Complementos de matemáticas. Curso

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1 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería Técnica Industrial Complementos de matemáticas. Curso Colección de ejercicios del tema 1 Las soluciones aparecen en color azul, y si disponéis de la posibilidad de imprimir este documento en color os lo recomiendo para facilitar el trabajo. Gracias a vuestra colaboración vamos reduciendo cada curso los errores que contiene este fichero, pero todavía pueden quedar algunos. Os pido disculpas por adelantado, y os agradezco por adelantado vuestra ayuda. De esa forma haremos más fácil el trabajo a vuestros compañeros. Señales en tiempo discreto 1. Dada la señal dibujar las señales: 1 1 t 1 x [t] = 3 t 4 0 en otro caso (a) x [t ] (b) x [4 t] (c) x [t + ] (d) x [n] u [ t] (e) x [t 1] δ [t 3]. Demostrar que: a) δ [t] = u [t] u [t 1] b) u [t] = 0 k= δ [t + k] = δ [t k] k=0 3. Determinar si las siguientes señales son o no periódicas y, en el caso de que lo sean, encontrar su período fundamental. a) x [t] = cos ( ) πt 8 ( ) πa Solución: En cualquier señal de la forma sen B t (con A, B naturales) se puede calcular el período fundamental N mediante la expresión: N = B A k con k N 1

2 Se debe buscar el menor valor (no nulo) de k que hace que N sea un número natural. En este ejemplo (A = 1, B = 8) sería: N = 8 1 k y tomando k = 1 se obtiene el período fundamental N = 16. b) x [t] = sen ( π + t ) 10 Solución: No es periódica. ( sen π + t ) ( ) ( ) ( ) t t t = sen (π) cos +cos (π) sen = sen Y es evidente ahora que no es periódica. c) x [t] = e iπt/16 cos ( ) πt 17 Solución: e iπt/16 cos ( ) πt = e iπt/16 1 ) (e πit 17 + e πit 17 = 1 17 Y ahora es fácil ver que esas señales tienen período πit πit e 7 + e7 4. Descomponer las siguientes señales en suma de una señal par (que cumple y[ t] = y[t]) y una impar (que cumple y[ t] = y[t]): a) x [t] = u [t] b) x [t] = α t u [t] Solución: Dada una señal cualquiera, si se define: x P [t] = + x[ t], x I [t] = x[ t], entonces obviamente = x P [t] + x I [t], x P [t] es una señal par y x I [t] es una señal impar. En este ejemplo eso significa que hacemos: u[t] = (..., 1, 1, 1, 1, 1 ) (, , 1, 1, 0, 1, 1 ),...

3 5. Si x 1 [t] es una señal par y x [t] es una señal impar, su x [t] = x 1 [t] x [t] es par, impar o ninguna de ambas? Solución: Es x[ t] = x 1 [ t]x [ t] = x 1 [t]( x [t]) =, así que x es impar. 6. Dada la señal hacer un dibujo aproximado de: a) y 1 [t] = x [4 t] b) y [t] = x [t 3] c) y 3 [t] = x [8 3t] d) y 4 [t] = x [ t t + 1 ] x [t] = (6 t) (u [t] u [t 6]) 7. La potencia P de una señal x [t] (con valores reales) se define así, como la suma de los cuadrados de los valores de la señal: P (x [t]) = (x [t]) Dada la señal a) Hallar la suma x [t] = A = b) Calcular la potencia de x [t] t= ( ) 3 t u [ t] t= x [t] c) Si se usa x como entrada para el definido por y [t] = tx [t], calcular la potencia de la señal de salida y [t]. Solución: Para el cálculo de la potencia ( ( ) 3 t t= ) u [ t] = 0 ( 3 ) t t= = 9 5 (Teniendo en cuenta la definición de u[t]) Para calcular la potencia de la señal de salida y[t] hay que hacer la suma: ( ( ) ) 3 t ( 0 ( ) ) 3 t t u [ t] = t = t= 3 t=

