Ayudantía 19 Ley de Ampere

Transcripción

1 Ponticia Universidad Católica de Chile Facultad de Física Electricidad y Magnetismo: Fis ; Fiz Ayudantía 19 Ley de Ampere Profesor: Ricardo Ramirezrramirez@puc.cl) Ayudante: Daniel Narrias dinarria@uc.cl) Miércoles 5 de Noviembre del 28 Problema 1 Un cable de radio R lleva una densidad de corriente J = J. El cable tiene un hoyo cilíndrico de radio r paralelo al eje del cilindro a distancia b de él. Muestre que el campo magnético dentro de la cavidad es uniforme. Solución: Encontremos primeramente el campo magnético en el interior de un cilindro con densidad de corriente J = J paralelo a su eje de simetría). Por la simetría de la densidad de corriente y del cilindro, tenemos que el campo magnético debe tener simetría cilíndrica y B r) = Br)ˆθ. Consideremos un camino circular de radio r concéntrico al eje de simetría del cilindro. Así, usando ley de Ampere, tenemos B d r = µ i enc Br)ˆθ dsˆθ = µ S J ˆndS 2π Br) ds = µ 2π Br)2πr = µ J Br)2πr = µ J πr 2 r r J rdrdθ rdrdθ 1

2 = Br) = 1 2 µ J r = Br) = 1 2 µ J rˆθ Por tanto, el campo magnético dentro del cilindro es Br) = 1 2 µ J rˆθ. Ahora, para resolver nuestro problema, usaremos el principio de superposición. El campo magnético producido por el cilindro con una cavidad es equivalente al campo magnético producido por el cilindro completo con densidad J = J superpuesto con el campo producido por la cavidad cilíndrica con densidad J = J. La complicación de este problema es el hecho que el campo magnético fue calculado respecto el eje de simetría del cilindro, por lo que los vectores bases en particular, el vector θ) cambiarán para el campo de cada cilindro. Es importante contemplar esto y ser consistente para llegar al resultado deseado. Considerando esto, tenemos que el campo magnético del cilindro completo digamos, cilindro 1) y el campo magnético de la cavidad cilíndrica digamos, cilindro 2) dentro de la cavidad, están dados por B 1 = 1 2 µ J r 1 ˆθ1 B 2 = 1 2 µ J r 2 ˆθ2 Tenemos que r 1 = r 2 + b, donde r 1, r 2 son los vectores respecto el eje de 1 y 2, respectivamente. Además, por las relaciones de los vectores bases, tenemos que ˆθ i = ˆr i. Por tanto, el campo dentro de la cavidad es B = B 1 + B 2 = 1 2 µ J r 1 ˆθ µ J r 2 ˆθ2 = 1 2 µ J r 1 ˆθ1 r 2 ˆθ2 ) = 1 2 µ J r 1 ˆr 1 r 2 ˆr 2 ) = 1 2 µ J r 1 ˆr 1 r 2 ˆr 2 ) = 1 2 µ J r 1 r 2 ) = 1 2 µ J b por lo que claramente el campo magnético dentro de la cavidad es constante y depende del vector desplazamiento entre los ejes de los cilindros 1 y 2. 2

3 Note la semejanza de este problema con uno resuelto en ayudantías anteriores, especí- camente en la ayudantía de ley de Gauss, problema 4. Problema 2 Se tiene un conductor cilíndrico de radio R, innito, que lleva una corriente i, y un conductor plano, de ancho a, largo innito y corriente supercial i. Ambos son paralelos, y el plano y el eje del cilindro son coplanares. a) Encuentre el campo magnético B sobre el eje x, para x > a. b) Encuentre la fuerza de interacción por unidad de largo. Solución: Calcularemos el campo magnético de ambas conguración, y luego usaremos superposición para encontrar el campo total. Calculemos primeramente el campo producido por la huincha. Consideremos la huincha como una sucesión de alambres de corriente di. Ya que la corriente está uniformemente distribuida sobre la huincha, se debe cumplir la relación di = dx i a = di = i dx a Encontremos el campo magnético generado por un alambre con corriente di para todos los efectos, es lo mismo que considerar i). Consideremos un camino circular de radio r concéntrico al alambre. Así, por ley de Ampere, tenemos d B d r = µ i enc 2πrdBr) = µ di = d B = µ 2π = µ 2πa di r ˆθ i dx ˆθ r 3

