TEMA II TRANSFORMADAS DE LAPLACE. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Introducción Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace.

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1 TEMA II TRANSFORMADAS DE LAPLACE. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 2.1.-Introducción Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Análisis de Circuitos en el dominio de Laplace Circuitos Transformados Aplicación en el estudio de Transitorios Funciones de Transferencia Transformada de Fourier. -41-

2 II.1.- INTRODUCCIÓN La "Transformada de Laplace" es una operación matemática, como pueda ser la "derivada", la "integral" o el mismo "logaritmo". Su utilidad más importante reside en su aplicación a la resolución de Sistemas de ecuaciones diferenciales. Al igual que los apartados anteriores, no se pretende (sería imposible por cuestiones de tiempo, aparte de que al ser un proceso estrictamente matemático, no corresponde a esta publicación su estudio sino su aplicación) explicar en detalle la teoría concerniente a esta operación matemática, sino que nos limitaremos a apuntar levemente sus fundamentos, y sobre todo a especificar el proceso que se sigue en su utilización. En un problema concreto nos encontraremos con una ecuación integro/diferencial, más o menos complicada, que deberemos resolver (al menos obtener la parte estacionaria de ésta). Si tomamos "Transformadas de Laplace" (igual como podemos tomar logaritmos en una ecuación) todas las derivadas (del orden que sean) e integrales desaparecen, con lo cual se transforma la ecuación (o sistema de ecuaciones) en una ecuación con variable compleja P que se resolverá por métodos convencionales. Una vez obtenida la solución deseada, se tomarán "Transformada inversa de Laplace" (igual que se toman antilogaritmos) para obtener la solución, realmente deseada, en el dominio temporal. Nosotros, normalmente, nos saltaremos no solo el primer paso (partiremos ya de las ecuaciones en el dominio de Laplace) sino que, en muchos casos (estudio frecuencial), no necesitaremos dar el comportamiento temporal, sino que lo que nos interesará es la respuesta en frecuencia (que es, prácticamente, el dominio de Laplace). Al igual que con el Operador D, podemos avanzar que la impedancia de una bobina es, en este caso, Z L =Ls y para un condensador Z C =1/Cs (s, o bien p, es la variable compleja de parte real F y parte imaginaria w). Definición de Transformada Integral (en general): "Sea una función de dos variables K(s,t). Siempre podremos definir: (1) Diremos que f(s) es la Transformada Integral de F(t) mediante el núcleo K(s,t). A F(t) también se le llama Transformada Inversa de f(s)". Algunas de las más conocidas son: -42-

3 a)transformada de LAPLACE: En este caso, el camino de integración es C = [0, +4) y el núcleo: (2) o sea: (3) siendo la variable t real y la variable s (o p) compleja. Es la más utilizada de las que vamos a presentar. b)transformada de FOURIER: En este caso, el camino de integración es C = (-4, +4) y el núcleo: (4) o sea: (5) siendo en este caso ambas variables reales. Cabe mencionar que esta transformada puede considerarse un caso particular de la transformada de Laplace, donde la parte real de la variable compleja s es nula (F = 0). Tampoco conviene confundir esta operación con el desarrollo en Serie de Fourier), ya que esta transformada se utiliza en el caso de tener funciones no periódicas (que como se verá es un requisito imprescindible para las series de Fourier), a pesar de que el sentido físico asociado es el mismo. La transformada de Fourier (FT en terminología anglosajona) se utiliza ampliamente para el estudio en frecuencia (en la mayoría de los casos, incluso la variable s es sustituida por la w de frecuencia angular o pulsación). Así mismo, un campo donde tiene especial importancia es en el de las imágenes (puede considerarse que el ojo humano realiza constantemente transformaciones de esta índole), de hecho, existe otra variedad de ésta (la Transformada Rápida de Fourier, abreviadamente FFT), ampliamente utilizada en el tratamiento digital de imágenes. -43-