4 Se trata de una suma aritmético geométrica, un poco más difícil que las que hemos hecho hasta ahora, pero muy fácil si se aplican los métodos del siguiente capítulo. 8. Descomponer la señal 1 t = 0 t = 1 x [t] = 3 t = 0 en otro caso como suma de impulsos desplazados con peso δ[t k]. Solución: Se obtiene = δ[t] + δ[t 1] + 3δ[t ] Sistemas en tiempo discreto 1. Dado el T mediante y [t] = T (x [t]) = x [ t ] a) determine si es invariante en el tiempo. b) para ilustrar el resultado del apartado a. considere que la señal de entrada es { 1, 0 t 3 x [t] = 0, en el resto Entonces: (1) dibuje la señal () calcule la señal de salida correspondiente y [t] = T (x [t]) (3) calcular la señal desplazada y [t ] (4) calcule la señal desplazada x [t] = x [t ]. (5) encuentre la señal y [t] = T (x [t]) (6) compare y [t] con y [t ]. cuál es la conclusión? c) Repetir los dos apartados anteriores para el dado por y [t] = T (x [t]) = x [t] x [t 1]. Para cada uno de los s siguientes determine si son (1) estables, () causales, (3) lineales, (4) invariantes en el tiempo. a) T (x [t]) = g [t] x [t] con g [t] una señal fija dada. Solución: El es claramente causal: sólo se usan el valor 4

5 de x en t para calcular la salida en t. No es invariante porque se tiene: x[t k] g[t] g[t]x[t k] g[t k]x[t k] Por otra parte, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { x1 [t]g[t] (x 1 [t] + x [t])g[t] x [t]g[t] suma x 1 [t]g[t] + x [t]g[t] y como los dos resultados son iguales, pasamos a comprobar si es homogéneo. a ag[t] g[t] ag[t] Así que el es lineal. b) T (x [t]) = t k=t 0 x [k] Solución: No es invariante porque se tiene: x[t k] t x[p k] p=t 0 t t k x[p] x[p] p=t 0 p=t 0 5

6 Y como puede verse en un caso se suma desde t 0 hasta t k y en el otro desde t 0 k hasta t k. Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] t x 1 [p] p=t 0 t x [p] p=t 0 t (x 1 [p] + x [p]) p=t 0 suma t x 1 [p] + t x [p] p=t 0 p=t 0 Pasamos a comprobar si es homogéneo. t a ax[p] p=t 0 t x[p] a t x[p] p=t 0 p=t 0 Así que el es lineal. c) T (x [t]) = t+t 0 x [k] k=t t 0 Solución: No es causal, porque para calcular la salida en t se usan valores posteriores como x[t + t 0 ]. Es invariante porque se tiene: x[t k] t+t 0 p=t t 0 x[p] t+t 0 x[p k] p=t t 0 t k+t 0 x[p] p=t k t 0 6

7 Y en ambos casos se suman los valores de x desde t k t 0 hasta t k + t 0. Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] t+t 0 x 1 [p] p=t t 0 t+t 0 x [p] p=t t 0 t+t 0 p=t t 0 (x 1 [p] + x [p]) suma t+t 0 x 1 [p] + t+t0 x [p] p=t t 0 p=t t 0 Pasamos a comprobar si es homogéneo. t+t 0 a ax[p] p=t t 0 t+t 0 x[p] a t+t0 p=t t 0 Así que el es lineal. d) T (x [t]) = x [t t 0 ] Solución: Si t 0 0 es causal, si t 0 < 0 no lo es. Es invariante porque se tiene: p=t t 0 x[p] x[t k] x[t k t 0 ] x[t t 0 ] x[t k t 0 ] 7

8 Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] (x 1 [t t 0 ] + x [t t 0 ]) suma x 1, x [t] { x1 [t t0 ] x [t t 0 ] suma x 1 [t t 0 ] + x [t t 0 ] Pasamos a comprobar si es homogéneo. a ax[t t 0 ] x[t t 0 ] ax[t t 0 ] Así que el es lineal. e) T (x [t]) = e Solución: Es causal, porque sólo se necesita el valor. Es invariante porque se tiene: x[t k] e Para la linealidad, dadas dos señales: e x[t k] e x[t k] x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { e x 1 [t] e x [t] suma e (x 1[t]+x [t]) e x 1[t] + e x [t] Así que no es lineal. 8

9 f ) T (x [t]) = ax [t] + b Solución: Es causal, sólo se usa. Es invariante porque se tiene: x[t k] ax[t k] + b a + b ax[t k] + b Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { ax1 [t] + b ax [t] + b a(x 1 [t] + x [t]) + b suma ax 1 [t] + b + ax [t] + b Así que no es lineal (se obtiene b en lugar de b). g) T (x [t]) = x [ t] Solución: No es causal, porque por ejemplo para calcular y[ 1] se usa x[1], que es posterior. No es invariante porque se tiene: x[t k] x[ t k] x[ t] x[ (t k)] que no es lo mismo. Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] x 1 [ t] + x [ t] suma x 1, x [t] { x1 [ t] x [ t] suma x 1 [ t] + x [ t] 9

