Complementos de matemáticas. Curso

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Complementos de matemáticas. Curso 2004-2005"

Transcripción

1 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería Técnica Industrial Complementos de matemáticas. Curso Colección de ejercicios del tema 1 Las soluciones aparecen en color azul, y si disponéis de la posibilidad de imprimir este documento en color os lo recomiendo para facilitar el trabajo. Gracias a vuestra colaboración vamos reduciendo cada curso los errores que contiene este fichero, pero todavía pueden quedar algunos. Os pido disculpas por adelantado, y os agradezco por adelantado vuestra ayuda. De esa forma haremos más fácil el trabajo a vuestros compañeros. Señales en tiempo discreto 1. Dada la señal dibujar las señales: 1 1 t 1 x [t] = 3 t 4 0 en otro caso (a) x [t ] (b) x [4 t] (c) x [t + ] (d) x [n] u [ t] (e) x [t 1] δ [t 3]. Demostrar que: a) δ [t] = u [t] u [t 1] b) u [t] = 0 k= δ [t + k] = δ [t k] k=0 3. Determinar si las siguientes señales son o no periódicas y, en el caso de que lo sean, encontrar su período fundamental. a) x [t] = cos ( ) πt 8 ( ) πa Solución: En cualquier señal de la forma sen B t (con A, B naturales) se puede calcular el período fundamental N mediante la expresión: N = B A k con k N 1

2 Se debe buscar el menor valor (no nulo) de k que hace que N sea un número natural. En este ejemplo (A = 1, B = 8) sería: N = 8 1 k y tomando k = 1 se obtiene el período fundamental N = 16. b) x [t] = sen ( π + t ) 10 Solución: No es periódica. ( sen π + t ) ( ) ( ) ( ) t t t = sen (π) cos +cos (π) sen = sen Y es evidente ahora que no es periódica. c) x [t] = e iπt/16 cos ( ) πt 17 Solución: e iπt/16 cos ( ) πt = e iπt/16 1 ) (e πit 17 + e πit 17 = 1 17 Y ahora es fácil ver que esas señales tienen período πit πit e 7 + e7 4. Descomponer las siguientes señales en suma de una señal par (que cumple y[ t] = y[t]) y una impar (que cumple y[ t] = y[t]): a) x [t] = u [t] b) x [t] = α t u [t] Solución: Dada una señal cualquiera, si se define: x P [t] = + x[ t], x I [t] = x[ t], entonces obviamente = x P [t] + x I [t], x P [t] es una señal par y x I [t] es una señal impar. En este ejemplo eso significa que hacemos: u[t] = (..., 1, 1, 1, 1, 1 ) (, , 1, 1, 0, 1, 1 ),...

3 5. Si x 1 [t] es una señal par y x [t] es una señal impar, su x [t] = x 1 [t] x [t] es par, impar o ninguna de ambas? Solución: Es x[ t] = x 1 [ t]x [ t] = x 1 [t]( x [t]) =, así que x es impar. 6. Dada la señal hacer un dibujo aproximado de: a) y 1 [t] = x [4 t] b) y [t] = x [t 3] c) y 3 [t] = x [8 3t] d) y 4 [t] = x [ t t + 1 ] x [t] = (6 t) (u [t] u [t 6]) 7. La potencia P de una señal x [t] (con valores reales) se define así, como la suma de los cuadrados de los valores de la señal: P (x [t]) = (x [t]) Dada la señal a) Hallar la suma x [t] = A = b) Calcular la potencia de x [t] t= ( ) 3 t u [ t] t= x [t] c) Si se usa x como entrada para el definido por y [t] = tx [t], calcular la potencia de la señal de salida y [t]. Solución: Para el cálculo de la potencia ( ( ) 3 t t= ) u [ t] = 0 ( 3 ) t t= = 9 5 (Teniendo en cuenta la definición de u[t]) Para calcular la potencia de la señal de salida y[t] hay que hacer la suma: ( ( ) ) 3 t ( 0 ( ) ) 3 t t u [ t] = t = t= 3 t=

4 Se trata de una suma aritmético geométrica, un poco más difícil que las que hemos hecho hasta ahora, pero muy fácil si se aplican los métodos del siguiente capítulo. 8. Descomponer la señal 1 t = 0 t = 1 x [t] = 3 t = 0 en otro caso como suma de impulsos desplazados con peso δ[t k]. Solución: Se obtiene = δ[t] + δ[t 1] + 3δ[t ] Sistemas en tiempo discreto 1. Dado el T mediante y [t] = T (x [t]) = x [ t ] a) determine si es invariante en el tiempo. b) para ilustrar el resultado del apartado a. considere que la señal de entrada es { 1, 0 t 3 x [t] = 0, en el resto Entonces: (1) dibuje la señal () calcule la señal de salida correspondiente y [t] = T (x [t]) (3) calcular la señal desplazada y [t ] (4) calcule la señal desplazada x [t] = x [t ]. (5) encuentre la señal y [t] = T (x [t]) (6) compare y [t] con y [t ]. cuál es la conclusión? c) Repetir los dos apartados anteriores para el dado por y [t] = T (x [t]) = x [t] x [t 1]. Para cada uno de los s siguientes determine si son (1) estables, () causales, (3) lineales, (4) invariantes en el tiempo. a) T (x [t]) = g [t] x [t] con g [t] una señal fija dada. Solución: El es claramente causal: sólo se usan el valor 4