4 Como queremos encontrar el campo magnético para x > a, el campo producido por cada alambre innitesimal debe tener sentido. Además, si x es el punto de observación en el eje x y x la coordenada del alambre, tenemos nalmente db 1 = µ i dx. 2πa x x Por tanto, usando superposición, el campo sobre el eje x para x > a producido por la huincha es a B 1 x) = µ i dx 2πa x x = µ a dx 2πa i x x = µ 2πa i lnx x ) a = µ ) x 2πa i ln Ahora calculemos el campo magnético generado por el cilindro. Debemos calcular el campo fuera y dentro del cilindro. Encontremos primeramente el campo fuera del cilindro. Consideremos un camino circular de radio r > R, concéntrico al eje del cilindro. Usando ley de Ampere, tenemos que B ext d r = µ i enc 2πrB ext r) = µ i = B ext r) = µ 2πr i Tenemos que r = x b, por lo que B ext r) = µ i 2π x b i El sentido lo determinaremos después por regiones. Ahora encontremos el campo dentro del cilindro. Consideremos un camino de radio r < R, para usar la ley de Ampere. En este caso, tenemos que Por tanto i enc i = πr2 r ) 2 πr = i 2 enc = i R 4

5 B in d r = µ i enc r 2 2πrB in r) = µ i R) = B in r) = µ i 2πR 2 r = µ i x b 2πR2 Ahora encontremos el campo magnético para x > a, distinguiendo en regiones. Recuerde que las lineas de campo del cilindro son cilindros concéntricos al cilindro con corriente, por lo que para x > b el campo magnético apuntará en y para a < x < b apuntará en. I) a < x < b R II) b R < x < b III) b < x < b + R IV) x > b + R B = B ext B 1 ) = B = B in B 1 ) = µ i 2πb x) i µ )) x 2πa i ln µ i 2πR b x) µ )) x 2 2πa i ln µ i B = B in B 1 ) = 2πR x b) + µ )) x 2 2πa i ln µ i B = B ext B 1 ) = 2πx b) i + µ )) x 2πa i ln Problema 3 Considere un solenoide recto, de largo innito, radio R, con N vueltas por unidad de longitud y con corriente i por vuelta. Encuentre el campo magnético en todo el espacio. Solución: Considere los tres caminos de la gura. Por la simetría del problema, tenemos que el campo no puede depender de z ni de θ y debe tener sentido, es decir, B r) = Br). Usemos ley de Ampere para el camino 1. Lo elegimos tal que el eje de simetría del 5

6 solenoide no pase por la mitad de los lados que corta y los otros dos lados sean paralelos a él. Por tanto, la distancia r desde el eje hacia los lados paralelos a él, son distintas. Además, no hay corriente encerrada por el camino. También, dado que B = Br), no contribuyen a la integral de línea los lados paralelos al eje. Con esto en mente, tenemos que µ i enc = B d r 2 = B d r + B d r = Br 1 ) dz + Br 2 ) dz = Br 1 ) dz Br 2 ) dz = Br 1 )l Br 2 )l = Br 1 ) = Br 2 ) Por tanto, el campo magnético es constante dentro del solenoide. Integrando sobre el camino 1 obtenemos un resultado totalmente similar, por lo que también concluímos que el campo magnético es constante en el exterior esto se deja al lector, es totalmente análogo a lo hecho antes). Ahora apliquemos la ley de Ampere con el camino 3. Tenemos que 6

7 µ i enc = B d r 2 µ Nli = B in d r + B ext d r µ Nli = B in dz + B ext dz µ Nli = B in dz B ext dz µ Nli = B in l B ext l = B in B ext = µ Ni Ahora, tenemos que en el innito el campo magnético se anula, es decir, B ext cuando r. Y dado que, el campo es constante en el exterior, tenemos que B ext =. Por tanto, el campo dentro del solenoide es B in = µ Ni Por tanto, resumiendo, tenemos que el campo magnético generado por el solenoide es { µ Ni r < R Br) = r > R 7