Transformada de Laplace Juan Manuel Rodríguez Prieto

Transcripción

1 Juan Manuel Rodríguez Prieto

2 L{ f (t)}(s) = e st f (t)dt

3 Ejemplo 1: Calcular la transformada de Laplace de f(t)=1 L{ f (t)}(s) = e st f (t)dt L{ 1}(s) = e st 1dt L{ 1}(s) = lim B B e st dt e st B L{ 1}(s) = lim B s L{ 1}(s) = 1 s L{ 1}(s) = e st dt L{ 1}(s) = lim B e s s e sb s

4 Ejemplo 2: Calcular la transformada de Laplace de f(t)=t L{ f (t)}(s) = e st f (t)dt L{ t}(s) = e st t dt Integración por partes e st t dt u = t du = dt dv = e st v = e st s e st t dt e st t dt L{ t}(s) = lim B = te st s = te st s + Be sb s e st e st s 2 s dt L{ t}(s) = 1 s 2 e sb s s 2

5 Ejemplo 3: Calcular la transformada de Laplace de e at L{ f (t)}(s) = e st f (t)dt L{ e at }(s) = e st e at dt L{ e at }(s) = e (a s)t dt L{ e at }(s) = lim B e (a s)b a s e(a s) a s L e at { }(s) = 1 s a

6 Ejemplo 4: Calcular la transformada de Laplace de f '(t) L{ f (t)}(s) = e st f (t)dt L{ f '(t)}(s) = e st f '(t)dt dv = f '(t) v = f (t) u = e st e st f '(t)dt du = se st Integral por partes e st f '(t)dt = f (t)e st + s e st f (t)dt

7 Ejemplo 4: Calcular la transformada de Laplace de f '(t) L{ f '(t)}(s) = e st f '(t)dt L e st f '(t)dt { f '(t)}(s) = f (t)e st = f (t)e st + s e st ( ) + s e st f (t)dt f (t)dt L { f '(t)}(s) = sl{ f (t)}(s) f () La transformada de Laplace de la deriva nos va a servir para resolver ecuaciones diferenciales L{ f '(t)}(s) = s e st f (t)dt f ()

8 Tablas de transformadas de Laplace

9 Tablas de transformadas de Laplace

10 transformadas de Laplace usando tablas, ejemplo 1 L{ t 3 1t 1}(s) =

11 transformadas de Laplace usando tablas, ejemplo 1 L{ t 3 1t 1}(s) = L{ t 3 }(s) L{ 1t}(s) L{ 1}(s) = 3 s s 2 1 s Linealidad de la transformada de Laplace

12 transformadas de Laplace usando tablas, ejemplo 2 L L { f (t)e at }(s) = F(s a) { f (t)}(s) = F(s) Propiedad del corrimiento de la transformada de Laplace Calculemos la transformada de Laplace de L{ te 2t }(s) Por tablas de las transformadas de Laplace sabemos que L{ t}(s) = 1 s 2 Usando la propiedad del corrimiento L{ te 2t }(s) = 1 (s 2) 2

13 transformadas de Laplace usando tablas, ejemplo 3 L L { f (t)e at }(s) = F(s a) { f (t)}(s) = F(s) Propiedad del corrimiento de la transformada de Laplace Calculemos la transformada de Laplace de L{ e 2t cos(3t) }(s) Por tablas de las transformadas de Laplace sabemos que L{ cos(3t) }(s) = s s = 2 Usando la propiedad del corrimiento L{ e 2t cos(3t) }(s) = s s s 2 (s 2) 2 + 9

14 transformadas de Laplace usando tablas, ejemplo 4 L L { f (t)e at }(s) = F(s a) { f (t)}(s) = F(s) Propiedad del corrimiento de la transformada de Laplace Calculemos la transformada de Laplace de L{ e 2t sin(3t) }(s)