5 de x en t para calcular la salida en t. No es invariante porque se tiene: x[t k] g[t] g[t]x[t k] g[t k]x[t k] Por otra parte, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { x1 [t]g[t] (x 1 [t] + x [t])g[t] x [t]g[t] suma x 1 [t]g[t] + x [t]g[t] y como los dos resultados son iguales, pasamos a comprobar si es homogéneo. a ag[t] g[t] ag[t] Así que el es lineal. b) T (x [t]) = t k=t 0 x [k] Solución: No es invariante porque se tiene: x[t k] t x[p k] p=t 0 t t k x[p] x[p] p=t 0 p=t 0 5

6 Y como puede verse en un caso se suma desde t 0 hasta t k y en el otro desde t 0 k hasta t k. Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] t x 1 [p] p=t 0 t x [p] p=t 0 t (x 1 [p] + x [p]) p=t 0 suma t x 1 [p] + t x [p] p=t 0 p=t 0 Pasamos a comprobar si es homogéneo. t a ax[p] p=t 0 t x[p] a t x[p] p=t 0 p=t 0 Así que el es lineal. c) T (x [t]) = t+t 0 x [k] k=t t 0 Solución: No es causal, porque para calcular la salida en t se usan valores posteriores como x[t + t 0 ]. Es invariante porque se tiene: x[t k] t+t 0 p=t t 0 x[p] t+t 0 x[p k] p=t t 0 t k+t 0 x[p] p=t k t 0 6

7 Y en ambos casos se suman los valores de x desde t k t 0 hasta t k + t 0. Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] t+t 0 x 1 [p] p=t t 0 t+t 0 x [p] p=t t 0 t+t 0 p=t t 0 (x 1 [p] + x [p]) suma t+t 0 x 1 [p] + t+t0 x [p] p=t t 0 p=t t 0 Pasamos a comprobar si es homogéneo. t+t 0 a ax[p] p=t t 0 t+t 0 x[p] a t+t0 p=t t 0 Así que el es lineal. d) T (x [t]) = x [t t 0 ] Solución: Si t 0 0 es causal, si t 0 < 0 no lo es. Es invariante porque se tiene: p=t t 0 x[p] x[t k] x[t k t 0 ] x[t t 0 ] x[t k t 0 ] 7

8 Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] (x 1 [t t 0 ] + x [t t 0 ]) suma x 1, x [t] { x1 [t t0 ] x [t t 0 ] suma x 1 [t t 0 ] + x [t t 0 ] Pasamos a comprobar si es homogéneo. a ax[t t 0 ] x[t t 0 ] ax[t t 0 ] Así que el es lineal. e) T (x [t]) = e Solución: Es causal, porque sólo se necesita el valor. Es invariante porque se tiene: x[t k] e Para la linealidad, dadas dos señales: e x[t k] e x[t k] x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { e x 1 [t] e x [t] suma e (x 1[t]+x [t]) e x 1[t] + e x [t] Así que no es lineal. 8

9 f ) T (x [t]) = ax [t] + b Solución: Es causal, sólo se usa. Es invariante porque se tiene: x[t k] ax[t k] + b a + b ax[t k] + b Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { ax1 [t] + b ax [t] + b a(x 1 [t] + x [t]) + b suma ax 1 [t] + b + ax [t] + b Así que no es lineal (se obtiene b en lugar de b). g) T (x [t]) = x [ t] Solución: No es causal, porque por ejemplo para calcular y[ 1] se usa x[1], que es posterior. No es invariante porque se tiene: x[t k] x[ t k] x[ t] x[ (t k)] que no es lo mismo. Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] x 1 [ t] + x [ t] suma x 1, x [t] { x1 [ t] x [ t] suma x 1 [ t] + x [ t] 9

10 Comprobamos la homogeneidad: Así que es lineal. a ax[ t] x[ t] ax[ t] h) T (x [t]) = x [t] + 3u [t + 1] Solución: Es causal. No es invariante porque se tiene: x[t k] x[t k] + 3u[t + 1] + 3u[t + 1] x[t k] + 3u[t k + 1] Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] x 1 [t] + x [t] + 3u[t + 1] suma x 1, x [t] { x1 [t] + 3u[t + 1] x [t] + 3u[t + 1] suma x 1 [t] + x [t] + 6u[t + 1] Luego no es lineal. 3. Un lineal es a la vez aditivo: y homogéneo: T (x 1 [t] + x [t]) = T (x 1 [t]) + T (x [t]) T (a) = at () Dar un ejemplo de un homogéneo pero no aditivo. Solución: Tomar por ejemplo: T () = () x[t 1] 10

11 Entonces Pero desde luego T (a) = (a) ax[t 1] = a () = at () x[t 1] T (x [ t] + x [t]) = (x 1[t] + x [t]) x 1 [t 1] + x [t 1] no tiene nada que ver con T (x 1 [t]) + T (x [t]) 4. Para cada uno de los siguientes s x [t] es la señal de entrada e y [t] es la señal de salida. Determinar cuáles de estos s son homogéneos, cuáles son aditivos y cuáles son lineales. a) y [t] = log (x [t]) Solución: Dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { log x1 [t] log(x 1 [t] + x [t]) log x [t] suma log x 1 [t] + log x [t] Luego no es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: a log(a) log a log Así que tampoco es homogéneo, y desde luego no es lineal. b) y [t] = 6x [t + ] + 4x [t + 1] + x [t] + 1 Solución: Es fácil comprobar que no es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: a 6ax[t + ] + 4ax[t + 1] + a + 1 6x[t + ] + 4x[t + 1] ax[t + ] + 4ax[t + 1] + xa[t] + a 11

