F ³sica Te orica 1 - ELECTROMAGNETISMO Primer Cuatrimestre M etodo de Separaci on de Variables

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María Ángeles Redondo Páez
hace 6 años
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1 F ³sica Te orica 1 - ELECTROMAGNETISMO Primer Cuatrimestre 2001 M etodo de Separaci on de Variables 1. Se tiene un cubo conductor de lado a conectado a tierra. En su interior, paralelo a las caras y a la altura mitad, se coloca un plano con densidad super cial de carga ¾. Calcular el potencial electrost atico en todo punto del espacio dividiendo la regi on en dos zonas. Resuelva la ecuaci onde Laplace en cada zona e incluya la densidad de carga como condici on de contorno. 2. Se coloca un alambre con densidad de carga constante equidistante a dos placas conductoras in nitas conectadas a tierra. Encuentre el potencial el ectrico en todo punto del espacio utilizando separaci on de variables. Para ello divida el problema en dos regiones de las siguientes formas: (a) Realice un corte vertical, perpendicular a los planos. (b) Realice un corte horizontal, paralelo a los planos. Compare los resultados obtenidos. >Son iguales? 3. Calcular el potencial electrost atico en todo punto del espacio para una esfera cuyo casquete superior est a conectado a un potencial V 1 y el inferior a V IMAN ESFERICO: i. Se tiene una esfera uniformente magnetizada en volumen con densidad ~M = M 0^z. (a) Calcular el momento dipolar de la esfera: i) Integrando directamente la densidad de magnetizaci on. ii) Utilizando los conceptos de cargas magn eticas y corrientes de magnetizaci on. (b) Calcular los campos B ~ y H ~ usando la integral de Poisson para el potencial escalar magn etico. Identi car el problema el ectrico equivalente. Comparar el potencial en el exterior de la esfera con el que producir ³a un dipolo puntual igual al momento dipolar total de la esfera. 1

2 (c) Calcular el potencial vectorial a partir de la corriente total. ii. Se tiene ahora la misma esfera situada en un medio lineal, is otropo y homog eneo de permeabilidad ¹. (a) Discutir cuidadosamente por qu e los m etodos utilizados en b) y c) no sirven para hallar B ~ en este caso. Utilizar entonces el m etodo de separaci on de variables. Veri car que si ¹ = 1 se recupera el resultado anterior. (b) Hallar el momento dipolar total inducido en el medio exterior. iii. Una esfera hueca cargada con densidad super cial ¾, que rota con velocidad angular ~! =! 0^z constituye un problema equivalente al de la esfera con magnetizaci on uniforme. Probarlo, y haciendo las identi caciones pertinentes, deducir el momento magn etico total de la esfera rotante y los campos B ~ y H ~ producidos por la misma. 5. Considere una esfera diel ectrica de radio a y permitividad ² 1, sumergida en otro medio de permitividad ² 2. A una distancia d < a del centro de la esfera se encuentra una carga q. (a) Halle el potencial electrost atico en todo punto del espacio. (b) Halle las densidades de carga de polarizaci on en volumen y super cie. 6. Se tiene una esfera homog enea de permitividad ² y radio b, conc entrica con una c ascara esf erica con densidad de carga ¾ = ¾ 0 cosµ y radio a > b. El conjunto se halla sumergido en un campo el ectrico uniforme al in nito ~E = E 0^z. (a) Calcular el potencial en todo punto del espacio. (b) Hallar la distribuci on de cargas inducidas en r = b. (Sugerencia: pensar que se puede resolver directamente la ecuaci on de Poisson o dividir la regi on en zonas). 7. (a) Resolver el problema de una carga puntual q entre dos c ascaras esf ericas met alicas conc entricas conectadas a tierra. 2