4 c)transformada de MELLIN: En este caso, el camino de integración es C = [0, +4) y el núcleo: (6) o sea: (7) siendo la variable t real y la variable s compleja. d)transformada de HANKEL: En este caso, el camino de integración es C = [0, +4) y el núcleo: (8) donde J n (t) es una de las llamadas funciones de Bessel, ampliamente utilizadas en le campo de la mecánica cuántica y de las ondas electromagnéticas (por ejemplo en la transmisión a través de guías de onda). En definitiva: (9) (siendo la variable t real y la variable s compleja) II.2.-TRANSFORMADA DE LAPLACE Comenzaremos calculando la transformada de Laplace (conviene no confundir esta expresión con la de Laplaciano, que es un concepto totalmente distinto) de algunas funciones interesantes (impulso, escalón, rampa y senoidal), para observar su obtención explícita, pero no es esta nuestra principal finalidad, ya que la obtención de transformadas de Laplace la realizaremos a través de unas tablas que facilitaremos posteriormente, y que pueden obtenerse de forma más completa en libros dedicamos a este campo. a)función impulso (delta de Dirac): (10) -44-

5 (11) b)función escalón (función de Heaviside): (13) (12) c)función rampa: F(t) = t (14) (15) c)función seno: F(t) = sen kt (16) (17) (18) -45-

6 A continuación se enunciarán (obviamente sin demostrar) algunas de las propiedades más importantes de la Transformada de Laplace (obsérvese que, en definitiva, esta operación es una integración, por lo cual gran parte de las propiedades de las integrales, y de su metodología operativa siguen cumpliéndose): (para abreviar, consideraremos f(s) = [F(t)]) P1)Linealidad: (19) P2)Traslación: (20) P3)Sustitución: (21) P4)Transformada de la derivada: (22) (24) (23) P5)Transformada de la integral: (25) -46-

7 P6)Derivada de una Transformada: (26) P7)Integral de una Transformada: (27) También son importantes los siguientes teoremas: T1)Teorema del valor inicial: Este teorema permite conocer el valor de una función en el origen, sin necesidad de calcular su antitransformada y sustituir en ella la variable independiente t por 0: (28) T2)Teorema del valor final: Este teorema también es muy importante, pues permite conocer el comportamiento asintótico de una función temporal, a partir de su transformada de Laplace. Hay que indicar que este teorema solamente se cumple cuando el límite existe y es finito, en otros caso pueden obtenerse soluciones erróneas (o sea, solo es aplicable cuando el sistema es estable): (29) Para terminar con este apartado de Transformadas de Laplace, vamos a indicar una tabla que contiene las más usuales, y que se utilizará normalmente cuando sea necesario (salvo funciones extrañas, no tendremos que realizar su cálculo de forma explícita). -47-

8 N.º f(s) F(t) ))) s a ))))))) s 2 +a 2 s )))))))) s 2 +a 2 1 ))))) s+" a ))))))))))) (s+") 2 +a 2 s+" ))))))))))) (s+") 2 +a 2 n! )))))) s n+1 n! )))))))))) (s+") n+1 2sa )))))))))) (s 2 +a 2 ) 2 a 2 -s 2 - )))))))))))) (s 2 +a 2 ) 2 1 sen at cos at e -"t e -"t sen at e -"t cos at t n t n e -"t t sen at t cos at -48-

9 II.3.-TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Como ya se ha mencionado con anterioridad, podemos definir la operación contraria a la Transformada de Laplace, de la siguiente manera: Si f(s) = (F(t) Y F(t) = -1 [f(s)] Presenta las siguientes propiedades: a) La Transformada de Laplace (y su inversa) de una función nula es cero. b) Teorema de Lerch: Si f(s) = [F(t)] y existe una G(t) tal que [G(t)] = f(s) entonces F(t) y G(t) difieren en una función nula. c) -1 [f(s+a)] = e -1 [f(s)] d) Traslación: -1 [e = e) (30) f) (31) Vemos así que, al aplicar la Transformada de Laplace ( [y(t)] = Y(s), con s=f+jw ) a una ecuación diferencial, pasamos del dominio del tiempo (t) al de la variable compleja s, transformándose la ecuación integro-diferencial en una ecuación algebraica de la variable s, que habrá de resolverse. Una vez obtenida la expresión de Y(s), bastará buscar la transformada inversa de Laplace, con el fin de obtener la solución de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo (y(t) = [Y(s)]). Este proceso es formalmente análogo a cuando tomamos logaritmos para transformar productos en sumas y luego tomar antilogaritmos. Nótese que, a partir de este momento, cambiamos la notación, escribiendo en minúsculas las funciones del tiempo (y(t)) y en mayúsculas las trasformadas, funciones de s (Y(s)). -49-