10 Comprobamos la homogeneidad: Así que es lineal. a ax[ t] x[ t] ax[ t] h) T (x [t]) = x [t] + 3u [t + 1] Solución: Es causal. No es invariante porque se tiene: x[t k] x[t k] + 3u[t + 1] + 3u[t + 1] x[t k] + 3u[t k + 1] Para la linealidad, dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] x 1 [t] + x [t] + 3u[t + 1] suma x 1, x [t] { x1 [t] + 3u[t + 1] x [t] + 3u[t + 1] suma x 1 [t] + x [t] + 6u[t + 1] Luego no es lineal. 3. Un lineal es a la vez aditivo: y homogéneo: T (x 1 [t] + x [t]) = T (x 1 [t]) + T (x [t]) T (a) = at () Dar un ejemplo de un homogéneo pero no aditivo. Solución: Tomar por ejemplo: T () = () x[t 1] 10

11 Entonces Pero desde luego T (a) = (a) ax[t 1] = a () = at () x[t 1] T (x [ t] + x [t]) = (x 1[t] + x [t]) x 1 [t 1] + x [t 1] no tiene nada que ver con T (x 1 [t]) + T (x [t]) 4. Para cada uno de los siguientes s x [t] es la señal de entrada e y [t] es la señal de salida. Determinar cuáles de estos s son homogéneos, cuáles son aditivos y cuáles son lineales. a) y [t] = log (x [t]) Solución: Dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] { log x1 [t] log(x 1 [t] + x [t]) log x [t] suma log x 1 [t] + log x [t] Luego no es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: a log(a) log a log Así que tampoco es homogéneo, y desde luego no es lineal. b) y [t] = 6x [t + ] + 4x [t + 1] + x [t] + 1 Solución: Es fácil comprobar que no es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: a 6ax[t + ] + 4ax[t + 1] + a + 1 6x[t + ] + 4x[t + 1] ax[t + ] + 4ax[t + 1] + xa[t] + a 11

12 Así que tampoco es homogéneo, y desde luego no es lineal. (x [t + 1] x [t 1]) c) y [t] = 6x [t] + x [t] Solución: Se comprueba fácilmente que no es aditivo. En cuanto a la homogeneidad: a 6x [t] + 6ax [t] + (ax [t + 1] ax [t 1]) ax [t] (x [t + 1] x [t 1]) x [t] (x [t + 1] x [t 1]) 6ax [t] + a x [t] Este es por tanto homogéneo, sin ser aditivo. d) y [t] = x [t] sen π t Solución: Dadas dos señales: x 1 [t] + x [t] suma x 1, x [t] x 1 [t] sen πt x [t] sen πt Es aditivo. Comprobamos la homogeneidad: a (x 1 [t] + x [t]) sen πt suma x 1 [t] sen πt + x [t] sen πt a sen πt sen πt a sen πt También es homogéneo, y por tanto es lineal. 5. Estudiar si los siguiente s son invariantes en el tiempo: 1

13 a) y [t] = x [t] + x [t 1] + x [t ] Solución: Es invariante porque se tiene: x[t k] x[t k] + x[t k 1] + x[t k ] + x[t 1] + x[t ] x[t k] + x[t k 1] + x[t k ] b) y [t] = x [t] u [t] Solución: No es invariante: x[t k] u[t] x[t k]u[t] x[t k]u[t k] c) y [t] = t k= x [k] Solución: Es invariante: x[t k] t p= x[p k] t p= x[p] t k p= x[p] y es fácil comprobar que en ambos casos se suman los valores de x desde hasta t k. d) y [t] = x [ t ] Solución: No es invariante: x[t k] x[t k] x[t ] x[(t k) ] 13

14 e) y [t] = x [ t] Ya lo hemos hecho antes. 6. Supongamos que un viene dado y [t] = x[k]x[t + k] k= Estudiar si este es (a) lineal (b) invariante en el tiempo (c)estable (d) causal. Solución: El es claramente no causal: para calcular la salida en t se usan todos los valores de x. No es invariante porque se tiene: x[t k] p= x[p]x[t + p] p= x[p k]x[t + p k] p= x[p]x[t k + p] Es fácil ver que el no es lineal, porque la señal x se multiplica por si misma. 7. Estudiar cuáles de los siguientes s son causales: a) y [t] = x [t] u [t] b) y [t] = x [ t ] c) y [t] = x [t] + x [ 3] + x [t 10] d) y [t] = x [t] x [ t t ] e) y [t] = 10 f ) k=1 x [t k] y [t] = x [t k] k=t Solución: Para estudiar la causalidad hay que plantearse si al calcular y[t] se emplea algún valor de x en instantes posteriores a t. Con esta idea, es fácil ver que (b) y (d) no son causales. En cuanto a (f), es un poco más difícil darse cuenta, pero tampoco es causal. Por ejemplo, y[ 1] = x [ 1 k] = x[0] + x[ 1] + x[ ] + k= 1 14