12 Así que tampoco es homogéneo, y desde luego no es lineal. (x [t + 1] x [t 1]) c) y [t] = 6x [t] + x [t] Solución: Se comprueba fácilmente que no es aditivo. En cuanto a la homogeneidad: a 6x [t] + 6ax [t] + (ax [t + 1] ax [t 1]) ax [t] (x [t + 1] x [t 1]) x [t] (x [t + 1] x [t 1]) 6ax [t] + a x [t] Este es por tanto homogéneo, sin ser aditivo. d) y [t] = x [t] sen π t Solución: Dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] x 1 [t] sen πt x [t] sen πt Es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: a (x 1 [t] + x [t]) sen πt suma x 1 [t] sen πt + x [t] sen πt a sen πt sen πt a sen πt También es homogéneo, y por tanto es lineal. 5. Estudiar si los siguiente s son invariantes en el tiempo: 1

13 a) y [t] = x [t] + x [t 1] + x [t ] Solución: Es invariante porque se tiene: x[t k] x[t k] + x[t k 1] + x[t k ] + x[t 1] + x[t ] x[t k] + x[t k 1] + x[t k ] b) y [t] = x [t] u [t] Solución: No es invariante: x[t k] u[t] x[t k]u[t] x[t k]u[t k] c) y [t] = t k= x [k] Solución: Es invariante: x[t k] t p= x[p k] t p= x[p] t k p= x[p] y es fácil comprobar que en ambos casos se suman los valores de x desde hasta t k. d) y [t] = x [ t ] Solución: No es invariante: x[t k] x[t k] x[t ] x[(t k) ] 13

14 e) y [t] = x [ t] Ya lo hemos hecho antes. 6. Supongamos que un viene dado y [t] = x[k]x[t + k] k= Estudiar si este es (a) lineal (b) invariante en el tiempo (c)estable (d) causal. Solución: El es claramente no causal: para calcular la salida en t se usan todos los valores de x. No es invariante porque se tiene: x[t k] p= x[p]x[t + p] p= x[p k]x[t + p k] p= x[p]x[t k + p] Es fácil ver que el no es lineal, porque la señal x se multiplica por si misma. 7. Estudiar cuáles de los siguientes s son causales: a) y [t] = x [t] u [t] b) y [t] = x [ t ] c) y [t] = x [t] + x [ 3] + x [t 10] d) y [t] = x [t] x [ t t ] e) y [t] = 10 f ) k=1 x [t k] y [t] = x [t k] k=t Solución: Para estudiar la causalidad hay que plantearse si al calcular y[t] se emplea algún valor de x en instantes posteriores a t. Con esta idea, es fácil ver que (b) y (d) no son causales. En cuanto a (f), es un poco más difícil darse cuenta, pero tampoco es causal. Por ejemplo, y[ 1] = x [ 1 k] = x[0] + x[ 1] + x[ ] + k= 1 14

15 8. Estudiar cuáles de los siguientes s son causales: a) y [t] = x [t] b) y [t] = e x [t 1] c) y [t] = cos x [t] d) y [t] = t k= x [k] e) y [t] = log (1 + x [t] ) ( ) πt f ) y [t] = x [ t ] cos 8 Solución: El último es el único no causal. 9. Estudiar cuáles de los siguientes s T son invertibles. Es decir, para cuáles de ellos existe un S (el inverso de T ) tal que si y[t] = T () entonces = S(y[t]) Dicho intuitivamente, S deshace lo que hizo T. a) y [t] = x [t] Solución: Para obtener el inverso de un en general hay que hacerse esta pregunta: puedo recuperar a partir de y[t]? En este primer caso es fácil ver que sí y que el inverso viene dado por: T 1 (y[t]) = y[t] b) y [t] = tx [t] Solución: Nos gustaría decir que el inverso viene dado por: T 1 (y[t]) = y[t] t pero un poco de reflexión permite entender que esto no nos permite recuperar el valor de x[0]. Así que el no tiene inverso. 15

16 c) y [t] = x [t] x [t 1] Solución: El calcula algo semejante a una diferencia, y las diferencias no se dejan invertir completamente. Ocurre como con las derivadas y las primitivas. Una función tiene infinitas primitivas, que se diferencian en el valor de la constante de integración. Con la antidiferencia ocurre lo mismo, hay infinitas antidiferencias, y eso impide invertir el. d) y [t] = t x [k] k= Solución: Obsérvese que y[t] y[t 1] = t k= así que el inverso viene dado por: x [k] + t 1 k= T 1 (y[t]) = y[t] y[t 1] x [k] = 10. Sean S 1 y S dos s y sea S el resultante de su conexión en serie: S = S S 1 a) suponiendo que S 1 y S son ambos lineales, invariantes en el tiempo, estables y causales será también S lineal, invariante en el tiempo, estable y causal? Solución: Linealidad: S (S 1 (ax 1 [t]+bx [t]) = S (as 1 (x 1 [t])+bs 1 (x [t])) = (as S 1 (x 1 [t])+bs S 1 (x [t]) en el primer paso se usa que S 1 es lineal, y en el segundo que lo es S. En consecuencia, S es lineal. Invarianza en el tiempo: llamando y[t] = S 1 (), z[t] = S (y[t]) sabemos que ỹ[t k] = S 1 (x[t k]) y que z[t k] = S (y[t k]). Así que: S S 1 (x[t k]) = S (y[t k]) = z[t k] 16

