Electromagnetismo I. 0.5$m$ F q cos θ = F g sin θ, (1)

Transcripción

1 Electromagnetismo I Semestre: Prof. Alejandro Reyes Coronado Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero Ayud. Christian Esparza López Solución a la Tarea Problema: (10pts) Solución por Christian Esparza López Dos esferas de masa 0.5 Kg, cada una, son atadas al techo con hilo de nylon (de masa despreciable) y son cargadas con un generador electrostático, formando una configuración como la que se muestra en la figura. Cuál es la carga de cada una de las esferas en Coulombs, asumiendo que ambas esferas tienen la misma carga? 2.5$m$ θ$ 0.5$m$ Solución: Suponiendo que se trata de una configuración de equilibrio (inestable), entonces la suma de fuerzas que actua sobre cualquiera de las esferas debe anularse; supongamos además que las esferas son de densidad uniforme de modo que el centro de masas de cada una, coincide con el centro geométrico de las esferas respectivas. Entonces basta resolver el diagrama de cuerpo libre de la figura para determinar la carga de cada esfera. Notemos que la tensión T en la cuerda debe equilibrar a las componentes de F q y F g paralelas a la cuerda, mientras que las componentes perpendiculares a esta dirección deben equilibrarse entre sí, es decir, F q cos θ = F g sin θ, (1) donde F q = q 2 /(4πε 0 d 2 ) y F g = mg, siendo q la carga de cada esfera, m la masa y g la aceleración gravitatoria. Entonces sustituyendo en la ecuación (1) y despejando q obtenemos q = ± 4πε 0 d 2 mg tan θ (2)

2 Figura 1: Diagrama de cuerpo libre, problema 1. de la figura obtenemos tan θ = d/h, sustituyendo obtenemos finalmente q = ± 4πε 0 d 3 mg/h (3) Nótese que la carga puede ser positiva o negativa, no tenemos manera de determinar el signo con la información que se proporciona. 2.- Problema: (10pts) Dos cargas positivas y una negativa (todas con la misma cantidad de carga) se encuentran localizadas en los vércites de un triángulo equilátero. Dónde tendrías que poner una cuarta carga, a lo largo del eje de simetría de la configuración, para que la fuerza total sobre ésta sea cero? Existe alguna otra posición que cumpla con que la fuerza total sea cero o es única? Quizás tengas que resolver algo numéricamente. Solución: Buscamos un punto en el que la fuerza se anule independientemente del valor de la carga que se coloque, por lo tanto buscamos un punto en el que el campo eléctrico se anule. En el eje de simetría, las componentes del campo eléctrico perpendiculares al eje se anulan, por lo tanto el campo eléctrico en la dirección paralela es 2

3 E y (y) = q 1 4πε 0 y cos θ (4) r2 con cos θ = (y h)/r y r = (y h) 2 + h 2 /3, sustituyendo en (4) e igualando a cero obtenemos f(y) = ) 3 ((y h) 2 + h2 y 4 (y h) 2 = 0 (5) 3 ésta es una ecuación polinomial de grado 5, por tanto no es posible utilizar una fórmula en términos de funciones algebraicas para obtener la solución, por lo que usamos un método numérico. Notemos primero que para y < h tenemos f(y) > 0, mientras que para y > 2h tenemos f(y) < 0, por tanto las raíces de f(y) deben encontrarse en el intervalo h y 2h, por simplicidad tomemos h = 1 y usemos el método de bisección para calcular las raíces usando como aproximación inicial de la raíz: y 0 = 1,5 f(y 0 ) < 0 y 1 = f(y 1 ) < 0 y 2 = f(y 2 ) > 0 y 3 = f(y 3 ) < 0 y 4 = f(y 4 ) > 0 y 5 = f(y 5 ) < 0 y 6 = f(y 6 ) < 0 y 7 = f(y 6 ) < 0 entonces el campo se anula aproximadamente en y = (con una precisión de 10 4 ). Un método que converge más rápido es el método de Newton-Raphson, pero para utilizarlo requerimos calcular f (y). 3.- Problema: (15pts) a) Una carga puntual q está localizada en el centro de un cubo de lado d. Calcula el flujo de campo eléctrico (Φ E = S E da) sobre cualquiera de las caras. b) Si la carga se mueve a una de las esquinas del cubo, calcula el flujo eléctrico en cada una de las caras del cubo. a) Solución: Utilizando la ley de Gauss, tenemos Φ E = q ε 0. (6) Dado que la magnitud del campo en un punto r, producido por una carga puntual situada en r sólo depende de la distancia r r y no de la orientación, el flujo en cada una de las caras del cubo debe contribuir en la misma cantidad al flujo total, por lo tanto Φ cara = Φ E #caras = q 6ε 0. (7) 3

