Los potenciales electromagnéticos. Tema 8 Electromagnetismo

Transcripción

1 Los potenciales electromagnéticos Tema 8 Electromagnetismo

2 Los potenciales electromagnéticos Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste. Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas. Campos de radiación. Radiación de sistemas sencillos: el dipolo eléctrico y el dipolo magnético.

3 Campos estáticos Cargas en reposo ~ ~E = ρ ε 0 Corrientes estacionarias ~ ~B = µ 0 ~J Potenciales ~E(~r) = 1 4πε 0 ~B(~r) = µ 0 4π Z Z Z V ρ(~r 0 )(~r ~r 0 ) ~r ~r 0 3 d 3 ~r 0 Z ~J(~r 0 ) (~r ~r 0 )d 3 ~r 0 ~r ~r 0 3 ~E = ~ V ~B = ~ ~A

4 Campos variables en t Ecuaciones de Maxwell en el vacío ~ ~E = ρ ε 0 ~ ~E = ~ B t De la ley de Faraday ~ ~ E = t ~ ~ A ~ ~B = µ 0 ~J + µ 0 ε 0 ~E t ~ ~E = ~ V ~A t ~ ~B =0 Ã ~E + A ~! t =0

5 Los campos y las fuentes De las ecuaciones de Maxwell que contienen las fuentes podríamos hallar los campos directamente a partir de las fuentes. Esto es complicado ~ ~E = ρ ~ ~ E B µ0 ε ~ 0 ε 0 t = µ 0 J ~ Se trata entonces de hallar unas ecuaciones que nos permitan la obtención de los potenciales a partir de las fuentes

6 Los potenciales y las fuentes Sustituyendo en las ecuaciones 1 y 4 Ã 2 V + t (~ ~A) = ρ! ε 0 2 A ~ 1 2 ~ µ A c 2 t 2 ~ ~ ~A + 1 V c 2 t Obtenemos 4 ecuaciones diferenciales acopladas que nos permiten determinar los potenciales a partir de las fuentes = µ 0 ~ J

7 Transformaciones de contraste Son aquellas transformaciones sobre los potenciales que dejan invariantes los campos Sabemos que el rotacional del gradiente es cero, luego si en vez del potencial ~A utilizamos ~A 0 = A ~ + Λ ~ obtendremos el mismo campo magnético. Pero queremos obtener también el mismo campo eléctrico, luego la función Λ(~r, t) ha de imponer alguna condición adicional sobre el potencial escalar: ~E = ~ V 0 ~ A 0 t = ~ V 0 t ( ~ A + ~ Λ) = ~ µ V 0 + Λ + A ~ t t ~A 0 = ~ A + ~ Λ V 0 = V Λ t

8 Transformaciones de contraste Se trata de aplicar la incertidumbre en los potenciales para simplificar las ecuaciones de los potenciales: 2 V + t (~ ~A) = ρ Ã! ε 0 2 A ~ 1 2 ~ µ A c 2 t 2 ~ ~ ~A + 1 V c 2 t ~ ~A =0 Podemos escoger? ~ ~A = 1 c 2 V t = µ 0 ~ J

9 Contraste de Coulomb Sea un potencial vector con divergencia no nula, ~ ~A = F (~r, t) Sea la función Poisson Λ El nuevo potencial solución de la ecuación de ~A 0 = ~ A + ~ Λ cumplirá 2 Λ = F ~ ~A 0 = ~ ~A + 2 Λ = F F =0

10 Contraste de Coulomb Las ecuaciones se simplifican a 2 V = ρ ε 0 Ã 2 A ~ 1 2 A ~ c 2 t 2 La primera ecuación es la ecuación de Poisson, cuya solución es: V (~r, t) = 1 4πε 0 Z! ~ ρ(~r 0,t) ~r ~r 0 d3 ~r 0 µ 1 c 2 V t = µ 0 ~ J Problema de la simultaneidad!