17 con lo que el S es invariante en el tiempo. Causalidad: el mejor argumento para ver que S es causal utiliza las respuestas al impulso de los s. Si h 1, h son las respuestas al impulso de estos s, sabemos que h 1 y h son señales causales. Y la respuesta al impulso h de S S 1 es la convolución h h 1. Como la convolución de señales causales es una señal causal, concluimos que h (y por tanto también el S) es causal. b) si S 1 y S no son lineales es imposible que S sea lineal? Solución: Sí. Por ejemplo si S 1 () = +t y S () = t, entonces es fácil ver que ni S 1 ni S son lineales, pero que S S 1 () = S ( + t) = + t t = y el así obtenido S() = es trivialmente lineal. c) si S 1 y S no son invariantes en el tiempo es imposible que S sea invariante en el tiempo? Solución: Sí. Sirve el mismo ejemplo del apartado anterior. Convolución 1. Sea x una señal de duración finita, cuyo primer valor no nulo es x [6] = 3, y cuyo último valor no nulo es x [4] = 4. Si se considera la señal y [t] = (x x) [t] (es decir, y es la convolución de x consigo misma), en qué posición aparece el primer valor no nulo de y? cuál es su valor? qué se puede decir sobre el último valor no nulo de y? Solución: El primer valor no nulo es x[1] = 9. El último es x[48] = 16.. La convolución de dos señales de duración finita es siempre de duración finita. Si se hace la convolución de una secuencia de duración finita con una de duración infinita se obtiene siempre una señal de duración infinita? Solución: No. Considérese esta señal -periódica: x 1 [t] = (..., 0, 1, 0, 1, 0, 1,...) 17

18 (de duración infinita, por supuesto) y sea x [t] = δ[t] δ[t + ]. Entonces: (x 1 x )[t] = (δ[t] δ[t + ]) = x[t + ] Y al ser -periódica la señal, esta diferencia es 0 para todo t. Así que se ha obtenido una señal de duración finita. (Si no nos parece satisfactorio obtener un resultado nulo, es fácil modificar este ejemplo para obtener como resultado señales de duración arbitraria. 3. Encontrar la convolución de estas dos señales de duración finita: { x [t] = 1 t (u [t] u [t 6]) y [t] = sen ( ) πt (u [t + 3] u [t 4]) Solución: Se obtiene fácilmente a partir de esta descomposición en suma de deltas: x [t] = 1 (δ [t 1] + δ [t ] + 3δ [t 3] + 4δ [t 4] + 5δ [t 5] + 6δ [t 6]) y [t] = (δ [t + 3] δ[t + 1] + δ [t 1] δ [t 3]) (para la segunda téngase en cuenta que sen ( ) πt es 0 si t es par, y es ±1 si t es impar). 4. Hallar una fórmula (sin series, es decir sin sumas de infinitos términos) que exprese el valor de la convolución de estas dos señales { x [t] = ( 1 t 6 6) u [t] y [t] = ( 1 t 3) u [t 3] Solución: Ese ejercicio se podrá hacer con mucha más facilidad utilizando la transformada Z del siguiente capítulo. Sin usar la transformada se trata de hacer la suma: ( ) 1 k 6 ( ) 1 t k x[k]y[t k] = u [k] u [t k 3] 6 3 k= k= Es fácil ver que si t < 3 todos los s de esta suma son cero. Así que podemos suponer que t > 3. En ese caso u[k]u[t k 3] es 1 entre 0 y t 3, y 0 en cualquier otro caso. Así que la suma es: t 3 ( 1 k 6 ( 1 k=0 6) 3 ) ( t 6 6 ( 1 3 ( 1 ) t k = 6 6 ( 1 ) t ) 3 ) t t 3 ( 1 ) k k=0 = 6 6 ( ( ) 1 t 1 ( ) 1 t ) =

19 Y como esto es cierto si t 3 y el resultado es 0 en otro caso, podemos poner: ( ) ( 1 t ( ) ) 1 t x y[t] = 6 6 u[t 3] 3 Es un ejercicio interesante obtener este mismo resultado usando transformada Z y comparar los dos. 5. Un LTI tiene respuesta al impulso dada por h [t] = u [ t 1] Encontrar la señal de salida cuando la señal de entrada es: x [t] = t3 t u [ t] Solución: Hay que hacer la convolución y[t] = (h x)[t] = u[ t 1] ( t3 t u[ t]). Y aunque es mejor hacerlo usando transformada Z, se puede emplear la definición para poner: k= u[ (t k) 1]( k3 k u[ k]) Si t > todos los términos que aparecen en esta suma son nulos. Así que suponemos t y en ese caso el u[ (t k) 1]u[ k] es distinto de cero sólo si n + 1 k 0. Así que la suma que tenemos que hacer es ésta 0 k3 k k=t+1 que se puede hacer usando antidiferencias (por partes). Se obtiene finalmente: 3 y[t] = ( ) 1 t (t 1) si t en otro caso 6. Si la respuesta de un LTI a la señal escalón unitario u [t] es y [t] = t 19 ( ) 1 t u [t]