4 b) Solución: Para resolver este problema remplacemos la carga puntual por un pequeño cascarón esférico de densidad de carga superficial uniforme, con la misma carga total que la carga puntual. Podemos realizar esto debido a que el campo generdo fuera de la esfera es el mismo que el de una carga puntual y por tanto el flujo también es el mismo. Ahora, la carga encerrada en el cubo es ocho veces menor a la encerrada en el inciso anterior, por lo tanto la ley de Gauss nos dice Φ E = q 8ε 0 (8) y observemos que sólo las tres caras que no tocan el origen contribuyen al flujo, pues en las demás caras el campo es paralelo a la superficie. Nuevamente, argumentando que el campo es independiente de la orientación, estas tres caras deben contribuir en la misma cantidad al flujo total, por lo tanto { Φ cara = 0 si la cara toca el origen q/24ε 0 si la cara no toca el origen (9) 4. Problema: (15pts) Un cascarón esférico posee una densidad de carga ρ(r) = k r 2 en la región a r b (ver figura ), donde k es una constante. Calcula el campo eléctrico en las tres regiones: i) r < a, ii) a < r < b y iii) r > b. Grafica la magnitud del campo eléctrico como función de r. Solución: Figura 2: Se muestra la superficie S sobre la que se calcula el flujo y la gráfica de la intensidad de campo eléctrico respecto a la distancia radial, C = k(b a)/(ε 0 b 2 ). 4

5 Resolvemos fácilmente el problema utilizando la ley de Gauss, pues la densidad de carga sólo depende de la distancia al centro de la esfera y por tanto el campo es radial. Entonces el flujo eléctrico a través de una esfera S de radio R es por otra parte la carga encerrada en S es S E n da = 4πER 2. (10) V R π 2π ρ(r)dv = ρ(r)r 2 sin θdϕdθdr R < a = 4πk(R a) a R b 4πk(b a) b < R (11) Multiplicando (11) por 1/ε 0 e igualando a (10) obtenemos 0 R < a E(r) = k(r a)/(ε 0 R 2 ) a R b k(b a)/(ε 0 R 2 ) b < R (12) 5. Problema: (20pts) Un cable coaxial muy largo posee una densidad volumétrica de carga uniforme ρ sobre el cilindro interior, de radio a, y una densidad superficial de carga σ sobre el cascarón cilíndrico exterior, de radio b. Ver figura. La densidad superficial de carga σ es negativa y justo de la magnitud correcta para que el cable en su conjunto sea eléctricamente neutro. Calcula el campo eléctrico en las tres regiones: i) dentro del cilindro interior (r < a), ii) entre los dos cilindros (a < r < b) y iii) fuera del cable (r > b). Grafica la magnitud del campo eléctrico como función de r. Solución: Nuevamente podemos utilizar ley de Gauss ya que la geometría del problema nos lo permite. Debido a que se trata de un cable muy largo, podemos considerar que el campo se ve igual si trasladamos el cable en cualquier dirección a lo largo de su eje, por lo tanto el campo no puede tener componentes en las direcciones paralelas al eje, es decir, apunta en la dirección perpendicular al eje. Entonces, podemos calcular fácilmente el flujo a través de un cilindro S coaxial al cable, de radio R y longitud L. El flujo en las tapas es cero ya que el campo es paralelo a su superficie, mientras que el flujo en el cuerpo de C es mientras que la carga encerrada en S es S E n da = 2EπRL (13) 5

6 Figura 3: Se muestra la superficie S sobre la que se calcula el flujo y la gráfica de la intensidad de campo eléctrico respecto a la distancia radial, C 1 = (ρa)/(2ε 0 ), C 2 = (ρa 2 )/(2ε 0 b) V ρ(r)dv = R 2π L/2 0 0 L/2 ρ(r)rdzdϕdr ρπr 2 L 0 R < a = ρπa 2 L a R < b 0 b R (14) donde la última igualdad se da porque el cable es eléctricamente neutro. Entonces usando ley de Gauss obtenemos ρr/(2ε 0 ) 0 R a E(r) = ρa 2 /(2ε 0 R) a R b 0 b < R Nótese que a diferencia del problema anterior, el campo eléctrico es discontinuo, pero solamente en donde se encuentra la superficie cargada. De hecho, para que el cable sea neutro, el valor de σ debe ser exactamente σ = ρa 2 /(2b) = ε 0 E(b), esto sugiere que la discontinuidad del campo eléctrico a través de una superfice cargada nos da una idea de la densidad superficial de carga en dicha superficie. 6. Problema: (20pts) a) Usando la siguiente ecuación φ(r) = 1 4πɛ 0 n i=1 q r r i calcula el potencial a una distancia z 0 sobre el centro de una distribución de cargas como se muestra en la figura. Calcula E = φ y compara tu resultado con el de la TAREA 1. (15) 6