11 Contraste de Coulomb Reescribamos la ecuación 2 como 2 A ~ 1 2 A ~ c 2 t 2 = µ 0 ~ J + 1 c 2 ~ µ V t Escribamos la corriente en dos componentes, ~J = J ~ t + J ~ l ~ ~J ~ ~ t =0 Jl =0 Hallando la derivada temporal de la ecuación de Poisson, t 2 V = 1 ε 0 ρ t = 1 ε 0 ~ ~J l 2 ~A 1 c 2 2 ~A t 2 = µ 0 ~ J + µ 0 ~J l = µ 0 ~J t

12 Contraste de Lorentz Supongamos que ~ ~A + 1 V c 2 t = F (~r, t) Veamos qué función Λ necesitamos para que dicha suma sea cero. Tomando ~A 0 = A ~ + Λ ~ V 0 = V Λ t obtenemos ~ ~ A c 2 V 0 t = ~ A ~ 1 V + c 2 t + 2 Λ 1 2 Λ c 2 t 2 2 Λ 1 c 2 2 Λ t 2 = F

13 Contraste de Lorentz Tomando por tanto ~ ~A + 1 c 2 V t =0 Se obtienen 4 ecuaciones de onda desacopladas para los potenciales 2 ~ A 1 c 2 2 ~ A t 2 = µ 0 ~ J 2 V 1 c 2 2 V t 2 = ρ ε 0

14 Potenciales retardados En el caso estático las ecuaciones en el contraste de Lorentz se reducen a ecuaciones de Poisson, cuya solución ya conocemos: V (~r) = 1 4πε 0 Z ρ(~r 0 ) R d3 ~r 0 ~A(~r) = µ 0 4π Z ~J(~r 0 ) R d3 ~r 0 con R = R ~ = ~r ~r 0 Cuando los tiempos varían con el tiempo, la generalización natural es tomar:a V (~r, t) = 1 4πε 0 Z ρ(~r 0,t 0 ) R d3 ~r 0 ~A(~r, t) = µ 0 4π t 0 = t R c tiempo retardado Z ~ J(~r 0,t 0 ) R d3 ~r 0

15 Potenciales retardados Si son soluciones deben de cumplir la ecuación de ondas inhomogenea. El gradiente del potencial es ~ V = 1 4πε 0 Z 1 R ~ ρ + ρ ~ 1 R La densidad depende de la posición a través del tiempo retardado luego el gradiente del potencial es d 3 ~r 0 ~ ρ = ρ t ~ 0 = 1 c ρ~ R = 1 c ρ R ~ R ~ V = 1 4πε 0 Z " ρ c ~R R 2 ρ R ~ # R 3 d 3 ~r 0

16 Potenciales retardados La laplaciana es la divergencia del gradiente: 2 V = 1 4πε 0 Z ( 1 c " ~R R 2 ~ ρ + ρ ~ Ã ~R Nuevamente, hay que derivar a través del tiempo retardado: R 2!# " ~R R 3 ~ ρ + ρ ~ Ã ~R R 3!#) d 3 ~r 0 ~ ρ = 1 c ρ~ R = 1 c ρ ~ R R

17 Potenciales retardados La laplaciana del potencial es por tanto: 2 V = 1 Z 1 ρ 4πε 0 c 2 R 4πδ( R) ~ d 3 ~r 0 = 1 2 V c 2 t 2 1 ρ(~r, t) ε 0 luego las soluciones para los potenciales son, efectivamente V (~r, t) = 1 Z ρ(~r 0,t 0 Z ) 4πε 0 R d3 ~r 0 A(~r, ~ µ 0 ~J(~r 0,t 0 ) t) = 4π R d3 ~r 0 Se denominan potenciales retardados ya que se calculan en el tiempo retardado t 0 = t R/c

18 ½ 0, si t 0, Ejemplo: Un hilo infinito transporta una corriente I(t) = I 0 si t>0 Hallar los campos eléctrico y magnético. Elegimos el hilo sobre el eje z de forma que, por simetría, sólo hay componente z del potencial vector A(r, t) = µ Z + 0 I(z 0,t 0 ) 4π pr 2 + z 0 2 dz0 cuando se establece la corriente, obviamente, se establece en todo el hilo. Un tiempo r/c posterior, el punto campo recibe esa información. Dado un tiempo t finito, el punto campo no tiene información de la existencia de corriente para un valor de z 0 > p c 2 t 2 r p 2 dado que la luz tarda en llegar al punto campo un tiempo t = r 2 + z 02 /c A(r, t) = µ 0I 0 4π 2 Z c 2 t 2 r 2 0 dz 0 p r 2 + z 0 2 ~A(r, t) = µ 0I 0 2π ln " ct + c 2 t 2 r 2 r # ~u z

19 El campo eléctrico es y el magnético, Cuando t tiende a infinito la corriente será estacionaria y recuperamos el resultado conocido, E=0 y ~E(r, t) = ~A t = µ 0 I 0 c 2π c 2 t 2 r ~u 2 z ~B(r, t) = ~ A ~ = A z r ~u φ = µ 0I 0 2πr ~B(r, t) = µ 0I 0 2πr ~u φ ct c2 t 2 r 2 ~u φ