3 (b) Hallar la densidad de carga y la carga total inducida sobre cada esfera. (c) Observar qu e sucede cuando se hace tender el radio de la esfera exterior a in nito. >Cu anto valen las cargas totales inducidas en ese caso? (d) Resolver el problema en el caso en que el potencial de las esferas se eleva a V 1 y V 2, respectivamente. Usar el principio de superposici on. (e) C omo se resolver ia el problema de una carga puntual entre dos cascaras esf ericas conductoras aisladas con una carga total Q 1 y Q 2, respectivamente? 8. Una super cie cil ³ndrica de radio a y altura h, tiene su super cie lateral conectada a tierra, mientras que las tapas se mantienen a potencial V y V. Hallar el potencial en todo punto del espacio. 9. (a) Hallar el potencial y el campo electrost atico en todo punto del espacio, producido por un disco cargado con densidad uniforme ¾. (b) Veri car que, a trav es de l ³mites adecuados, la expresi on obtenida se reduce a las correspondientes a una carga puntual y a un plano in nito. (c) >El disco es conductor? >Por qu e? 10. Calcular los campos ~B y ~H en todo punto del espacio producidos por: (a) Un im an cil ³ndrico, nito y permanente, caracterizado por una densidad de magnetizaci on uniforme ~M paralela al eje del cilindro. (b) Un solenoide de las mismas dimensiones por el que circula una corriente I, y que tiene n espiras por unidad de longitud. Sugerencia: Usar el resultado del problema anterior y el principio de superposici on. 11. Durante una experiencia de laboratorio, es necesario hacer pasar peri odicamente un sensor por entre las caras polares de un im an. El sensor es liforme, con un di ametro de 2mm, una permeabilidad magn etica cercana a 1, y no puede soportar campos magn eticos superiores a 20 gauss. Dise~ne un blindaje magn etico que lo proteja de los 2000 gauss que produce 3

4 el im an cuyo campo atraviesa. Sugerencias: i Reduzca el problema real a uno idealizado m as simple, a trav es de suposiciones adecuadas. ii Plantee las ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno para este problema idealizado. iii Utilize los resultados de la Sec del Jackson. iv Interprete los resultados. 12. Halle las ondas estacionarias (o modos propios electromagn eticos) en el interior de un prisma rectangular de lados a, b y c. Considere que las paredes de esta cavidad resonante son perfectamente conductoras y que en su interior hay un diel ectrico lineal e is otropo caracterizado por sus constantes ² y ¹. (a) escriba las ecuaciones generales y esquematice la soluci on para los campos ~E, ~D, ~B y ~H como funciones de (x;y;z; t). (b) si lo esquematizado en el punto anterior le parece muy engorroso, encuentre primero los modos que tienen el campo el ectrico perpendicular a una arista cualquiera del prisma. Vea que en este caso todos los campos se pueden escribir en funci on de la componente del campo magn etico paralela a la arista elegida. Halle las condiciones de contorno que tiene que satisfacer dicha componente. Reci en ahora emplee separaci on de variables y y encuentre las frecuencias de resonancia. (c) Optativo: repita el punto anterior para los modos que tienen el campo magn etico perpendicular a una arista cualquiera del prisma. Vea que en este caso todos los campos se pueden escribir en funci on de la componente del campo el ectrico paralela a dicha arista elegida. Halle las condiciones de contorno para esta componente. Ahora use separaci on de variables y encuentre las frecuencias de resonancia. Para pensar en el colectivo 1. Explicar las diferencias entre una soluci on de la ecuaci on de Poisson (inhomog enea), de Laplace (dividiendo en zonas) y una soluci on hallada por superposici on. >Qu e pasa con las condiciones de contorno? 2. >C omo puede calcularse el potencial producido por una carga puntual en el centro de un cilindro conductor de radio a y altura h a potencial V? >En cu antas variables se presenta 4

5 problema de Sturm- Liouville? 3. Una carga puntual est a ubicada en el origen de coordenadas, dentro de una caja cil ³ndrica a potencial cero. La caja est a de nida por z = h=2, z = h=2 y r = a. ² i. Se plantea la posibilidad de encarar el problema por dos m etodos distintos: dividiendo en zonas y resolviendo Laplace o directamente por Poisson. Discutir por qu e uno de ellos es muy poco pr actico en este problema. ² ii. Se podr ³a calcular el potencial planteando problema de Sturm-Liouville en cualquiera de las tres variables. Entonces, >no deber ³a ser = 0 la unica soluci on? 5

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