10 Veamos un ejemplo de aplicación de lo anteriormente dicho: EJEMPLO: Resolver la ecuación diferencial siguiente para las condiciones iniciales y(0)=-1 ; y'(0)=2. Tomando transformadas: Sustituyendo estos datos en la ecuación, y despejando Y(s) se obtiene: El último paso sería tomar transformada inversa de Laplace para obtener y(t). Por desgracia, esta función no tiene una transformada inversa que podamos encontrar en las tablas, por lo que habrá que realizar un proceso previo de factorización de esa fracción, siguiendo cualquiera de los métodos conocidos (y ampliamente utilizados en el cálculo integral). -50-

11 Operando se obtienen los valores: A = 5/2 ; B = -5 y C = 3/2. En este momento sí que podemos tomar transformadas inversas de Laplace: Así pues, la solución final es: Para terminar con este apartado, consideraremos de nuevo la ecuación diferencial: (41) Aplicando la transformada de Laplace a los dos miembros y considerando valores iniciales nulos en la función y sus derivadas resulta: (a n + a n a n = (b m + b m b m Y (42) expresión que es equivalente a la que ya vimos del operador D, sin más que cambiar el operador diferencial D por la variable compleja s. Así, al ser las dos expresiones equivalentes, la función de transferencia o transmitancia, se puede expresar también por el cociente de las transformadas de Laplace, siempre que se mantengan nulas las condiciones iniciales de la función y sus derivadas. Más adelante volveremos a redefinir el fundamental concepto de función de transferencia asociado ya a un circuito eléctrico, no a una ecuación diferencial lineal como hemos hecho ahora. -51-

12 II.4.-Análisis de Circuitos en el dominio de Laplace. Hasta ahora hemos utilizado la transformación de Laplace para pasar de ondas a transformadas y transformar ecuaciones diferenciales de los circuitos en ecuaciones algebraicas. De por sí, este procedimiento permitiría resolver circuitos, con solo añadir el cálculo de la transformada inversa de Laplace. Estas operaciones son útiles y proporcionan una buena visión de la naturaleza del conjunto de definición de s. No obstante, la utilidad de la transformación de Laplace no se reduce a la resolución de ecuaciones diferenciales, sino que proporciona otra representación de las señales y sistemas. La verdadera ventaja de la transformación de Laplace aparece cuando transformamos el propio circuito y analizamos su comportamiento en el conjunto de definición de s. En la siguiente figura se indica el esquema del análisis de circuitos en el dominio de definición de s. Comenzamos con un circuito descrito, en la forma usual, en el conjunto de definición de t. Transformamos el circuito al conjunto de definición s, escribimos directamente en éste las ecuaciones de equilibrio del sistema en forma de ecuaciones algebraicas y después despejamos las transformadas de intensidad o de tensión mediante técnicas algebraicas. Si es necesario, podemos obtener las ondas de tensión o intensidad efectuando la transformación inversa de Laplace. En el camino vemos que se puede seguir otro camino para llegar a la onda solución, utilizando la ecuación diferencial del circuito y las técnicas clásicas en el conjunto de definición del tiempo. Del diagrama de flujo de dicha figura, puede parecer que el análisis del circuito en el conjunto de definición de s es sólo una manera de esquivar el procedimiento clásico de integración de la ecuación diferencial. Ahora bien, es algo más que eso. Proporciona un nuevo punto de vista, una manera diferente de pensar en señales y circuitos. La transformada solución, en realidad, no es más que otra representación de la señal. La transformada solución contiene los mismos datos que la onda solución pues, de no ser así, no podríamos recobrar la onda a partir de la transformada utilizando la transformación inversa. Podemos ya empezar a pensar que la transformada solución es la solución; a pensar en el comportamiento del circuito a -52-