15 8. Estudiar cuáles de los siguientes s son causales: a) y [t] = x [t] b) y [t] = e x [t 1] c) y [t] = cos x [t] d) y [t] = t k= x [k] e) y [t] = log (1 + x [t] ) ( ) πt f ) y [t] = x [ t ] cos 8 Solución: El último es el único no causal. 9. Estudiar cuáles de los siguientes s T son invertibles. Es decir, para cuáles de ellos existe un S (el inverso de T ) tal que si y[t] = T () entonces = S(y[t]) Dicho intuitivamente, S deshace lo que hizo T. a) y [t] = x [t] Solución: Para obtener el inverso de un en general hay que hacerse esta pregunta: puedo recuperar a partir de y[t]? En este primer caso es fácil ver que sí y que el inverso viene dado por: T 1 (y[t]) = y[t] b) y [t] = tx [t] Solución: Nos gustaría decir que el inverso viene dado por: T 1 (y[t]) = y[t] t pero un poco de reflexión permite entender que esto no nos permite recuperar el valor de x[0]. Así que el no tiene inverso. 15

16 c) y [t] = x [t] x [t 1] Solución: El calcula algo semejante a una diferencia, y las diferencias no se dejan invertir completamente. Ocurre como con las derivadas y las primitivas. Una función tiene infinitas primitivas, que se diferencian en el valor de la constante de integración. Con la antidiferencia ocurre lo mismo, hay infinitas antidiferencias, y eso impide invertir el. d) y [t] = t x [k] k= Solución: Obsérvese que y[t] y[t 1] = t k= así que el inverso viene dado por: x [k] + t 1 k= T 1 (y[t]) = y[t] y[t 1] x [k] = 10. Sean S 1 y S dos s y sea S el resultante de su conexión en serie: S = S S 1 a) suponiendo que S 1 y S son ambos lineales, invariantes en el tiempo, estables y causales será también S lineal, invariante en el tiempo, estable y causal? Solución: Linealidad: S (S 1 (ax 1 [t]+bx [t]) = S (as 1 (x 1 [t])+bs 1 (x [t])) = (as S 1 (x 1 [t])+bs S 1 (x [t]) en el primer paso se usa que S 1 es lineal, y en el segundo que lo es S. En consecuencia, S es lineal. Invarianza en el tiempo: llamando y[t] = S 1 (), z[t] = S (y[t]) sabemos que ỹ[t k] = S 1 (x[t k]) y que z[t k] = S (y[t k]). Así que: S S 1 (x[t k]) = S (y[t k]) = z[t k] 16

17 con lo que el S es invariante en el tiempo. Causalidad: el mejor argumento para ver que S es causal utiliza las respuestas al impulso de los s. Si h 1, h son las respuestas al impulso de estos s, sabemos que h 1 y h son señales causales. Y la respuesta al impulso h de S S 1 es la convolución h h 1. Como la convolución de señales causales es una señal causal, concluimos que h (y por tanto también el S) es causal. b) si S 1 y S no son lineales es imposible que S sea lineal? Solución: Sí. Por ejemplo si S 1 () = +t y S () = t, entonces es fácil ver que ni S 1 ni S son lineales, pero que S S 1 () = S ( + t) = + t t = y el así obtenido S() = es trivialmente lineal. c) si S 1 y S no son invariantes en el tiempo es imposible que S sea invariante en el tiempo? Solución: Sí. Sirve el mismo ejemplo del apartado anterior. Convolución 1. Sea x una señal de duración finita, cuyo primer valor no nulo es x [6] = 3, y cuyo último valor no nulo es x [4] = 4. Si se considera la señal y [t] = (x x) [t] (es decir, y es la convolución de x consigo misma), en qué posición aparece el primer valor no nulo de y? cuál es su valor? qué se puede decir sobre el último valor no nulo de y? Solución: El primer valor no nulo es x[1] = 9. El último es x[48] = 16.. La convolución de dos señales de duración finita es siempre de duración finita. Si se hace la convolución de una secuencia de duración finita con una de duración infinita se obtiene siempre una señal de duración infinita? Solución: No. Considérese esta señal -periódica: x 1 [t] = (..., 0, 1, 0, 1, 0, 1,...) 17

