Departamento de Física Aplicada III

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1 Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla Examen de Campos electromagnéticos. 2 o Curso de Ingeniería Industrial. 8 de septiembre de 2009 PROBLEMA 1 Un condensador plano está contituido por dos placas metálicas de superficie S separadas una distancia 2d. Las placas están aisladas y poseen una carga libre Q y Q respectivamente. El condensador está parcialmente relleno con una lámina de dieléctrico de espesor d (ver figura) cuya permitividad relativa crece en la direción perpendicular a las placas según la ecuación: ε r = Ke z d Donde K es una constante adimensional. Se pide calcular: a) Campo eléctrico en todos los puntos de la región entre las placas. (0.6 ptos) b) Densidades de carga de polarización y carga de polarización en volumen y en superficie. (0.8 ptos) c) Capacidad del condensador plano. (0.6 ptos) d) Trabajo que es preciso realizar para extraer la lámina dieléctrica del interior del condensador suponiendo que las placas se mantienen aisladas durante todo el proceso. (0.5 ptos) Apartado a) SOLUCIÓN: La aproximación de condensador plano consiste en despreciar los efectos de borde y suponer que solamente existe campo eléctrico entre las placas y que, además, éste es puramente perpendicular a dichas placas. Bajo estas condiciones puede utilizarse la Ley de Gauss para hallar el vector desplazamiento entre las placas conductoras. En efecto, desde el punto de vista de D y para una situación con alta simetría como la que nos encontramos aquí, el dieléctrico puede ignorarse. Así aplicando la Ley de Gauss tomando como superficie gaussiana un cilindro con su eje paralelo al eje z y una de sus caras en la región entre placas (S G en la figura adjunta) se obtiene: D = ρ (f) s u z = Q S u z. (1)

2 En un dieléctrico lineal el vector desplazamiento se relaciona con el campo eléctrico según la ecuación: D = εe. En el vacío tenemos que D = ε0e y, por tanto, el campo eléctrico será diferente en la región ocupada por la lámina de dielétrico y en la región de vacío: E = D ε r(z)ε 0 = Q KSε 0 e z d u z para 0 < z < d D ε 0 = Q Sε 0 u z para d < z < 2d Es importante resaltar que para resolver este apartado no es posible aplicar la Ley de Gauss directamente sobre el vector E, ya que la carga que aparece en la ecuación en ese caso se refiere a la carga total. Es decir, incluye la carga de polarización, que es una incógnita del problema. Apartado b) Las densidades de carga de polarización se expresan en función del vector polarización. Este vector puede obtenerse de una forma muy sencilla en función del campo eléctrico: P = (ε ε 0 ) E. Es decir, el interior de la lámina de dieléctrico es la única región en la que el vector P es no nulo. Usando (2) tenemos que P dentro del dieléctrico es: (2) P = Ke z d 1 Q Ke z d S u z. (3) Las densidad superficial de cargas de polarización en cualquier punto de la superficie de la lámina dieléctrica es por definición ρ s (P ) = P ˆn, donde recordemos que ˆn es un vector unitario perpendicular a la superficie en ese punto y que apunta hacia fuera del dieléctrico. Esto quiere decir que solamente habrá densidad de carga de polarización en la superficie que corresponde a z = 0 (donde ˆn = u z ) y en la que corresponde a z = d (donde ˆn = u z ). Así, obtenemos: s (z = 0) = P (z = 0) ( u z ) = K 1 Q K S, (4) ρ (P ) s (z = d) = P (z = d) ( u z ) = Ke 1 Q Ke S. (5) ρ (P ) Respecto a la densidad de carga de polarización en volumen tenemos que ρ (P ) = P en cualquier punto del interior del dieléctrico. Vemos en (3) que el vector P solamente depende de z y por tanto esta divergencia puede calcularse con facilidad: ρ (P ) v = dp z dz = Q SKd e z d. (6) La carga total que se distribuye en la superficie, Q (P s ), puede obtenerse fácilmente integrando las densidades superficiales (4,5) en ambas caras del dieléctrico: Q (P s ) = ρ s (P ) (z = 0)dS + ρ s (P ) (z = d)ds = z=0 z=d ( Ke 1 Q Ke S K 1 K ) Q S = e 1 S Ke Q (7) Para hallar la carga total de polarización en volumen, Q (P v ), lo más cómodo es utilizar el hecho de que la carga neta de polarización debe ser nula: Q (P ) s + Q (P ) v = 0 Q (P ) v = Q (P ) s = 1 e Ke Q (8)