20 encontrar su respuesta al impulso. Solución: Puesto que T (u[t]) = t ( 1 t ) u[t], y el es LTI, se tiene: ( ) 1 t 1 T (u[t 1]) = (t 1) u[t 1] Y como u[t] u[t 1] = δ[t], tenemos: h[t] = T (δ[t]) = T (u[t]) T (u[t 1]) = t ( ) 1 t ( ) 1 t 1 u[t] (t 1) u[t 1] 7. Hallar la convolución de x [t] = (0,9) t u [t] con la señal rampa y [t] = tu [t] Solución: (x y)[t] = ( 10t ( ) ) 9 t u[t] Hallar la convolución de con x [t] = ( ) 1 t (u [t] u [t 101]) 3 y [t] = ( ) 1 t u [t] Solución: (x y)[t] = 0 t < 0 ( ) ( 1 t ( ) ) t t ( ) ( 1 t ( ) ) t

21 { α t 0 t Sea x [t] = 0 en otro caso Hallar la convolución x y. y sea y [t] = { α t 0 t 10 0 en otro caso. 10. La correlación de dos señales es una operación, similar a la convolución, definida así: x y = x [k] y [t + k] k= a) Hallar x y cuando x [t] = u [t] u [t 6] y h [t] = u [t ] u [t 5] b) Suponiendo α < 1, hallar la correlación de x [t] = α t u [t] consigo misma (ésto se conoce como la autocorrelación de x). 11. (a) Se sabe que la respuesta al impulso h [t] de un lineal e invariante en el tiempo vale cero excepto en el intervalo T 0 t T 1. Se sabe que la entrada x [t] es cero excepto en el intervalo T t T 3. Como resultado, la salida debe ser cero excepto en un intervalo T 4 t T 5. Determine T 4 y T 5 en función de T 0, T 1, T y T 3. Solución: T 4 = T 0 + T, T 5 = T 1 + T 3 (b) Si x [t] es cero excepto en T puntos consecutivos y h [t] es cero excepto en T puntos consecutivos, cuál es el máximo número de puntos consecutivos en los que la salida puede ser distinta de cero? Solución: Lo que nos están diciendo es que T 1 T 0 = T y que T 3 T = T. Así que T 5 T 4 = (T 1 + T 3 ) (T 0 + T ) = T + T 1. Evaluando directamente la suma de convolución, determine la respuesta al escalón de un LTI cuya respuesta al impulso es h [t] = a t u [ t], 0 < a < 1 Solución: y[t] = a t 1 a t < a t 0 1

22 13. Determine la salida de un lineal e invariante en el tiempo si la respuesta al impulso h [t] y la entrada x [t] son las siguientes a) x [t] = u [t] y h [t] = a t u [ t 1], con a > 1 b) x [t] = u [t 4] y h [t] = t u [ t 1] c) x [t] = u [t] y h [t] = 1 t u [ t] d) x [t] = u [t] u [t 10] y h [t] = t u [ t 1] e) x [t] = u [t] u [t 10] y h [t] = a t u [t] 14. Para cada una de las siguientes respuestas al impulso de s LTI indíquese si el correspondiente es o no causal. a) h [t] = ( 1 ) t u [t] b) h [t] = ( 1 t ) u [t 1] ) t c) h [t] = ( 1 d) h [t] = u [t + ] u [t ] e) h [t] = ( 1 3) t u [t] + 3 t u [ t 1] Solución: Sólo son causales los s para los que h[t] sea una señal causal. Es decir, que (a) y (b) son causales, pero el resto de los s no son causales. 15. En los siguientes ejercicios se da la respuesta al impulso desplazado δ [t k] de una serie de s lineales en tiempo discreto. Decidir si estos s son invariantes en el tiempo: a) T (δ [t k]) = (t k)u [t k] b) T (δ [t k]) = δ [t k] { δ [t k 1] si k es par c) T (δ [t k]) = 5u [t k] si k es impar Solución: Indicación: Si el es invariante en el tiempo será: T (δ[t k]) = h[t k]

23 para todo k. Además podemos obtener h[t] sin más que tomar k = 0 en las expresiones que nos han dado. Así por ejemplo en el segundo ejercicio h[t] = δ[t 0] = δ[t] Pero si ahora cambiamos t por t k en la expresión que hemos obtenido se llega a: δ[(t k)] = δ[t k] h[t k] = δ[t k] así que este no puede ser invariante en el tiempo. 16. Sea T un lineal (pero no necesariamente invariante en el tiempo), cuya respuesta al impulso desplazado δ [t k] viene dada por h [t k]. Cómo podemos saber a partir de h [t k] si el es estable? Y cómo si es causal? Solución: Se deduce de la suma de convolución: el es causal si h[t k] = 0 para t < k. 17. Supongamos que un lineal T tiene la siguiente propiedad: al recibir como entrada la señal u [t k], produce la salida s k [t] = kδ [t k] Hallar la respuesta del a la señal δ [t k]. Es un invariante en el tiempo? Es estable? Es causal? Solución: Usar que u[t k] u[t k 1] = δ[t k] y la linealidad del para obtener T (δ[t k]). A partir de aquí es fácil analizar el resto de las propiedades. 3