13 través de las transformadas de señal en vez de a través de las ondas de señal. En pocas palabras, podemos empezar a pensar en los circuitos en el conjunto de definición de s. Figura 1 Pero cómo vamos a transformar el propio circuito?. Sabemos que el comportamiento del circuito radica en un equilibrio establecido por condiciones de dos tipos: (1) condiciones impuestas a la conexiones y (2) condiciones impuestas a los dispositivos. Las primeras están representadas matemáticamente por ecuaciones que se obtienen de la aplicación de las Leyes de Kirchhoff. Las condiciones impuestas a los dispositivos vienes expresadas matemáticamente por las relaciones i-v de los elementos que se utilizan para modelar los dispositivos del circuito. Dicho de otro modo, las ecuaciones de las conexiones y las ecuaciones de los dispositivos constituyen el fundamento del análisis de circuitos. Cómo vamos a transformar los circuitos?. Debemos mirar cómo altera la transformación de Laplace a las ecuaciones de conexión y de los elementos. -53-

14 II.4.1.-Circuitos Transformados. Las ecuaciones de las conexiones se basan en las leyes de Kirchhoff. En el conjunto de definición del tiempo, una ecuación típica de la primera ley de Kirchhoff sería: () () () () i t + i t + i t + i t = (43) Concretamente, esta ecuación dice que la suma algebraica de las ondas de intensidad que llegan a un nudo es nula para todos los valores de t. Si tomamos la transformada de Laplace de esta ecuación, la propiedad de linealidad de la misma nos permite escribir I s + I s + I s + I s = (44) Y, en concreto, esta ecuación nos dice que la suma de transformadas de intensidad es nula para todo valor de s. Está claro que esta idea es generalizable para cualquier número de corrientes que concurran en un nudo. Igualmente claro resulta que también es aplicable a la segunda Ley de Kirchhoff. Por tanto, las Leyes de Kirchhoff no se ven alteradas por la transformación de Laplace y serán aplicables a las ondas en el conjunto de definición de t, así como a sus transformadas en el de s. Por tanto, las condiciones impuestas a las conexiones de un circuito son las mismas en el conjunto de definición de t que de s. Pasemos a las condiciones impuestas a los dispositivos y consideremos, en primer lugar, la fuente de tensión de señal representada en la Figura 2a. Las relaciones i-v para este elemento son () () () vt = v t e it = depende de la carga (45) s Esto nos dice que una fuente de tensión produce una onda preestablecida entre sus terminales y puede suministrar una onda de intensidad cualquiera, según la demanda del circuito a que esté conectada. Tomando transformada de Laplace de esta relación tenemos: Vs = V s e Is = depende de la carga (46) s -54-

15 Esto nos dice que la fuente de tensión produce una transformada preestablecida y puede suministrar cualquier transformada de intensidad que se necesite. Figura 2 Está claro que la misma idea es aplicable a la fuente de intensidad representada en la Figura 2b. Por tanto, las fuentes de señal se comportan exactamente de igual manera en el conjunto de definición de s, con la diferencia que pensamos en ellas considerándolas productoras de una transformada en vez de una onda. Consideremos a continuación los tres elementos de circuito lineales pasivos representados en la figura 3. En el conjunto de definición del tiempo, las relaciones i-v son Resistencia Bobina Condensador () = () R () L () vr t Ri t v t L di t L = dt 1 t v t = C i t dt + v 0 () () c c c 0 (47) Estas relaciones se pueden transformar al conjunto de definición de s utilizando las propiedades de linealidad, derivación e integración de la transformada de Laplace: -55-