20 El campo eléctrico De los potenciales retardados podemos derivar los campos V (~r, t) = 1 Z ρ(~r 0,t 0 ) 4πε 0 R d3 ~r 0 ~A(~r, t) = µ Z 0 J(~r ~ 0,t 0 ) 4π R d3 ~r 0 El gradiente del potencial escalar ya lo habíamos derivado ~ V = 1 Z " ρ ~R 4πε 0 c R 2 ρ ~ # R R 3 d 3 ~r 0 y la derivada temporal del potencial vector es inmediata, luego el campo eléctrico es ~E(~r, t) = 1 Z " ρ ~R 4πε 0 c R 2 + ρ R ~ # R 3 1 ~J(~r 0,t 0 ) c 2 d 3 ~r 0 R

21 El campo magnético El campo magnético es simplemente ~B(~r, t) = ~ ~ A(~r, t) = µ 0 4π J y x = J y t 0 t 0 x = J y x Z " ~ ~ J(~r 0,t 0 ) R + ~ µ 1 R t 1 p 2 (x x0 ) c 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) # J(~r ~ 0,t 0 ) d 3 ~r 0 = J y x x 0 cr ~ ~J R = ~J ~u R cr ~ R 1 R = ~ R 3 = ~u R R 2 ~ R 1 ~J = ~ J ~u R R 2 ~B(~r, t) = µ 0 4π Z " ~ J(~r 0,t 0 ) R 2 + # ~J(~r 0,t 0 ) cr ~u R d 3 ~r 0

22 Ecuaciones de Jefimenko Campos cercanos, campos intermedios, campos lejanos ~E(~r, t) = 1 4πε 0 Z " ρ(~r 0,t 0 ) R 2 ~u R + ρ(~r0,t 0 ) cr ~u R # ~J(~r 0,t 0 ) c 2 d 3 ~r 0 R ~B(~r, t) = µ 0 4π Z " ~ J(~r 0,t 0 ) R 2 + # ~J(~r 0,t 0 ) cr ~u R d 3 ~r 0

23 Potenciales de una carga puntual En electrostática Para una carga puntual, ρ(~r 0 )=qδ(~r 0 ~r q ) V (~r) = 1 4πε 0 Si la carga se mueve, ρ(~r 0,t)=qδ(~r 0 ~r q (t)) Luego los potenciales son: Z ρ(~r 0 ) ~r ~r 0 d3 ~r 0 V (~r) = 1 4πε 0 q ~r ~r q ~J(~r 0,t)=ρ(~r 0,t)~v q (t) V (~r, t) = 1 4πε 0 q ~r ~r q (t) ~A(~r, t) = µ 0 4π q~v q (t) ~r ~r q (t)

24 Son correctos los potenciales? Estamos diciendo que para una descripción correcta hay que tener el cuenta la velocidad finita de la luz (i.e. el punto campo recibe información del cambio en el punto fuente con un cierto retraso). Luego nuestras soluciones no son correctas. Cuál es la forma correcta de proceder? Si la carga se desplaza, hemos de utilizar el radiovector que nos indica el desplazamiento de la carga calculado en el tiempo retardado ρ(~r 0,t 0 )=qδ(~r 0 ~r q (t 0 )) = qδ(~r 0 ~r q (t ~r ~r 0 /c))

25 Z Hagamos el cambio de variable: Si derivamos, El elemento de volumen La integral en la delta queda ~r 00 = ~r 0 ~r q (t 0 ) µ t dx 00 = dx 0 0 ẋ q x 0 dx0 + t0 y 0 dy0 + t0 z 0 dz0 dx 00 = dx 0 ẋq c δ(~r 00 ) ~r ~r 00 ~r q (t 0 ) µ x x 0 ~r ~r 0 dx0 + y y0 ~r ~r 0 dy0 + z z0 ~r ~r 0 dz0 d 3 ~r 00 = d 3 ~r 0 J (~r 00 ) d 3 ~r 00 J (~r 00 ) = 1 ~r ~r q (t 0 ) 1 J (0) = 1 ~r ~r q (t 0 ) 1 1 ~v ~u R /c

26 Potenciales de una carga El potencial escalar queda con Tomando V (~r, t) = ~R = ~r ~r q (t 0 ) q 4πε 0 R 1 1 ~v q ~u R /c ~J(~r 0,t 0 )=qρ(~r 0,t 0 )~v q (t 0 ) ~A(~r, t) = µ 0 4π q~v q (t 0 ) R 1 1 ~v q ~u R /c