15 transformadas de Laplace usando tablas, ejemplo 4 L L { f (t)e at }(s) = F(s a) { f (t)}(s) = F(s) Propiedad del corrimiento de la transformada de Laplace Calculemos la transformada de Laplace de L{ e 2t sin(3t) }(s) Por tablas de las transformadas de Laplace sabemos que L{ sin(3t) }(s) = 3 s = 3 2 s Usando la propiedad del corrimiento L{ e 2t cos(3t) }(s) = 3 (s 2) 2 + 9

16 Transformadas inversa de Laplace: Ejemplo 1 2s 2 3s + 5 L 1 s 3 = L 1 2 2s s 3 3s s s 3 2 = L 1 s 3 s s 3 2 = L 1 s 3 L 1 s L 1 s 3 1 = 2L 1 s 1 3L 1 s L 1 s 3 = 2 3t t 2

17 Transformadas inversa de Laplace: Ejemplo 2 L 1 3s 1 s = 3s L 1 s s s = L 1 s L 1 s s = 3L 1 s L 1 s = 3cos(2t) 1 2 sin(2t)

18 Transformadas inversa de Laplace: Ejemplo 2 L 1 5s (s + 4) 3 = 5(s + 4 4) L 1 (s + 4) 3 5(s + 4) 2 = L 1 (s + 4) 3 5s 2 = e 4t L 1 s 3 5 = e 4t L 1 s 2 1 2e 4t L 1 s 3 1 = 5e 4t t 2e 4t 2 t 2 Hemos usado la siguiente propiedad de la transformada L 1 { F(s a) } = e at L 1 { F(s) }

19 Transformadas inversa de Laplace: Ejemplo 3 2s 5 L 1 s 2 s + 6 = 2s 5 L 1 (s + 3)(s 2) A = L 1 (s + 3) + B L 1 (s 2) = L 1 (s + 3) L 1 (s 2) A (s + 3) + B As 2A + Bs + 3B = (s 2) (s + 3)(s 2) (A + B) = 2 2A + 3B = 5 = A = 11 5 B = 1 5 (A + B) + (3B 2A) (s + 3)(s 2) = 11 5 e 3t 1 5 e2t

20 Transformadas inversa de Laplace: Ejemplo 4 2s +1 L 1 s 2 4s +13 = 2s +1 L 1 (s 2) (s 2 + 2) +1 = L 1 (s 2) (s 2) + 5 = L 1 (s 2) s + 5 = e 2t L 1 s s = e 2t L 1 s L 1 s = e 2t 2cos(3t) sen(3t) Raíces complejas del denominador s 2 4s +13 = r 1 = 2 + 3i r 2 = 2 3i s 2 4s +13 = s 2 4s = (s 2) Hemos usado la siguiente propiedad de la transformada L 1 { F(s a) } = e at L 1 { F(s) }

21 Ecuaciones diferenciales y'+ 5y = 1+ t L{ y' }(s) + 5L{ y}(s) = L{ 1} + L{ t} L{ y' }(s) = sl{ y}(s) y() L{ 1} = 1 s L{ t} = 1 s 2 sl{ y}(s) y() + 5L{ y}(s) = 1 s + 1 s 2 (s + 5)L{ y}(s) = 1 s + 1 s + y() 2 y() = (s + 5)L{ y}(s) = 1 s + 1 s 2 L{ y}(s) = s +1 s 2 (s + 5) L{ y}(s) = A s + B s + C 2 (s + 5) = As2 + Cs 2 + 5As + Bs + 5B s 2 (s + 5) A + C = 5A + B = 1 5B = 1 A = 4 25 B = 1 5 y(t) = 4 25 e 5t + 5t C = 4 25