7 ê z!z 0! b) Usando la siguiente ecuación!! +q! d/2! d/2! φ(r) = 1 4πɛ 0 +q! λ( r ) r r dl calcula el potencial a una distancia z 0 sobre el centro de una distribución de cargas como se muestra en la figura. Calcula E = φ y compara tu resultado con el visto en clase. ê z! z 0 λ 2L# a) Solución: La distancia entre cada carga y un punto sobre el eje de simetría es r = d 2 /4 + z 2, entonces el potencial debido a ambas cargas es φ = y por tanto el campo eléctrico a una altura z 0 es q 2πε 0 d 2 /4 + z 2 (16) E(z 0 ) = qz 0 ( ) 2πε 0 d 2 /4 + z0 2 3/2 ẑ (17) o utilizando cos θ = z 0 /r, obtenemos E(z 0 ) = q ( ) 2πε 0 d 2 /4 + z0 2 cos θẑ (18) b) Solución: Suponiendo que la distribución de carga es constante tenemos φ = λ 4πε 0 L L dx (x 2 + z 2 ) 1/2 (19) para calcular la integral realizamos el cambio de variable x = z sinh θ, sustituyendo en (19) con dx = z cosh θdθ y cambiando los límites de integración por ± sinh 1 (L/z) obtenemos 7

8 φ = λ 4πε 0 sinh 1 (L/z) sinh 1 (L/z) Ahora, para calcular el campo utilizamos 1 entonces el campo eléctrico a una altura z 0 es dθ = λ 2πε 0 sinh 1 ( ) L. (20) z d L dz (sinh 1 L/z) = z(z 2 + L 2 ) 1/2 (21) E(z 0 ) = λ 2πε 0 L z 0 (z0 2 + ẑ. (22) L2 ) 1/2 7. Problema: (10pts) Considera que el campo eléctrico en una cierta región del espacio está dado por E = k r 3 ê r, donde k es una constante. a) Calcula la densidad de carga volumétrica ρ y b) calcula la carga total encerrada en una esfera de radio R. a) Solución: Para encontrar la densidad de carga en cualquier punto del espacio, conocido el campo eléctrico, utilizamos la ley de Gauss en su forma diferencial. Dado que E sólo depende de la coordenada radial su divergencia es y por ley de Gauss E = 1 d ( r 2 r 2 E ) = 1 d ( kr 5 ) dr r 2 = 5kr 2 (23) dr ρ(r) = 5kε 0 r 2. (24) b) Solución: Para calcular la carga encerrada podemos integrar la densidad de carga del inciso anterior, sobre el volumen de la esfera o podemos utilizar la ley de Gauss en forma integral y calcular el flujo eléctrico a través de la esfera, el cual está dado por por lo tanto la carga total es S E nda = 4πR 2 E(R) = 4πkR 5 (25) Q R = 4πε 0 kr 5. (26) 8. Problema TORITO: (20pts) Una superficie cónica (como un cono de helado hueco puesto de cabeza) posee una densidad de carga superficial uniforme σ. La altura del cono es h, al igual que el radio de la base circular. Calcula la diferencia de potencial entre el punto más alto del cono (el vértice) y el centro del círculo de radio h (base del cono). 1 Para calcular esta derivada utilizamos (f 1 (x)) = 1/f (f 1 (x)) y la regla de la cadena. 8

9 Solución: Dividimos el cono en bandas como se muestra en la figura, de modo que el área de estas bandas es 2πx((dx) 2 + (dz ) 2 ) 1/2. Dado que el ángulo de apertura del cono es π/4 tenemos dz = dx, entonces el área es 2 2πxdx y el potencial sobre el eje del cono está dado por φ(z) = 2 h xdx 2πkσ (z x) 2 + x 2 0 h xdx = 2πkσ 0 (x z/2) 2 + z 2 /4 (27) donde k = (4πε 0 ) 1. Para calcular la integral hacemos el cambio de variable x = z(s + 1)/2, sustituimos en (27) con dx = zds/2 y obtenemos b s + 1 φ(z) = πkσz a (s 2 ds + 1) 1/2 = πkσz [ s sinh 1 (s) ] b a (28) con a = 1, b = 2(h z/2)/2. Nota: Esta ecuación es válida sólo si z 0, para z = 0 el potencial se obtiene de la primer integral mientras que el potencial en z = h es φ(0) = 2 2πkσ h 2 = σh 2ε 0 (29) [ ] 1 φ(h) = πkσh s sinh 1 (s) 1 = σh (sinh 1 (1) sinh 1 ( 1)) (30) 4ε 0 9

10 si uno no se siente a gusto con la función sinh 1 (x), podemos re-expresarla en términos de un logaritmo, veamos cómo. Por definición sinh (x) = ex e x 2 = y (31) entonces x = sinh 1 (y) y lo único que hay que hacer es despejar x en (31), para ello multiplicamos la ecuación por e x y completamos el cuadrado e 2x 1 2ye x = (e x y) 2 1 y 2 = 0 (32) de donde obtenemos sinh 1 (y) = ln (y + ) 1 + y 2 (33) donde escogemos el signo positivo de la raíz para que la función sea de valor real. Entonces sustituyendo (33) en (30) y restando (29) obtenemos finalmente la diferencia de potencial [ φ(h) φ(0) = σh 1 2ε 0 2 ln = σh [ 1 2ε 0 2 ln = σh 2ε 0 [ ln ( ) ] ( ( ) ) ] ( ) 1 ]. (34) 10