18 (de duración infinita, por supuesto) y sea x [t] = δ[t] δ[t + ]. Entonces: (x 1 x )[t] = (δ[t] δ[t + ]) = x[t + ] Y al ser -periódica la señal, esta diferencia es 0 para todo t. Así que se ha obtenido una señal de duración finita. (Si no nos parece satisfactorio obtener un resultado nulo, es fácil modificar este ejemplo para obtener como resultado señales de duración arbitraria. 3. Encontrar la convolución de estas dos señales de duración finita: { x [t] = 1 t (u [t] u [t 6]) y [t] = sen ( ) πt (u [t + 3] u [t 4]) Solución: Se obtiene fácilmente a partir de esta descomposición en suma de deltas: x [t] = 1 (δ [t 1] + δ [t ] + 3δ [t 3] + 4δ [t 4] + 5δ [t 5] + 6δ [t 6]) y [t] = (δ [t + 3] δ[t + 1] + δ [t 1] δ [t 3]) (para la segunda téngase en cuenta que sen ( ) πt es 0 si t es par, y es ±1 si t es impar). 4. Hallar una fórmula (sin series, es decir sin sumas de infinitos términos) que exprese el valor de la convolución de estas dos señales { x [t] = ( 1 t 6 6) u [t] y [t] = ( 1 t 3) u [t 3] Solución: Ese ejercicio se podrá hacer con mucha más facilidad utilizando la transformada Z del siguiente capítulo. Sin usar la transformada se trata de hacer la suma: ( ) 1 k 6 ( ) 1 t k x[k]y[t k] = u [k] u [t k 3] 6 3 k= k= Es fácil ver que si t < 3 todos los s de esta suma son cero. Así que podemos suponer que t > 3. En ese caso u[k]u[t k 3] es 1 entre 0 y t 3, y 0 en cualquier otro caso. Así que la suma es: t 3 ( 1 k 6 ( 1 k=0 6) 3 ) ( t 6 6 ( 1 3 ( 1 ) t k = 6 6 ( 1 ) t ) 3 ) t t 3 ( 1 ) k k=0 = 6 6 ( ( ) 1 t 1 ( ) 1 t ) =

19 Y como esto es cierto si t 3 y el resultado es 0 en otro caso, podemos poner: ( ) ( 1 t ( ) ) 1 t x y[t] = 6 6 u[t 3] 3 Es un ejercicio interesante obtener este mismo resultado usando transformada Z y comparar los dos. 5. Un LTI tiene respuesta al impulso dada por h [t] = u [ t 1] Encontrar la señal de salida cuando la señal de entrada es: x [t] = t3 t u [ t] Solución: Hay que hacer la convolución y[t] = (h x)[t] = u[ t 1] ( t3 t u[ t]). Y aunque es mejor hacerlo usando transformada Z, se puede emplear la definición para poner: k= u[ (t k) 1]( k3 k u[ k]) Si t > todos los términos que aparecen en esta suma son nulos. Así que suponemos t y en ese caso el u[ (t k) 1]u[ k] es distinto de cero sólo si n + 1 k 0. Así que la suma que tenemos que hacer es ésta 0 k3 k k=t+1 que se puede hacer usando antidiferencias (por partes). Se obtiene finalmente: 3 y[t] = ( ) 1 t (t 1) si t en otro caso 6. Si la respuesta de un LTI a la señal escalón unitario u [t] es y [t] = t 19 ( ) 1 t u [t]

20 encontrar su respuesta al impulso. Solución: Puesto que T (u[t]) = t ( 1 t ) u[t], y el es LTI, se tiene: ( ) 1 t 1 T (u[t 1]) = (t 1) u[t 1] Y como u[t] u[t 1] = δ[t], tenemos: h[t] = T (δ[t]) = T (u[t]) T (u[t 1]) = t ( ) 1 t ( ) 1 t 1 u[t] (t 1) u[t 1] 7. Hallar la convolución de x [t] = (0,9) t u [t] con la señal rampa y [t] = tu [t] Solución: (x y)[t] = ( 10t ( ) ) 9 t u[t] Hallar la convolución de con x [t] = ( ) 1 t (u [t] u [t 101]) 3 y [t] = ( ) 1 t u [t] Solución: (x y)[t] = 0 t < 0 ( ) ( 1 t ( ) ) t t ( ) ( 1 t ( ) ) t