22 Ecuaciones diferenciales y'' 2y' 3y = 1 L{ y'' }(s) 2L{ y' }(s) 3L{ y}(s) = L{ 1} L{ y'' }(s) = s 2 L{ y}(s) sy() y'() L{ y' }(s) = sl{ y}(s) y() L{ 1} = 1 s y'() = s 2 L{ y}(s) sy() y'() 2sL{ y}(s) + 2y() 3L{ y}(s) = 1 s s 2 L{ y}(s) 2sL{ y}(s) 3L{ y}(s) = 1 s (s 2 2s 3)L { y}(s) = 1 s y() = L{ y}(s) = L{ y}(s) = 1 s(s 2 2s 3) 1 s(s 3)(s +1) L{ y}(s) = A s + B (s 3) + C A(s 3)(s 1) + Bs(s +1) + Cs(s 3) = (s +1) s(s 3)(s +1) L{ y}(s) = A(s2 2s 3) + B(s 2 + s) + C(s 2 3s) s(s 3)(s +1) L{ y}(s) = As2 + Bs + Cs 2 2As + Bs 3Cs 3A s(s 3)(s +1) L y { }(s) = (A + B + C)s2 + ( 2A + B 3C)s 3A s(s 3)(s +1)

23 Ecuaciones diferenciales y'' 2y' 3y = 1 y'() = y() = L{ y'' }(s) 2L{ y' }(s) 3L{ y}(s) = L{ 1} B + C = 1 3 B 3C = 2 3 C = 1 4 B = 1 12 L{ y}(s) = 1 s(s 2 2s 3) L{ y}(s) = (A + B + C)s2 + ( 2A + B 3C)s 3A s(s 3)(s +1) L{ y}(s) = 1 3s (s 3) + 1 4(s +1) y(t) = e3t e t A + B + C = 2A + B 3C = 3A = 1 B + C = 1 3 B 3C = 2 3 A = 1 3

24 Ecuaciones diferenciales y'' 5y'+ 6y = 1 y'() = y() =

25 Ecuaciones diferenciales y'' 2y'+ 6y = 1 y'() = y() = L{ y'' }(s) 2L{ y' }(s) + 6L{ y}(s) = L{ 1} L{ y'' }(s) = s 2 L{ y}(s) sy() y'() L{ y' }(s) = sl{ y}(s) y() L{ 1} = 1 s L{ y}(s) = 1 s(s 2 2s + 6) L{ y}(s) = A s + Bs + C (s 2 2s + 6) = A(s2 2s + 6) + Bs 2 + Cs s(s 2 2s + 6) = As2 2As + 6A + Bs 2 + Cs s(s 2 2s + 6) = (A + B)s2 + ( 2A + C)s + 6A s(s 2 2s + 6) s 2 L{ y}(s) sy() y'() 2sL{ y}(s) + 2y() + 6L{ y}(s) = 1 s s 2 L{ y}(s) 2sL{ y}(s) + 6L{ y}(s) = 1 s (s 2 2s + 6)L{ y}(s) = 1 s A + B = 2A + C = 6A = 1 A = 1 6 B = 1 6 C = 1 3

26 Ecuaciones diferenciales y'' 2y'+ 6y = 1 y'() = y() = L{ y'' }(s) 2L{ y' }(s) + 6L{ y}(s) = L{ 1} L{ y}(s) = 1 s(s 2 2s + 6) L{ y}(s) = A s + Bs + C (s 2 2s + 6) L{ y}(s) = 1 1 6s + 6 (s 1+1) (s 1) 2 + 5) = 1 6s (s 1) (s 1) 2 + 5) = 1 6s (s 1) (s 1) 2 + 5) L{ y}(s) = 1 1 6s + 6 s (s 2 2s + 6) L{ y}(s) = 1 1 6s + 6 s (s 2 2s +1+ 5) y(t) = (s 1) L 1 (s 1) 2 + 5) L{ y}(s) = 1 1 6s + 6 (s 1) (s 1) 2 + 5) y(t) = et L 1 6 s (s 2 + 5)

27 Ecuaciones diferenciales y'' 2y'+ 6y = 1 y'() = y() = L{ y'' }(s) 2L{ y' }(s) + 6L{ y}(s) = L{ 1} y(t) = (s 1) L 1 (s 1) 2 + 5) y(t) = et L 1 6 s (s 2 + 5) y(t) = et L 1 6 s 1 (s 2 + e t L ) (s 2 + 5) y(t) = et cos( 5t) et sin( 5t)

28 Ecuaciones diferenciales y'' 1y'+ 3y = 1 y'() = y() =