3 Alternativamente, es posible integrar la densidad volumétrica de carga de polarización (6) en el volumen de la lámina de dieléctrico: Q v (P ) = ρ v (P ) dτ = Q d Kd 0 e z 1 e d dz = Q. (9) Ke Apartado c) El hecho de que el dieléctrico no sea homogéneo hace imposible calcular la capacidad como la capacidad equivalente de dos condensadores en serie, ya que esa equivalencia se demuestra solamente para dieléctricos lineales, isótropos y homogeneos. Entonces, para hallar la capacidad del condensador imponemos la condición de que la circulación del campo eléctrico entre las placas del condensador debe ser igual a la diferencia de potencial entre las placas, a la que llamaremos V : V (z = 0) V (z = 2d) = V = z=2d z=0 E d r = 2d 0 E z dz (10) Teniendo en cuenta que la expresión del campo en cada medio es diferente (2), tenemos: De donde: V = d 0 Q 2d e z Q d dz + dz = Qd [ ( ) ] + 1. (11) KSε 0 d Sε 0 Sε 0 K e C = Q V = ε S 2Ke 0 2d e(k + 1) 1. (12) Apartado d) Para calcular el trabajo mecánico realizado al efectuar un cambio en un sistema de conductores en equilibrio electrostático podemos plantear el teorema de la eneregía cinética: T = W e + W m + W g = 0. (13) Donde W m es el trabajo mecánico realizado y W e es el trabajo realizado por las fuerzas eléctricas, que cumple W e = U e, siendo U e la energía electrostática del sistema. Por su parte W g es el trabajo realizado por el generador, que para un sistema aislado como éste es nulo. Entonces tenemos W m = W e = U e. Esto es, puede calcularse el trabajo realizado a partir de la variación de la energía electrostática cuando se extrae la lámina de dieléctrico. Como sabemos, la energía electrostática de un condensador de capacidad C cargado con carga Q es U e = Q 2 /2C. Entonces, si llamamos C 0 a la capacidad del condensador cuando está vacio (C 0 = ε 0 S/2d) podemos escribir: W m = Q2 Q2 2C 0 2C = Q2 e(k 1) + 1. (14) 2C 0 2Ke Y obtenemos que el trabajo necesario para extraer la lámina es positivo 1. Esto indica que para sacar la lámina es preciso ejercer una fuerza en contra de las fuerzas eléctricas que tienden a introducirla entre las placas del condensador. 1 Téngase en cuenta que para que la permitividad tenga sentido físico debe ser K > 1

4 Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla Examen de Campos Electromagnéticos. 2 o de Industriales. Septiembre-2009 Problema 2.- (2.5 ptos.) Sobre una lámina muy extensa (idealmente infinita) y de grosor despreciable, que se muestra etiquetada como 1 en la figura, hay definida una corriente superficial uniforme, j S = j S0 u z.también se muestra otra lámina, etiquetada como 2, paralela a la primera, a una distancia d y recorrida por una corriente de igual densidad superficial, pero de sentido opuesto. (a) Suponiendo primero que sólo existe la lámina 1, aplíquense argumentos de simetría para demostrar que el campo magnético en cada punto del espacio se puede expresar como B = B(y) u x, donde B(y) es una función escalar que verifica la condición B( y) = B(y). Como ayuda, resulta útil considerar la lámina de corriente como un conjunto de hilos paralelos. (0.7 ptos.) (b) Aplíquese la ley de Ampère y el resultado del apartado (a) para obtener el campo magnético creado por la lámina 1 en cada punto del espacio. (0.7 ptos.) (c) Conocido el campo anterior, obténgase el campo magnético producido conjuntamente por las dos láminas en cada punto del espacio. (0.6 ptos.) (d) Verifíquese que se cumplen las condiciones de salto del campo magnético sobre las dos láminas de corriente. (0.5 ptos.) 1 2 d j S0 -j S0 z x y SOLUCIÓN Apartado (a) Tal como dice el enunciado, primero consideraremos exclusivamente la lámina 1. En general, el campo magnético creado por una distribución arbitraria de corrientes, expresado en cartesianas, posee las tres componentes y cada una de ellas depende de las tres coordenadas: B = B x (x, y, z) u x + B y (x, y, z) u y + B z (x, y, z) u z. Sin embargo, si tenemos en cuenta que la lámina 1 se supone infinitamente extensa tanto en la dirección x como en la z, podemos admitir que el campo resultante no depende de esas coordenadas, puesto que una

