Ayudantía 11. Conductores, Ecuación de Poisson y Condensadores 12 de Abril de 2018 Ayudante: Matías Henríquez -

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1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física FIS Electricidad y Magnetismo // Profesor: Giuseppe De Nittis - gidenittis@uc.cl Ayudantía Fórmulas y constantes 1.1. Conductores Conductores, Ecuación de Poisson y Condensadores 12 de Abril de 2018 Ayudante: Matías Henríuez - mjhenriuez@uc.cl En los conductores, las cargas se distribuyen en la superficie del conductor. Esto es debido a ue los materiales conductores poseen cargas electrones) ue son libres de moverse en el conductor, por lo tanto estos responderán a campos eléctricos infinitesimales. Por ende, para lograr una condición de euilibrio, es necesario ue el campo eléctrico dentro del conductor sea nulo, lo ue implica ue el potencial electroestático es constante en un conductor. Esto es: φx) = 0 1.1) 1.2. Ecuación de Poisson 1.3. Ecuación de Laplace Esta es para espacios libre de cargas: 2 φx) = ρx) ɛ 0 1.2) 2 φx) = 0 1.3) 1.4. Capacitancia La capacitancia de un capacitor corresponde a la medida de almacenar carga entre dos placas conductoras cuando están a una diferencia de potencial V. Esto es: C = Q V 1.4) 1

2 2. Problemas Problema 1: Conductores Esféricos Una esfera de metal de radio R y carga está rodeada por un cascarón esférico metálico de radio interior a y radio exterior b. El cascarón no tiene carga neta. a) Encuentre la densidad superficial de carga en cada superficie. Dado ue la esfera de radio R es conductora, toda la carga se distribuye en su superficie. Por lo tanto la densidad superficial de esta superficie es: σ R = 4πR 2 Luego, el cascarón esférico también es conductor, lo ue implica ue el campo eléctrico para todo r tal ue a < r < b es nulo. Esto implica ue, por ley de gauss, la carga encerrada por una superficie esférica gaussiana de radio a < r < b es 0. Sea Q a = σ a 4πa 2 la carga inducida en el manto esférico interior del cascarón, entonces: + Q a = 0 σ a = 4πa 2 Finalmente, como el cascarón esférico es eléctricamente neutro, entonces la suma total de las cargas inducidas en ambas superficies es 0. Sea Q b = σ b 4πb 2 la carga inducida en el manto esférico exterior del cascarón, entonces: Q a + Q b = 0 σ b = 4πb 2 b) Encuentre el potencial en el centro utilizando infinito como punto de referencia. Se distinguen 4 regiones. Notemos ue para las regiones r < R y a < r < b el campo eléctrico es nulo ya ue estas regiones corresponden al interior de los conductores. Luego tenemos campo eléctrico para R < r < a y b < r. Utilizando Ley de Gauss, estos campos están dados por: 2

3 Er) = Er) = 4πɛ 0 r 2 ˆr, 4πɛ 0 r 2 ˆr, R < r < a b < r Por lo tanto el potencial eléctrico en el origen es: ˆb φ0) = E dr ˆa E dr ˆR E dr ˆ0 E dr b } {{ } =0 a R } {{ } =0 esas dos integrales son cero ya ue el potencial en las superficies de un conductor es el mismo las superficies de los conductores son euipotenciales). Luego: ˆb φ0) = E dr ˆR E dr = 4πɛ 0 a 1 b + 1 R 1 ) a c) Si la esfera exterior se conecta a tierra bajando su potencial a 0 igual ue en infinito), Cómo cambian las respuestas anteriores? Notemos ue σ a no cambia, ya ue el campo eléctrico dentro del conductor es nulo, por ende no hay carga encerrada para superficies gaussianas esféricas con a < r < b. Dado ue el potencial es nulo en la superficie exterior r = b, entonces: ˆb φb) = Er) dr = 0 esto implica ue el campo eléctrico Er) para r > b es 0, por lo tanto la carga encerrada es nula. Esto se traduce en ue se induce una carga en el cascarón esférico conductor. Luego: 3

4 Q }{{} a +Q b = = Q b = 0 σ b = 0 Problema 2: Cilindros concéntricos - Ecuación de Poisson Dos cilindros muy largos y concéntricos, de radios a y b, con b > a, se encuentran inicialmente descargados. La región entre ambos se llena con una densidad homogénea de carga ρ, y luego cada uno de los cilindros se conectan a tierra. Encuentre el potencial y campo eléctrico en la región interior resolviendo al ecuación de Poisson. También encuentre las densidades superficiales de carga del conductor. Se utilizarán coordenadas cilíndricas. Dada la simetría del problema, es evidente ue el potencial no depende de θ, por lo ue: φ θ = 0 Dado ue los cilindros son muy largos en comparación con b a > 0), entonces podemos concluir ue el potencial debe ser simétrico con respecto a z y podemos despreciar efectos de borde nunca llegaremos a las tapas de los cilindros). Por lo tanto podemos decir ue el potencial depende solamente de la variable radial r, φ = φr). El laplaciano en coordenadas cilíndricas está dado por: Ahora utilizamos la ecuación de Poisson: 1 r r 2 φr) = 1 r r φ ) r r r φ ) = ρ r φ ) = ρr r ɛ 0 r r ɛ 0 r φ r = ρr2 2ɛ 0 + C φ r = ρr 2ɛ 0 + C r φr) = ρr2 4ɛ 0 + C lnr) + K Esta es la solución general de la ecuación de Poisson para un potencial de simetría cilíndrica, dependencia radial y densidad constante. Ahora para encontrar las constantes K y C debemos aplicar las condiciones de borde. Esto es φa) = φb) = 0 ya ue los cilindros están conectados a tierra). Por lo tanto: 4