27 Ejercicio: Hallar los potenciales electromagnéticos de una carga puntual en movimiento uniforme En el denominador de ambos potenciales aparece el factor siendo R (1 ~v q ~u R /c) =R ~v q ~R/c ~R = ~r ~r q (t 0 ) Si la velocidad del electrón es constante, ~r q (t 0 )=~v 0 t 0 = ~v 0 µ t ~r ~r q(t 0 ) c Desafortunadamente esto es una ecuación implícita de no fácil solución. Veamos cómo despejar t en función de t. De la definición de t Elevando al cuadrado, R = ~r ~v 0 t 0 = c(t t 0 ) r 2 2~r ~v 0 t 0 + v 2 0t 02 = c 2 (t 2 2tt 0 + r 02 )

28 Esto nos permite escribir el tiempo retardado en término de cantidades conocidas, como la velocidad de la partícula, el tiempo y el vector posición que determina el punto campo (c 2 v 2 0)t 0 2 2(c 2 t ~r ~v 0 )t 0 + c 2 t 2 r 2 =0 t 0 = t ~v 0 ~r/c 2 ± p (t ~v 0 ~r/c 2 ) 2 (1 v 2 0 /c2 )(t 2 r 2 /c 2 ) 1 v 2 0 /c2 Si la velocidad de la partícula es cero (o muy pequeña), tendremos t 0 = t ± p t 2 t 2 + r 2 /c 2 = t ± r c El signo menos se corresponde con el tiempo retardado con el más con el avanzado, luego el correcto es el menos. Dado que ~R = ~r ~v 0 t 0 y su módulo R = c(t t 0 ) ~u R = ~r ~v 0t 0 R R ~ ~v 0 c = c(t t0 ) (~r ~v 0t 0 )~v 0 c c(t t 0 ) = c t ~r ~v µ 0 t 0 1 v2 0 c 2 c 2

29 Sustituyendo el tiempo retardado, R ~R ~v 0 c = p (t ~v 0 ~r/c 2 ) 2 (t 2 r 2 /c 2 )/γ 2 q donde hemos utilizado la notación γ =1/ 1 v0 2/c2 La expresión final para los potenciales es V (~r, t) = 1 γq/c p 4πε 0 γ2 (t ~v 0 ~r/c 2 ) 2 (t 2 r 2 /c 2 ) ~A(~r, t) = µ 0 γq~v 0 /c p 4π γ2 (t ~v 0 ~r/c 2 ) 2 (t 2 r 2 /c 2 ) Podemos simplificar esta expresión suponiendo que el electrón se mueve en la dirección z (o a lo largo de cualquier eje coordenado) t 2 + x2 + y 2 + z 2 µ γ 2 t 2 2 v 0zt c 2 + v2 0z 2 c 4 µ γ 2 t 2 2 v 0zt c 2 + v2 0z 2 c 4 t 2 + t2 v0 2 c 2 + z 2 v2 0z 2 c 4 + x2 + y 2 µ γ 2 2 v 0zt c 2 + t2 v0 2 c 2 + z2 c 2 c 2 + x2 + y 2 c 2 c 2 = x2 + y 2 + γ 2 (z v 0 t) 2 c 2

30 La expresión simplificada para los potenciales es V (~r, t) = 1 4πε 0 γq p x 2 + y 2 + γ 2 (z v 0 t) 2 ~A(~r, t) = µ 0 4π γq~v 0 p x2 + y 2 + γ 2 (z v 0 t) 2 Es posible llegar a la misma expresión a partir una transformación relativista del cuadrivector potencial A µ =(V/c, A) ~ desde un cierto sistema S en el cual la carga q esté en reposo a otro sistema en el que la carga se desplaza con velocidad uniforme ~v 0 = v 0 ~u z. En el sistema S los potenciales serán el de una carga q en reposo: V 0 = 1 4πε 0 q r 0 ~ A 0 =0

31 Ejercicio: Determinar los campos eléctrico y magnético de una carga puntual en movimiento uniforme De las expresiones generales de los potenciales de una carga puntual: V (~r, t) = ~A(~r, t) = µ 0 4π q 4πε 0 R q~v q (t 0 ) R 1 1 ~v q ~u R /c 1 1 ~v q ~u R /c Los campos se determinan a partir de las relaciones ~E = ~ V ~A t = ~ V V t t0 t ~ 0 ~A t 0 0 t 0 t ~B = ~ A ~ = ~ A ~ + t ~ 0 A ~ t0