Tema 3. Secuencias y transformada z

Tema 3. Secuencias y transformada z Ingeniería de Control Tema 3. Secuencias y transformada z Daniel Rodríguez Ramírez Teodoro Alamo Cantarero Contextualización del tema Conocimientos que se adquieren en este tema: Concepto de secuencia

Más detalles

3. LA DFT Y FFT PARA EL ANÁLISIS FRECUENCIAL. Una de las herramientas más útiles para el análisis y diseño de sistemas LIT (lineales e

3. LA DFT Y FFT PARA EL ANÁLISIS FRECUENCIAL. Una de las herramientas más útiles para el análisis y diseño de sistemas LIT (lineales e 3. LA DFT Y FFT PARA EL AÁLISIS FRECUECIAL Una de las herramientas más útiles para el análisis y diseño de sistemas LIT (lineales e invariantes en el tiempo), es la transformada de Fourier. Esta representación

Más detalles

LABORATORIO DE SEÑALES Y SISTEMAS PRACTICA 1

LABORATORIO DE SEÑALES Y SISTEMAS PRACTICA 1 LABORATORIO DE SEÑALES Y SISTEMAS PRACTICA CURSO 005-006 PRÁCTICA SEÑALES Y SISTEMAS CONTINUOS Las presente practica trata distintos aspectos de las señales y los sistemas en tiempo continuo. Los diferentes

Más detalles

Ortogonalidad y Series de Fourier

Ortogonalidad y Series de Fourier Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se

Más detalles

2.6. La integral de convolución

2.6. La integral de convolución 2.6. La integral de convolución 141 2.6. La integral de convolución La convolución entre dos funciones es un concepto físico importante en muchas ramas de la ciencia. Sin embargo, como sucede con muchas

Más detalles

Introducción a la Teoría del Procesamiento Digital de Señales de Audio

Introducción a la Teoría del Procesamiento Digital de Señales de Audio Introducción a la Teoría del Procesamiento Digital de Señales de Audio Transformada de Fourier Resumen el análisis de Fourier es un conjunto de técnicas matemáticas basadas en descomponer una señal en

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICION La transformada de Laplace es una ecuación integral que involucra para el caso específico del desarrollo de circuitos, las señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia,

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Tema II: Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace

Tema II: Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace Tema II: Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace La transformada de Laplace... 29 Concepto e interés práctico... 29 Definición... 30 Observaciones... 30 Transformadas de Laplace funcionales...

Más detalles

Análisis de Sistemas Lineales: segunda parte

Análisis de Sistemas Lineales: segunda parte UCV, Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería Eléctrica. Análisis de Sistemas Lineales: segunda parte Ebert Brea 7 de marzo de 204 Contenido. Análisis de sistemas en el plano S 2. Análisis de sistemas

Más detalles

APÉNDICE I.1: LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

APÉNDICE I.1: LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN APÉNDICE I.1: LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN La función de producción agregada de una economía describe cómo el stock de capital (K) y el trabajo (L) empleado, generan la producción total de dicha economía.

Más detalles

Teoremas de la función implícita y de la función inversa

Teoremas de la función implícita y de la función inversa Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos

Más detalles

Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i.

Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i. Filtros Digitales Un filtro general de respuesta al impulso finita con n etapas, cada una con un retardo independiente d i y ganancia a i. En electrónica, ciencias computacionales y matemáticas, un filtro

Más detalles

Matlab para Análisis Dinámico de Sistemas

Matlab para Análisis Dinámico de Sistemas Matlab para Análisis Dinámico de Sistemas Análisis Dinámico de Sistemas, curso 26-7 7 de noviembre de 26 1. Introducción Para usar las funciones aquí mencionadas se necesita Matlab con el paquete de Control

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ) La ecuación de un M.A.S. es x(t) cos 0t,, en la que x es la elongación en cm y t en s. Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el período de este

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

Introducción a la Teoría del Procesamiento Digital de Señales de Audio

Introducción a la Teoría del Procesamiento Digital de Señales de Audio Introducción a la Teoría del Procesamiento Digital de Señales de Audio Transformada de Fourier Discreta Resumen Propiedades de la Transformada de Fourier Linealidad Comportamiento de la fase Naturaleza

Más detalles

Problemas de Complementos de Matemáticas. Curso 01/02

Problemas de Complementos de Matemáticas. Curso 01/02 Problemas de Complementos de Matemáticas. Curso /2.- Resolver las E.D.O. lineales de primer orden siguientes y los problemas de condiciones x + 3x/t = 6t 2 x + 3x = 3t 2 e 3t t 4 x + 2t 3 x = tx + (tx

Más detalles

Modelos económicos discretos versus continuos: un estudio comparativo a través de la amortización de hipotecas

Modelos económicos discretos versus continuos: un estudio comparativo a través de la amortización de hipotecas Modelos económicos discretos versus continuos: un estudio comparativo a través de la amortización de hipotecas Apellidos, nombre Departamento Centro Cortés López, Juan Carlos; Romero Bauset, José Vicente;

Más detalles

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS 3FUNCIONES LOGARÍTMICAS Problema 1 Si un cierto día, la temperatura es de 28, y hay mucha humedad, es frecuente escuchar que la sensación térmica es de, por ejemplo, 32. La sensación térmica depende de

