcule la energía cinética inicial del protón. b) A qué distancia de la línea de carga llega el protón? 8

9 Física 2 - Ingeniería Ambiental Práctica N 1: electrostática IV. Capacitores 1. Un capacitor de placas paralelas de aire y capacitancia de 245pF tiene una carga con magnitud de 0,148µC en cada placa. Las placas están separadas por una distancia de 0,328mm. a) Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? b) Cuál es el área de cada placa? c) Cuál es la magnitud del campo eléctrico entre las placas? d) Cuál es la densidad superficial de carga en cada placa? 2. Un capacitor con aire está hecho de dos placas paralelas planas con una separación de 1,5mm. La magnitud de la carga en cada placa es de 0,018µC, cuando la diferencia de potencial es de 200V. a) Cuál es la capacitancia? b) Cuál es el área de cada placa? c) Cuál es el voltaje máximo que puede aplicarse sin que haya ruptura del dieléctrico? (En el caso del aire, la ruptura del dieléctrico ocurre con una intensidad de campo eléctrico de 3, V/m.) d) Cuando la carga es de 0,018µC, cuál es la energía total almacenada? 3. i) Cuánta carga tiene que suministrar una batería a un capacitor de 5µF para crear una diferencia de potencial de 1,5V a través de sus placas? En este caso, cuánta energía estaría almacenada en el capacitor? ii) Cuánta carga tendría que suministrar la batería para que en el capacitor se almacenara un Joule de energía? En este caso, cuál sería el potencial a través del capacitor? 4. i) Un capacitor de placas paralelas se carga con una batería y se mantiene conectado a ésta. Después se duplica la distancia de separación entre las placas. Cómo cambian el campo eléctrico, la carga en las placas y la energía total? Explique su razonamiento. ii) Un capacitor de placas paralelas se carga conectándolo a una batería y luego se desconecta de ésta. Después se duplica la distancia de separación entre las placas. Cómo cambian el campo eléctrico, la diferencia de potencial y la energía total? Dé una explicación de su razonamiento. 5. En el capacitor de placas paralelas de la figura, suponga que las placas se separan de manera que la separación d es mucho mayor que el tamaño de las placas. a) Es exacto decir que el campo eléctrico entre las placas es uniforme? Por qué? b) En la situación que se ilustra en la figura, la diferencia de potencial entre las placas es V ab = Qd/(ɛ 0 A). Si las placas se separan según la descripción anterior, V ab es mayor o menor de lo que indicaría esta fórmula? Explique su razonamiento. c) Con las placas separadas de acuerdo con la descripción, la capacitancia es mayor, menor o igual a la que C = ɛ 0 A/d? Explique su razonamiento. 9

10 Problema 5 6. Para la red de capacitores que se ilustra en la figura, la diferencia de potencial a través de ab es de 36V. Encuentre a) la carga total almacenada en esta red; b) la carga en cada capacitor; c) la energía total almacenada en la red; d) la energía almacena da en cada capacitor; e) la diferencia de potencial a través de cada capacitor. Problema 6 Problema 7 Problema 8 7. Para el sistema de capacitores que se aprecia en la figura, calcule la capacitancia equivalente i) entre b y c, y ii) entre a y c. 8. En la figura, cada capacitor tiene C = 4µF y V ab = 28V. Calcule i) la carga en cada capacitor; ii) la diferencia de potencial a través de cada capacitor; iii) la diferencia de potencial entre los puntos a y d. 9. En cierto tipo de teclado de computadora, cada tecla tiene una pequeña placa metálica que funciona como una de las placas de un capacitor de placas paralelas relleno de aire. Cuando se oprime la tecla, 10

11 la separación de las placas disminuye y la capacitancia aumenta. Los circuitos electrónicos detectan el cambio de la capacitancia y con ello la tecla que se oprimió. En un teclado en particular, el área de cada placa metálica es de 42mm 2, y la separación entre las placas es de 0,7mm antes de oprimir la tecla. a) Calcule la capacitancia antes de oprimir la tecla. b) Si los circuitos son capaces de detectar un cambio en la capacitancia de 0,25pF, qué distancia hay que oprimir la tecla para que los circuitos detecten que la tecla se oprimió? 10. Capacitancia en una nube de tormenta. El centro de carga de una nube de tormenta, que se encuentra a 3km sobre la superficie terrestre, contiene 20C de carga negativa. Si se supone que el centro de carga tiene un radio de 1km, y el centro de carga y la superficie de la Tierra se modelan como placas paralelas, calcule: a) la capacitancia del sistema; b) la diferencia de potencial entre el centro de carga y la superficie terrestre; c) la intensidad media del campo eléctrico entre la nube y la superficie terrestre; d) la energía eléctrica almacenada en el sistema. 11. Membranas celulares. Las membranas de las células (la pared que las rodea) normalmente tienen un espesor de 7,5nm. Son parcialmente permeables para permitir que material con carga entre y salga, según sea necesario. En las caras interior y exterior de las membranas hay densidades de carga iguales pero de signo contrario, para impedir que cargas adicionales crucen la pared celular. Se puede modelar la membrana celular como un capacitor de placas paralelas, con la membrana que contiene proteínas incrustada en un material orgánico que le da una constante dieléctrica alrededor de 10. a) Cuál es la capacitancia por centímetro cuadrado de una membrana celular? b) En su estado de reposo normal una célula tiene una diferencia de potencial de 85mV a través de su membrana. Cuál es el campo eléctrico dentro de ella? Problema 11 11