21 { α t 0 t Sea x [t] = 0 en otro caso Hallar la convolución x y. y sea y [t] = { α t 0 t 10 0 en otro caso. 10. La correlación de dos señales es una operación, similar a la convolución, definida así: x y = x [k] y [t + k] k= a) Hallar x y cuando x [t] = u [t] u [t 6] y h [t] = u [t ] u [t 5] b) Suponiendo α < 1, hallar la correlación de x [t] = α t u [t] consigo misma (ésto se conoce como la autocorrelación de x). 11. (a) Se sabe que la respuesta al impulso h [t] de un lineal e invariante en el tiempo vale cero excepto en el intervalo T 0 t T 1. Se sabe que la entrada x [t] es cero excepto en el intervalo T t T 3. Como resultado, la salida debe ser cero excepto en un intervalo T 4 t T 5. Determine T 4 y T 5 en función de T 0, T 1, T y T 3. Solución: T 4 = T 0 + T, T 5 = T 1 + T 3 (b) Si x [t] es cero excepto en T puntos consecutivos y h [t] es cero excepto en T puntos consecutivos, cuál es el máximo número de puntos consecutivos en los que la salida puede ser distinta de cero? Solución: Lo que nos están diciendo es que T 1 T 0 = T y que T 3 T = T. Así que T 5 T 4 = (T 1 + T 3 ) (T 0 + T ) = T + T 1. Evaluando directamente la suma de convolución, determine la respuesta al escalón de un LTI cuya respuesta al impulso es h [t] = a t u [ t], 0 < a < 1 Solución: y[t] = a t 1 a t < a t 0 1

22 13. Determine la salida de un lineal e invariante en el tiempo si la respuesta al impulso h [t] y la entrada x [t] son las siguientes a) x [t] = u [t] y h [t] = a t u [ t 1], con a > 1 b) x [t] = u [t 4] y h [t] = t u [ t 1] c) x [t] = u [t] y h [t] = 1 t u [ t] d) x [t] = u [t] u [t 10] y h [t] = t u [ t 1] e) x [t] = u [t] u [t 10] y h [t] = a t u [t] 14. Para cada una de las siguientes respuestas al impulso de s LTI indíquese si el correspondiente es o no causal. a) h [t] = ( 1 ) t u [t] b) h [t] = ( 1 t ) u [t 1] ) t c) h [t] = ( 1 d) h [t] = u [t + ] u [t ] e) h [t] = ( 1 3) t u [t] + 3 t u [ t 1] Solución: Sólo son causales los s para los que h[t] sea una señal causal. Es decir, que (a) y (b) son causales, pero el resto de los s no son causales. 15. En los siguientes ejercicios se da la respuesta al impulso desplazado δ [t k] de una serie de s lineales en tiempo discreto. Decidir si estos s son invariantes en el tiempo: a) T (δ [t k]) = (t k)u [t k] b) T (δ [t k]) = δ [t k] { δ [t k 1] si k es par c) T (δ [t k]) = 5u [t k] si k es impar Solución: Indicación: Si el es invariante en el tiempo será: T (δ[t k]) = h[t k]

23 para todo k. Además podemos obtener h[t] sin más que tomar k = 0 en las expresiones que nos han dado. Así por ejemplo en el segundo ejercicio h[t] = δ[t 0] = δ[t] Pero si ahora cambiamos t por t k en la expresión que hemos obtenido se llega a: δ[(t k)] = δ[t k] h[t k] = δ[t k] así que este no puede ser invariante en el tiempo. 16. Sea T un lineal (pero no necesariamente invariante en el tiempo), cuya respuesta al impulso desplazado δ [t k] viene dada por h [t k]. Cómo podemos saber a partir de h [t k] si el es estable? Y cómo si es causal? Solución: Se deduce de la suma de convolución: el es causal si h[t k] = 0 para t < k. 17. Supongamos que un lineal T tiene la siguiente propiedad: al recibir como entrada la señal u [t k], produce la salida s k [t] = kδ [t k] Hallar la respuesta del a la señal δ [t k]. Es un invariante en el tiempo? Es estable? Es causal? Solución: Usar que u[t k] u[t k 1] = δ[t k] y la linealidad del para obtener T (δ[t k]). A partir de aquí es fácil analizar el resto de las propiedades. 3

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