Ayudantía 6. Ley de Gauss 22 de Marzo de 2018 Ayudante: Matías Henríquez -

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1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física FI533 - Electricidad y Magnetismo // -28 Profesor: Giuseppe De Nittis - gidenittis@uc.cl. Fórmulas y constantes.. Ley de Gauss Ayudantía 6 Ley de Gauss 22 de Marzo de 28 Ayudante: Matías Henríquez - mjhenriquez@uc.cl Le ley de Gauss establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada por ella. Φ E = E(x d(x = Q enc ɛ (. esta es la forma integral de la Ley de Gauss..2. Ley de Gauss Forma Diferencial La divergencia de un campo eléctrico depende de la distribución de cargas en el espacio. E = ρ ɛ (.2.3. Permitividad Eléctrica del vacío ɛ = [ C 2 Nm 2 ] (.3

2 2. Problemas Problema : Campo Eléctrico de distribuciones no constantes Una región en el espacio contiene una carga total positiva Q que está distribuida en forma esférica de manera que la densidad volumétrica de carga ρ(r está dada por: ρ(r = α 3αr 2R ( ( r 2 R para r para r R para r R en donde α es una constante positiva de unidades [C/m 3 ]. Calcule el campo eléctrico en todo el espacio. Debido a la simetría del problema, sabemos a priori que el campo eléctrico tendrá dirección radial y dependerá netamente de la distancia al centro de la esfera. Es decir: E(r = E(r egún enunciado, hay una carga total Q en la distribución esférica, es decir: sphere ρ(r }{{} dq/dv r 2 sin φdrdθdφ }{{} dv = Q en donde se calcula el valor de α obteniendo: α = 48Q 233πR 3 Tenemos 3 regiones en donde podemos calcular el campo eléctrico, se hará el análisis para cada una de ellas: r [, ]: Utilizando como superficie gaussiana una esfera de radio r, se tiene: 2

3 r [R] ˆ2π ˆπ E(rr 2 E(r d = Q enc ɛ E(r }{{} d = ɛ = E(rd = 4π ɛ ˆ2π dθ }{{} =2π ˆπ sin φdφ } {{ } =2 3αr 2R r2 dr E(rr 2 sin φdθdφ = 4π 3α r 3 dr ɛ 2R ˆ2π ˆπ sin φdθdφ } {{ } =4π E(r = = 4π 3α r 4 ɛ 2R 4 3α 8ɛ R r2 E(r = 3α 8ɛ R r2 [] Para esta región, la carga encerrada está dada por: Q enc = ˆ2π ˆπ dθ = 4π 3α ˆ 2R [ 3 = 4πα 2R Aplicando ley de gauss, se obtiene: ˆ sin φdφ r 3 dr + α R αr 2R r2 dr + [( 3 = 4πα r 2 dr α R 2 ρ(rr 2 dr α ( r2 r 2 dr R 2 r 4 dr ( r 3 3 R3 R ( ] r R5 6 ( ] r 3 3

4 E(rd = Q enc ɛ E(r 4πr 2 = 4πα ɛ E(r = α [( 3 ɛ r 2 [( E(r = α [( 3 ɛ r ( ( ( r 3 ] r 3 ] r 3 ] [] r R: en esta región, la carga encerrada es Q, por lo tanto: E(r 4πr 2 = Q ɛ E(r = Q 4πɛ r 2 = 233R3 α 92ɛ r 2 [] Problema 2: Campo Eléctrico en distribuciones esféricas Una esfera maciza de radio a y densidad volumétrica ρ se encuentra al interior de un cascarón esférico de radio b y densidad superficial σ. (a Calcule el campo eléctrico en todas las regiones del espacio. e aplicará la ley de gauss para cada una de las regiones: Región I: r < a En esta región, utilizando una superficie gaussiana esférica de radio r, el flujo del campo eléctrico está dado por: Φ = E d = E d = E 4πr 2 la carga encerrada por la superficie gaussiana se calcula: 4

5 Q enc = ρ V enc 4 dv = ρ 3 πr3 Por lo tanto el campo eléctrico está dado por: E 4πr 2 = ρ 4 3ɛ πr 3 E = ρ 3ɛ r E I = ρ 3ɛ r [] Región II: a < r < b El flujo en esta región a través de una superficie gaussiana esférica de radio r vale: Φ = E 4πr 2 La carga encerrada por la superficie gaussiana es: Q enc = ρ V enc 4 dv = ρ 3 πa3 Entonces, el campo eléctrico se calcula como: Región III: r > b En esta región la carga encerrada es: E 4πr 2 = ρ 4 3ɛ πa 3 E = ρa3 3ɛ r 2 E II = ρa3 3ɛ r 2 [] Por lo tanto el campo eléctrico equivale a: Q enc = ρ 4 3 πa3 + σ4πb 2 5

6 E = ( ρ a3 ɛ 3 + σb2 r 2 E III = ɛ ( ρ a3 3 + σb2 r 2 [] (b i la esfera fuera metálica, analice cómo varía la distribución de carga y el campo eléctrico. i la esfera fuera metálica, toda la carga se distribuye en la superficie, entonces el campo eléctrico en la región I cambiaría ya que la carga encerrada sería. Esto implica que el campo eléctrico es un campo con divergencia nula (si se toma una superficie gaussiana, todo el flujo que entra es el mismo flujo que sale. Más adelante se verá que el potencial eléctrico dentro de un conductor es constante, lo que implica que el campo eléctrico es nulo. Problema 3: Forma diferencial Ley de Gauss r e tiene un cilindro macizo infinito de radio a y una densidad de carga ρ(r = ρ, en donde r es la a distancia al eje central del cilindro. Encuentre el campo eléctrico dentro del cilindro utilizando la forma diferencial de la ley de gauss. Hint: la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas cilíndricas es: F = r rf r r + r F θ θ + F z z Dada la simetría del problema, el campo eléctrico solo dependerá de la distancia al eje del cilindro y tendrá dirección radial. Por lo tanto: 6

7 E = E r E = ρ(r = re r ɛ r r re r r = ρ r 2 aɛ re r = ρ r 2 r = ρ r 3 aɛ aɛ 3 E r = ρ 3aɛ r 2 E = ρ 3aɛ r 2 [] 7