5 φa) = ρa2 4ɛ 0 + C lna) + K = 0 φb) = ρb2 4ɛ 0 + C lnb) + K = 0 restando ambas ecuaciones y despejando C se obtiene: C = a2 b 2 )ρ 4ɛ 0 lna/b) Reemplazando este valor en las ecuaciones anteriores, se despeja K obteniendo: K = ρ b2 lna) a 2 lnb) 4ɛ 0 lna/b) Ahora para obtener el campo eléctrico simplemente obtenemos el antigradiente en coordenadas cilíndricas: Er) = φr) = φr) r ˆr ) ρr = ρ b2 lna) a 2 lnb) 1 ˆr 2ɛ 0 4ɛ 0 lna/b) r La densidad de carga de superficie de un conductor se relaciona con el campo eléctrico según: E = σ ɛ 0 Luego la densidad superficial del cilindro interior está dada por: ) ρa σ a = ɛ 0 Ea) = ɛ 0 ρ b2 lna) a 2 lnb) 1 2ɛ 0 4ɛ 0 lna/b) a y para el cilindro exterior: ) ρb σ b = ɛ 0 Eb) = ɛ 0 ρ b2 lna) a 2 lnb) 1 2ɛ 0 4ɛ 0 lna/b) b 5

6 Problema 3: Conos conductores concéntricos Considere dos conos conductores concéntricos, tal como muestra la siguiente figura, cuyas ecuaciones en coordenadas esféricas son ϕ 1 = π/6 y ϕ 2 = π/4. Los conos son de extensión infinita y en r = 0 están separados por una distancia infinitesimal. Si el cono interior está a un potencial de 0V y el cono exterior se encuentra a un potencial de 50V, determinar el potencial y el campo eléctrico en la región interior a ambos conductores. ' 1 ' 2 Sea V la región delimitada por ϕ 1 < ϕ < ϕ 2 en coordenadas esféricas). Dado ue no carga libre en V, se cumple la ecuación de laplace, es decir: 2 φr, θ, ϕ) = 0 el laplaciano en coordenadas esféricas está dado por: 2 φr, θ, ϕ) = 1 r 2 φ ) 1 2 φ + r 2 r r r 2 sin 2 ϕ θ r 2 sin ϕ ϕ sin ϕ φ ) ϕ Dada la simetría azimutal del problema, el potencial no depende del ángulo polar θ y tampoco de la variable radial r ya ue la extensión de los conos es infinita, por ende el potencial es solamente función del ángulo azimutal ϕ. Entonces: 2 φϕ) = 1 sin ϕ φ ) = 0 r 2 sin ϕ ϕ ϕ sin ϕ φ ) = 0 ϕ ϕ sin ϕ φ ϕ = C 1 φ ϕ = C ˆ 1 sin ϕ φϕ) = C dϕ 1 sin ϕ + C 2 = C 1 ln tan ϕ ) + C 2 2 6

7 A continuación se imponen las condiciones de borde de las superficies conductoras: φπ/6) = C 1 tan π ) + C 2 = 0 12 φπ/4) = C 1 tan π ) + C 2 = 50 8 resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: C 1 = C 2 = el campo eléctrico viene dado por el antigradiente del potencial: Er, θ, ϕ) = φr, θ, ϕ) = 1 r = 1 r C 1 2 sin ϕ ˆϕ φ ϕ ˆϕ Problema 4: Cálculo de capacitancia Considere un cilindro sólido de radio a rodeado por una cáscara cilíndrica de radio interior b. La longitud de ambos cilindros es L tal ue permite despreciar los efectos de borde, es decir L >> b a. El condensador se carga de forma ue el cilindro interior posea carga Q y el exterior carga Q. Cuál es su capacidad? Primero se encontrará el campo eléctrico en la región a < r < b vacío). Para ello se utiliza Ley de Gauss tomando como superficie gaussiana un cilindro del mismo largo L y radio r con a < r < b. Entonces: manto E ds = Q enc ɛ 0 E 2πrL = Q ɛ 0 Er) = Q 1 2πɛ 0 L r ˆr Luego la diferencia de potencial entre a y b está dada por: 7

8 ˆa V ab = V a V b = Finalmente la capacitancia de la configuración es: = b ˆa E dr = ) Q b 2πɛ 0 L ln a b Q dr 2πɛ 0 L r C = Q V ab = 2πɛ 0L lnb/a) vemos ue esta depende netamente de las características geométricas y espaciales de las placas. 8