5 traslación en cualquiera de esas direcciones deja invariante la distribución de corrientes. Por tanto, en principio, B = B x (y) u x + B y (y) u y + B z (y) u z. Otra simplificación surge de considerar la distribución superficial de corrientes como un conjunto de hilos, tal y como muestra la siguiente figura. db P db y M M x P En esta figura la lámina de corriente se presenta vista desde arriba y los círculos representan la descomposición de la distribución superficial en una sucesión de hilos adyacentes, por los que pasa una intensidad di. El punto P, donde se evalúa el campo, es arbitrario. Hemos trazado una línea que pasa por P y es perpendicular a la lámina, que divide la distribución en dos partes simétricas (puesto que la distribución se supone infinita). Dibujamos el campo d B que produce un hilo individual de la parte derecha, situado en M, y a la vez el campo d B producido por el hilo colocado en M, simétricamente a la izquierda de la línea divisoria. Recordando las características del campo producido por hilos rectilíneos, podemos ver que los campos d B y d B son perpendiculares a las líneas MP y M P respectivamente, de igual módulo y contenidos en el plano del papel. Los ángulos marcados son todos iguales y se deduce que la suma de los campos d B y d B dan una resultante paralela a la lámina de corriente. Esta composición se puede aplicar a cualquier par de hilos simétricamente dispuestos. Todo hilo de la derecha tiene su pareja en la izquierda. En consecuencia el campo total que resulta de la superposición de todos los hilos sólo tiene componente B x y podemos escribir B = B(y) u x. Además, si en lugar del punto P consideramos el P, colocado simétricamente respecto de la lámina de corriente, la composición de campos es la que se muestra también en la figura, y sólo se diferencia en el signo de la componente no nula, es decir, B( y) = B(y). Apartado (b) La ley de Ampère nos dice que la circulación del campo magnético a lo largo de cualquier línea cerrada γ es igual a μ 0 veces la intensidad neta que atraviesa cualquier superficie S queseapoyeenγ. Matemáticamente se expresa B d r = μ 0 I(S). γ El sentido de circulación de γ y el sentido en que se orienta la superficie S están relacionados por la regla de la mano derecha. Esta ley permite obtener el campo magnético en nuestro caso, puesto que en el apartado (a) hemos podido simplificar su expresión a partir de la simetría del sistema. La elección de la línea γ se muestra en la siguiente figura.

6 By ( ) y x L B(- y) Se trata de un rectángulo con lados paralelos a los ejes OX y OY, colocado simétricamente respecto de la lámina de corriente. Los lados paralelos a la lámina tienen longitud arbitrariamente elegida como L, y los perpendiculares miden 2y. Evidentemente, la intensidad neta que atraviesa la superficie rectangular apoyada en nuestra línea es I(S) =j S0 L (corespondiente a la parte sombreada). Por otro lado, la circulación del campo magnético se restringe alacirculación a lo largo de los lados paralelos a la lámina, puesto que los lados perpendiculares a ella lo son también al campo, que sólo tiene componente según u x. En resumen, B d r = B(y)L + B( y)l = 2B(y)L, γ donde en el primer paso hemos usado que el campo toma el mismo valor a lo largo de cada tramo y en el segundo paso hemos usado la simetría B( y) = B(y). Es importante entender que los signos de los dos términos se corresponden con una circulación antihoraria, que es la compatible según la regla de la mano derecha con una superficie orientada hacia nosotros, es decir, en el sentido de las corrientes. Sustituyendo todo en la ley, se deduce que B(y) = 1 2 μ 0j S0 para y>0, y por tanto en todo el espacio se tiene B 1 = { μ0 j S0 u x /2 y>0 μ 0 j S0 u x /2 y<0 donde hemos indicado explícitamente que el campo es el producido por la lámina 1. Apartado (c) Si consideramos ahora las dos láminas, de corrientes opuestas, el campo total en cada punto será, según el principio de superposición, la combinación de los campos producidos por cada lámina por separado. Es evidente que la segunda lámina produciráun campo descrito por la expresión B 2 = { μ0 j S0 u x /2 y>d μ 0 j S0 u x /2 y<d, puesto que la corriente cambia de signo y la lámina está situada en y = d. Debemos distinguir tres regiones: y<0, 0 <y<de y>d, es decir, dos zonas exteriores y una entre ambas láminas. En las dos regiones exteriores los aportes se cancelan, mientras que en la zona entre láminas van en el mismo sentido. El resultado es { B = B 1 + B 0 y>d ó y<0 2 =. μ 0 j S0 u x 0 <y<d Apartado (d) Las condiciones de salto que [ debe ] cumplir el campo magnético son: (i) componente normal: n B =0,y [ ] (ii) componentes tangenciales n B = μ 0 j S.

7 En la lámina 1 tomaremos n = u y.comob es nulo a la izquierda y dirigido según u x a la derecha, se cumple trivialmente la condición (i). Por otra parte tenemos [ ] n B = u y ( j S0 u x 0) = μ 0 j S0 u z = μ 0 j S, con lo cual se verifica la condición (ii). El mismo argumento sirve para verificar la condición (i) en la lámina 2. Para la condición (ii) escribimos (tomando nuevamente n = u y ), [ n B] = u y (0 ( j S0 u x )) = μ 0 j S0 u z = μ 0 j S, puesto que la corriente ahora va en el sentido opuesto.