16 Resistencia Bobina Condensador = R = ( = 0) 1 c = 0 V s RI s R VL s Ls IL s LiL t V s Cs I s v C = C + ts (48) Como era de esperar, las relaciones i-v en el conjunto de definición de s dan, para los tres elementos, ecuaciones algebraicas lineales. En particular, en el caso de la resistencia vemos que la Ley de Ohm dice lo mismo en el conjunto de definición de la variable s. Las ecuaciones de estos tres elementos llevan a los modelos de circuito en el conjunto de definición de s representados en la Figura 3. Figura 3 Las condiciones iniciales asociadas a los dos elementos almacenadores de -56-

17 energía se modelan en forma de fuentes de tensión conectadas en serie con los elementos. Los símbolos de los elementos en el conjunto de definición de s representan lo que se conoce con el nombre de impedancia del elemento. El concepto de impedancia permite escribir las anteriores relaciones en la forma Resistencia Bobina Condensador = R = ( = 0) v ( c = 0) VR s RI s V s Z I s Li t L L L L V s = Z I s + C C C t s (49) El símbolo Z representa la impedancia del elemento, la cual se puede definir diciendo que es el factor de proporcionalidad, en la relación, en el conjunto de definición de s, entre la transformada de la intensidad y la transformada de la tensión. Comparando las dos últimas expresiones, identificamos las impedancias de los tres elementos den la forma Resistencia Bobina Condensador Z C Z Z R s L = R = Ls = 1 (50) Cs La impedancia es un concepto inherente al conjunto de definición de s ya que se basa en una proporcionalidad entre una transformada de intensidad y una transformada de tensión. Constituye una generalización del concepto de resistencia y de ahí el nombre de impedancia. La impedancia de una resistencia es una constante: su resistencia. La impedancia de los dos elementos almacenadores de energía no son constantes sino que dependen de la frecuencia compleja s. Ni que decir tiene, que se obtendrían unos resultados duales, si eligiésemos a la intensidad como variable dependiente y la tensión como variable independiente. Llegaríamos a las ecuaciones duales, e introduciríamos el término de admitancia Y. Para estas relaciones (despejando la intensidad en las ecuaciones anteriores), se obtiene -57-

18 Resistencia IR s = GVR s Bobina I ( s) Ls V s il L = L 1 = 0 + ts Condensador I s = Cs V s Cv t = 0 C C c (51) El concepto de admitancia constituye una generalización del de conductancia y podemos definirla diciendo que es el recíproco de la impedancia (Y = 1/Z). Las admitancias de los tres elementos son Resistencia Y Bobina Condensador R L C s Y s Y s 1 1 = = = ZR R G 1 1 = = ZL Ls 1 = = Cs Z C (52) También vemos que las admitancias de los elementos son el factor de proporcionalidad de las características i-v que relaciona la transformada de tensión con la transformada de intensidad. En cualquier circunstancia, en el conjunto de definición de s los elementos pasivos se pueden representar por impedancias, con fuentes de tensión representativas de las condiciones iniciales puestas en serie con los elementos almacenadores de energía, o bien por admitancias con fuentes de intensidad representativas de las condiciones iniciales conectadas en paralelo. El análisis de circuitos en el conjunto de definición de s sigue una marcha paralela a la del análisis en el conjunto de definición de t ya que las leyes de Kirchhoff no se alteran, por lo que serán de aplicación los métodos estudiados de análisis por nudos y por mallas, así como todos los teoremas vistos en teoría general de circuitos (Thevenin, Norton, compensación, reciprocidad, máxima transferencia de potencia,...). Para transformar un circuito al conjunto de definición de s, sustituiremos cada elemento por su modelo en éste. En el caso de fuentes y de resistencias no hay cambio alguno. En el caso de condensadores y bobinas sustituiremos el elemento por -58-