32 Realizando todas las derivadas de forma cuidadosa,* se obtiene la siguiente expresión para los campos: ~E(~r, t) = q 4πε 0 R 2 (~u R ~v/c)(1 v 2 /c 2 ) (1 ~u R ~v/c) 3 + q 4πε 0 R ~u R [(~u R ~v/c) ~a] (1 ~u R ~v/c) 3 ~B(~r, t) =~u R ~ E(~r, t)/c Para cargas no relativistas, los campos de radiación son ~E rad = q~u R (~u R ~a) 4πε 0 r De estos campos se obtiene la expresión para la potencia radiada deducida por Larmor en 1897 (lo veremos en el 2º parcial): P = 1 2q 2 a 2 4πε 0 3c 3 ~B rad = µ 0q~u R ~a 4πcr *Sección (pp. 294 a 298) del Vanderlinde. En el Jackson, cap. 14, se trata en forma covariante con un cálculo menos laborioso.

33 Radiación de un dipolo eléctrico Al tratar un sistema de cargas y corrientes localizadas que varían con el tiempo, podemos analizar sin pérdida de generalidad sus componentes de Fourier. Escribamos ρ(~r 0,t)=ρ ω (~r 0 )e iωt ~ J(~r 0,t)= ~ J ω (~r 0 )e iωt Sustituyendo en la expresión de los potenciales V ω (~r)e iωt = 1 4πε 0 Z ρω (~r 0 )e iω(t ~r ~r0 /c) d 3 ~r 0 ~r ~r 0 ~A ω (~r)e iωt = µ 0 4π Z ~Jω (~r 0 )e iω(t ~r ~r0 /c) d 3 ~r 0 ~r ~r 0

34 En general, estas integrales son intratables. El problema se divide en tres regiones de interes: En la zona cercana, k ~r ~r 0 1 (o ~r ~r 0 λ), e ik ~r ~r0 1. En la zona lejana (radiación), r À r 0 y r À λ, por lo que el denominador se toma independiente de la variable de integración En la zona intermedia, r, r y λ son todos del mismo orden. La radiación dipolar eléctrica es el término de radiación más sencillo, en la que el potencial vector vale ~A ω (~r) = µ 0 4π e ikr r A partir de la ecuación de continuidad podemos escribir esta integral en términos del momento dipolar. Teniendo en cuenta que Z ~J ω (~r 0 )d 3 ~r 0 ~ (x ~ J)=J x + x ~ ~J = J x + iωxρ ~ J = ~ (~r ~ J) iω~rρ el potencial vector es: ~A ω (~r) = iωµ 0 4π e ikr r ~p El potencial escalar puede obtenerse de forma trivial de la condición de Lorentz: V ω = ik e ikr 4πε 0 r ~u r ~p

35 Campos de un dipolo oscilante Si queremos mantener la dependencia en r (i.e. los términos de radiación) sólo podemos derivar la exponencial. Luego ~B = ~ ~ A = µ 0 4π El campo eléctrico lo podemos hallar a partir de los potenciales: ~ V = µ 0 eikr ω2 4π r (~u r ~p)~u r ω 2 c e ikr r ~u r ~p ~A t = iω ~A = µ 0 eikr ω2 4π r ~p ~E = µ 0 eikr ω2 4π r [(~u r ~p)~u r ~p] = µ 0 eikr ω2 4π r ~u r (~u r ~p) Podemos comprobar que se cumple ~E = c~u r ~ B

36 Si nuestro dipolo oscila en la dirección z, el campo magnético tiene componente φ y el campo eléctrico componente θ, conforme la figura: ~B = µ 0 4π ω 2 c e ikr r p 0 sin θ~u φ ~E = µ 0 eikr ω2 4π r p 0 sin θ~u θ ~E = c ~B ~u r La potencia media (segundo parcial) es proporcional al producto de los campos: dp media dω = p2 0ω 4 32π 2 ε 0 c 3 sin2 θ

37 La fuerza de Lorentz y el momento canónico La fuerza de Lorentz es d~p dt = q( ~E + ~v ~B) En función de los potenciales, d~p dt = q " ~ V A ~ # t + ~v ( ~ ~A)

38 De la relación vectorial ~ (~v ~A) =(~v ~ ) ~ A +( ~ A ~ )~v + ~ A ~ ~v + ~v ~ ~ A y dado que la velocidad no depende de la posición ~v ~ ~ A = ~ (~v ~A) (~v ~ ) ~ A La fuerza de Lorentz es, en función de los potenciales: d~p dt = q ~ V A t + ~ (~v ~A) (~v ~ ) ~A Reagrupando, d dt (~p + q ~ A)= ~ (qv q~v ~A) Luego ~P = ~p + q ~A es el momento canónico. Es la forma de introducir un campo electromagnético en Mecánica Cuántica