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

2.1 Sistemas discretos en tiempo. 2.1.1 Sistemas lineales. 2.1.2 Sistemas invariantes en tiempo

2.1 Sistemas discretos en tiempo. 2.1.1 Sistemas lineales. 2.1.2 Sistemas invariantes en tiempo 2.1 stemas discretos en tiempo Un sistema discreto en el tiempo se define matemáticamente como la transformación o el operador que traza una secuencia de entrada con valores x[n], en una secuencia de salida

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Señales y Análisis de Fourier

Señales y Análisis de Fourier 2 Señales y Análisis de Fourier En esta práctica se pretende revisar parte de la materia del tema 2 de la asignatura desde la perspectiva de un entorno de cálculo numérico y simulación por ordenador. El

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Límites y continuidad 1. Límite de funciones de dos variables Hasta ahora hemos evitado entrar en la

Más detalles

82 2. Análisis de Fourier. Fig. 2.9. Área de los lóbulos de la función sinc( ). 2/a dx+ +

82 2. Análisis de Fourier. Fig. 2.9. Área de los lóbulos de la función sinc( ). 2/a dx+ + 82 2. Análisis de Fourier Fig. 2.9. Área de los lóbulos de la función sinc( ). sen(πax)/(πn) para (n )/a x n/a. Entonces sen(πax) /a 0 πax dx sen(πax) 2/a π dx+ sen(πax) 2π dx+ + 0 /a = n/a π sen(πax)

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES

FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración

Más detalles

1 Introducción 5. 4 Lugar de las raíces 28 4.0.3 Reglas generales para la construcción de los lugares geométrico de la raíz. 28

1 Introducción 5. 4 Lugar de las raíces 28 4.0.3 Reglas generales para la construcción de los lugares geométrico de la raíz. 28 Contents Introducción 5 2 Transformada Z 7 2. Propiedades de la transformada Z... 9 2.2 La transformada Z inversa... 3 2.2. Métododeladivisióndirecta... 4 2.2.2 Métododeexpansiónenfraccionesparciales...

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Función de transferencia

Función de transferencia Función de transferencia La función de transferencia es la forma básica de describir modelos de sistemas lineales que se emplea en este curso. Basada en la transformación de Laplace, de la que se presentará

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores son no nulos

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace

Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales Tema 2. Trasformada de Laplace Ester Simó Mezquita Matemática Aplicada IV 1 1. Transformada de Laplace de una función admisible 2. Propiedades básicas de la transformada de Laplace

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Conversión Analógica-a-Digital

Conversión Analógica-a-Digital Conversión Analógica-a-Digital OBJEIVOS: Comprender la conversión de señales analógicas a digitales, analizando las modificaciones que se producen con este proceso. Fundamentalmente, las "réplicas" en

Más detalles

TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE. E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicación Universidad de Valladolid.

TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE. E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicación Universidad de Valladolid. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE. Marcos Martín Fernández E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicación Universidad de Valladolid. CONTENIDOS INDICE. DE FIGURAS VII 1. ELEMENTOS DE UN SISTEMA BINARIO EN

Más detalles

33 El interés compuesto y la amortización de préstamos.

33 El interés compuesto y la amortización de préstamos. 33 El interés compuesto y la amortización de préstamos. 33.0 El interés compuesto. 33.0.0 Concepto. 33.0.02 Valor actualizado de un capital. 33.0.03 Tiempo equivalente. 33.02 Amortización de préstamos.

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Ejercicios de Macroeconomía Avanzada

Ejercicios de Macroeconomía Avanzada Ejercicios de Macroeconomía Avanzada José L Torres Chacón Departamento de Teoría e Historia Económica Universidad de Málaga Septiembre 200 ii Indice I Sistemas dinámicos básicos 5 Introducción a la dinámica

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies.

Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Puede ser conveniente la visualización en pantalla

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real).

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real). Tema 5 Integral Indefinida 5.1 Introducción Dedicaremos este tema a estudiar el concepto de Integral Indefinida y los métodos más habituales para calcular las integrales indefinidas. De una manera intuitiva

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION RAFAEL POTRIE Resumen. La idea es dar una prueba elemental del Teorema de invariancia de la dimension que afirma que si U R n es un abierto homeomorfo

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

Página 1 de 16 TRANSFORMADA DE FOURIER Y EL ALGORITMO FFT INTRODUCCION

Página 1 de 16 TRANSFORMADA DE FOURIER Y EL ALGORITMO FFT INTRODUCCION Página 1 de 16 FCEFy Universidad acional de Cordoba ITRODUCCIO El estudio de las señales cotidianas en el dominio de la frecuencia nos proporciona un conocimiento de las características frecuenciales de

Más detalles

Comunicaciones Digitales - Ejercicios Tema 3

Comunicaciones Digitales - Ejercicios Tema 3 Comunicaciones Digitales - Ejercicios Tema 3 007. 1. Considere el diagrama de rejilla para un canal discreto equivalente genérico con 4 coeficientes no nulos (memoria K p = 3) y una constelación -PAM.

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales 775 Análisis matemático para Ingeniería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 1 Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales En este capítulo se inicia el estudio de lo que se

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas: 1. Descomposición LU. 2. Método de Gauss-Seidel. Se trata de dos importantes herramientas

Más detalles

Apunte 2 - Procesamiento de señales

Apunte 2 - Procesamiento de señales Apunte 2 - Procesamiento de señales Este apunte está constituido por extractos de algunos textos sobre procesamiento de señales, principalmente, aunque no exclusivamente, el de Proakis y Manolakis. Para

Más detalles

CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA

CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA SECCIONES A. Integrales inmediatas. B. Integración por sustitución. C. Integración por partes. D. Integración por fracciones simples. E. Aplicaciones de la integral

Más detalles

Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de estabilidad

Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de estabilidad Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de estabilidad Vemos que la región estable es el interior del circulo unidad, correspondiente a todo el semiplano izquierdo en s. El eje imaginario

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas CÁLCULO DIFERENCIAL Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial UNIDAD 1 2. Funciones y modelos 2.1.