19 su impedancia en serie con una fuente de tensión de condiciones iniciales, o bien por su admitancia en paralelo con una fuente de intensidad de condiciones iniciales. Nótese que en el conjunto de definición de s las condiciones iniciales del circuito aparecen en forma de fuentes en éste y no en forma de condiciones en los límites para la solución de la ecuación diferencial del circuito. Figura 4 Las relaciones i-v en el conjunto de definición de s tienen un carácter del tipo de Ley de Ohm que lleva consigo la impedancia o admitancia del elemento. Todas estas facultades hacen que el análisis de circuitos en el dominio de Laplace sea un proceso algebraico análogo al del análisis de circuitos resistivos en el dominio del tiempo. -59-

20 II.4.2.-Aplicación en el estudio de Transitorios El principio de superposición resulta, a menudo, ser una herramienta útil en el análisis de circuitos. Tal como se había utilizado con anterioridad, el principio indica que toda respuesta de un circuito lineal que contenga varias fuentes de tensión o intensidad se pueden obtener sumando algebraicamente la respuesta debida a todas las tensiones actuando juntas, hallando después la respuesta debida a todas las fuentes de intensidad y así se obtendrá la respuesta total sumando algebraicamente (superponiendo) estas dos respuestas. Cuando los circuitos se transforman al conjunto de definición de s, el diagrama se complica un tanto con las fuentes de intensidad y tensión. Sin embargo, todas las fuentes se pueden agrupar o como señales de entrada o como fuentes de condiciones iniciales. El principio de Superposición nos dice entonces que toda respuesta puede hallarse en la forma: Respuesta = Respuesta a estado nulo + Respuesta a entrada nula donde la primera de ellas (respuesta a estado nulo) la originan las fuentes de señal de entrada y se encuentra haciendo iguales a cero todas las condiciones iniciales (estado nulo). La segunda componente (respuesta a entrada nula) la originan las fuentes de condición inicial, y se halla desconectando todas las fuentes de señal de entrada (entrada nula). EJEMPLO. En la figura 5a se ha representado el circuito RL serie excitado por tensión, estando la bobina inicialmente magnetizada, de forma que por ella circula una corriente inicial i L (0). Encontrar la expresión matemática, en el dominio del tiempo, de la corriente que circula por la bobina. -60-

21 Figura 5 En la Figura 5b podemos ver el circuito transformado al conjunto de definición de s. La suma de transformadas de tensión a lo largo de un bucle de este circuito es V = V ( s) + V ( s) = s R L 0 (53) Las tensiones V R (s) y V L (s) se pueden escribir en función de la intensidad de malla I(s) utilizando las ecuaciones de los elementos en el conjunto de definición de s: V R (s) = RI(s) y V L (s) = LsI(s) - Li L (t=0) Sustituyendo estas relaciones en la anterior ecuación que da la ley de Kirchhoff y agrupando términos, se tiene V Ls + R I s = + LiL t = 0 (54) s Despejando I(s), Is = V / L il 0 + ss ( + R/ L) s + R / L (55) Esta es la transformada de la intensidad de malla correspondiente a una función -61-

22 escalón a la entrada. Para obtener la transformad inversa de Laplace, habrá que desarrollar previamente en fracciones parciales: Is V / R V / R il t = 0 = + + s s + R / L s + R / L (56) Efectuando la transformación inversa tenemos () it Rt V V i R R e L = + t L 0 0 (57) El primer término del segundo miembro es la respuesta forzada y el segundo término es la respuesta natural. También podemos separar la respuesta de la siguiente forma () L it Rt V V = R R e + i t e L = Rt L 0 (58) donde los dos primeros términos constituyen la respuesta a estado nulo (condiciones iniciales nulas) y el tercero corresponde a la respuesta a entrada nula (V=0). Este resultado podría haberse obtenido aplicando el principio de Superposición a las dos fuentes existentes: dejando solamente V, se obtendría la primera y dejando solamente i L (0) se obtendría la otra (la suma de ambas da la solución total). Nótese que siempre, la respuesta forzada está incluida en la componente de estado cero y la respuesta natural lo está en las dos componentes. II.5.-FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Una aplicación importante del análisis de circuitos es el proceso de una señal en su paso de la entrada a la salida. En el conjunto de definición de s, dicho proceso de señal está descrito por una función racional de la variable frecuencia compleja llamada función de transferencia. La función de transferencia se define de la manera siguiente: -62-

23 Ts = Transformada de la respuesta a estado nulo Transformada de la señal de entrada (59) Notemos que la definición formal sólo es aplicable a la respuesta a estado nulo e implica que el circuito tenga una sola entrada. Estas dos condiciones simplifican el proceso de hallar y utilizar funciones de transferencia. Figura 6 En la Figura 6 se ilustra el esquema de la transferencia de la señal de la entrada a la salida. Hay una sola señal de entrada, sea una intensidad I 1 o una tensión V 1, y una sola salida, bien sea una tensión V 2 o una intensidad I 1 (es útil aquí recordar los conceptos vistos en teoría de cuadripolos lineales). Como las señales de entrada y de salida pueden adoptar una de dos formas posibles, se pueden definir cuatro tipos diferentes de funciones de transferencia (V 2 /V 1, I 2 /I 1, V 2 /I 1, I 2 /V 1 ). Centraremos nuestra atención en las dos funciones adimensionales: -63-

24 Funcion de transferencia de intensidad = Ts = I 2 s V2 s Funcion de transferencia de tension = Ts = V s 1 I s 1 (60) La característica distintiva de una función de transferencia es que contiene una entrada en un lugar de una red y una respuesta que se produce en algún otro punto. II.6.-TRANSFORMADA DE FOURIER Una onda no periódica x(t), se dice que satisface las condiciones de Dirichlet si: a)x(t) es absolutamente integrable, esto es, si + xt () 2 dt < (61) b)el número de máximos y de mínimos y el número de discontinuidades en cualquier intervalo finito es finito. Para tales ondas se define la Transformada de Fourier (varía respecto la indicada en la introducción en un factor de escala), denotada por X(f), por + j2pft Xf = xte dt (62) donde f es la frecuencia. La anterior integral se llama integral de Fourier. La función del tiempo x(t) se llama transformada inversa de Fourier de X(f) y se obtiene de la forma siguiente + () () j2pft xt Xfe df = (63) -64-

25 donde x(t) y X(f) forman un par de transformadas de Fourier. En lugar de f, la velocidad angular T= 2Bf puede utilizarse, en cuyo caso, las anteriores expresiones se convierten en 1 + j t xt () = X( w) e dw 2p w (64) + (65) jwt X w = x t e dt A la cantidad X(f) 2 se la denomina densidad de energía o espectro de la onda x(t). A diferencia de las ondas periódicas, el contenido de energía de una onda no periódica x(t) para cada frecuencia es cero. Sin embargo, el contenido de energía en un intervalo de frecuencias f 1 y f 2 es f2 2 W = 2 X( f) df f 1 (66) EJEMPLO: Determinar la transformada de Fourier de x(t) = e -at u(t), a>0. Dibujar la gráfica de X(f) para -4<f<+4. A partir de la definición, obtenemos: + at j 2pft X j = e e dt = 0 1 a + j2pf (67) (Nótese que se obtiene el mismo resultado que si en la transformada de Laplace hubiésemos sustituido la variable compleja s por su parte imaginaria jt). Al ser X(f) una función compleja con variable real, la representaremos dibujando su módulo y su fase, en función de dicha variable f (también podríamos haber optado por dibujar su parte real y su parte imaginaria). -65-

26 Figura 7 Figura 8 En la Figura 7 puede apreciarse el módulo de la transformada y en la 8 el argumento (en radianes). EJEMPLO: Determinar la transformada de Fourier de una onda cuadrada (no repetitiva) xt () = 1 0 para T < t < T para el resto (68) Aplicando la definición: T j2pft 1 j2pf T Xf = e dt = [ e ] = T j2pf T sen 2pfT pf (69) Como x(t) es par, X(f) es real. Su representación es (para T=1/2): Figura 9-66-

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