Más detalles

Conceptos de señales y sistemas

Conceptos de señales y sistemas Conceptos de señales y sistemas Marta Ruiz Costa-jussà Helenca Duxans Barrobés PID_00188064 CC-BY-NC-ND PID_00188064 Conceptos de señales y sistemas Los textos e imágenes publicados en esta obra están

Más detalles

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3. ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN

Más detalles

Límites. Definición de derivada.

Límites. Definición de derivada. Capítulo 4 Límites. Definición de derivada. 4.1. Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones

Más detalles

RELACIONES DE RECURRENCIA

RELACIONES DE RECURRENCIA Unidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA 60 Capítulo 5 RECURSIÓN Objetivo general Conocer en forma introductoria los conceptos propios de la recurrencia en relación con matemática discreta. Objetivos específicos

Más detalles

Conjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación.

Conjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación. Conjuntos Numéricos Axiomas de los números La matemática se rige por ciertas bases, en la que descansa toda la matemática, estas bases se llaman axiomas. Cuántas operaciones numéricas conocen? La suma

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Problemas indecidibles

Problemas indecidibles Capítulo 7 Problemas indecidibles 71 Codificación de máquinas de Turing Toda MT se puede codificar como una secuencia finita de ceros y unos En esta sección presentaremos una codificación válida para todas

Más detalles

Procesos de Media Móvil y ARMA

Procesos de Media Móvil y ARMA Capítulo 4 Procesos de Media Móvil y ARMA Los procesos AR no pueden representar series de memoria muy corta, donde el valor actual de la serie sólo está correlado con un número pequeño de valores anteriores

Más detalles

Generación de Números Aleatorios Uniformes

Generación de Números Aleatorios Uniformes Capítulo 5 Generación de Números Aleatorios Uniformes Vimos en el capítulo sobre repaso de distribuciones de probabilidad, lo que es una distribución uniforme. Pero podemos encontrar un método o experimento

Más detalles

3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL

3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL 11 ÍNDICE INTRODUCCIÓN 13 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 19 Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm. Ley de Joule. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff.

Más detalles

Convolución y Convolución Discreta Definición de convolución Cuando hemos aplicado, en el apartado anterior, una función ventana o hemos muestreado una función dada, implícitamente hemos estado efectuando

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Representación de señales y sistemas en el dominio de la frecuencia

Representación de señales y sistemas en el dominio de la frecuencia Representación de señales y sistemas en el dominio de la frecuencia Modulación y Procesamiento de Señales Ernesto López Pablo Zinemanas, Mauricio Ramos {pzinemanas, mramos}@fing.edu.uy Centro Universitario

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso Asignatura 2014/2015 MATEMÁTICAS II 1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad La siguiente relación de objetivos,

Más detalles

Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales

Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales Alberto Cabada Fernández 4 de diciembre de. Índice general Introducción I. Ecuaciones de primer orden.. Método de las bandas características...................

Más detalles

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002.

Equipo Docente de Fundamentos Físicos de la Informática. Dpto.I.I.E.C.-U.N.E.D. Curso 2001/2002. TEMA 11. FENÓMENOS TRANSITORIOS. 11 Fenómenos transitorios. Introducción. 11.1. Evolución temporal del estado de un circuito. 11.2. Circuitos de primer y segundo orden. 11.3. Circuitos RL y RC en régimen

Más detalles

Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α.

Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α. Engrape aqu ı No doble Álgebra II, licenciatura. Examen parcial I. Variante α. Operaciones con matrices. Sistemas de ecuaciones lineales. Nombre: Calificación ( %): examen escrito tarea 1 tarea 2 asist.+

Más detalles

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

Capítulo 7 Modulación de Pulsos

Capítulo 7 Modulación de Pulsos 237 Capítulo 7 Modulación de Pulsos Introducción Las modulaciones de amplitud, frecuencia y fase tratadas en los capítulos anteriores se designan genéricamente como modulaciones de onda continua, en que

Más detalles

TEMA II TRANSFORMADAS DE LAPLACE. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. 2.1.-Introducción. 2.2.-Transformada de Laplace. 2.3.-Transformada Inversa de Laplace.

TEMA II TRANSFORMADAS DE LAPLACE. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. 2.1.-Introducción. 2.2.-Transformada de Laplace. 2.3.-Transformada Inversa de Laplace. TEMA II TRANSFORMADAS DE LAPLACE. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 2.1.-Introducción. 2.2.-Transformada de Laplace. 2.3.-Transformada Inversa de Laplace. 2.4.-Análisis de Circuitos en el dominio de Laplace.

Más detalles

El Cálculo Integral- 2 parte.

El Cálculo Integral- 2 parte. El Cálculo Integral- 2 parte. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Para la resolución de integrales se utilizan diferentes artificios de cálculo, cuyo objeto es transformar la expresión a integrar en otra, u otras,

Más detalles