Universitat Pompeu Fabra Macroeconomía I Examen Parcial 7denoviembredel2001 SOLUCIÓN. VALORACIÓN TOTAL 50 PUNTOS

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1 Universitat Pompeu Fabra Macroeconomía I Examen Parcial 7denoviembredel2001 SOLUCIÓN. VALORACIÓN TOTAL 50 PUNTOS Problema 1. Modelo de Solow. Considera una economía donde se produce un único bien utilizando capital y trabajo. La función de producción agregada es Y t A + BK α t L 1 α t, donde A y B son constantes positivas y α (0, 1). El factor trabajo crece a la tasa constante n, es decir, / n>0. En esta economía los consumidores ahorran una fracción, s, constante de la renta agregada. La economía es cerrada y no hay gobierno lo cual implica que la renta total se dedica a consumo privado e inversión. La inversión bruta es + δ, donde δ [0, 1] es la tasa constante a la cual se deprecia el capital. a) Enumera las propiedades de la función Neoclásica de producción y comprueba si dichos supuestos son satisfechos por la función de producción agregada de nuestra economía. (15 puntos) 1. Rendimientos constantes a escala. Consideremos una constante λ > 0, entonces F (λ, λ )λf (, ). F (λ, λ ) Aλ + B(λ ) α (λ ) 1 α Aλ + B(λ ) α (λ ) 1 α λ A + B( ) α ( ) 1 α λf(, ) 2. F (0, )F (, 0) 0. F (0, ) 0 F (, 0) A > 0 3. F (, ) > 0 para todo > 0, > 0 A + B( ) α ( ) 1 α > 0 para todo > 0, > 0 porque A, B > 0. 1

2 4. Productos marginales positivos. F K (, )A + BαKt α 1 L 1 α t > 0 porque A, B > Productos marginales decrecientes F L (, )BK α t (1 α)l α t > 0 F KK (, )Bα(α 1)Kt α 2 L 1 α t < 0 F LL (, )BK α t porque 0<a < 1 y A, B > Condiciones de Inada (α 1)αL α t < 0 (a) En el origen: lim K 0 F K (, ), lim L 0 F L (, ). K(, ) lim A + BαK α 1 t L 1 α t K 0 K 0 porque α < 1. L(, ) lim BK α t (1 α)l α t L 0 L 0 porque α > 0. (b) En el infinito: lim K F K (, )0, lim L F L (, )0. K(, ) lim A + BαK α 1 t L 1 α t A>0 K K porque α < 1. L(, ) lim BK α t (1 α)l α t 0 L L porque α > 0. En conclusión, esta función de producción no satisface la condición de Inada en el infinito lim K F K (, ). Ello implica que el producto marginal del capital está acotado inferiormente. b) Obtén la función de producción en términos per cápita. Nota: representa y t Yt y Kt. (3 PUNTOS) y t Y t A + BK α L α t A + Bt α 2

3 c) Obtén la ley de movimiento del capital per cápita, es decir, la ecuación diferencial en quedescribelaevolucióndelcapitalper cápita a lo largo del tiempo. (5 PUNTOS) + δ sy t sy t δ Dividimos por aambosladosdelaexpresión: Ahora calculamos Por lo tanto, d(k t/ ) dt L 2 t sy t δ ((1)) n t + n ((2)) Ahora sustituimos la expresión (2) en (1) y obtenemos la ley del movimiento del capital per cápita sy t (δ + n) d) Obtén la expresión de la tasa de crecimiento del capital per cápita, es decir,, que depende únicamente de ydeparámetros del modelo. (3 PUNTOS) donde sustituimos s y t (δ + n) y t A + B α t A + B α 1 t y obtenemos sa + sb α 1 t (δ + n) 3

4 e) Supon que existe un estado estacionario donde 0, cuál es el nivel de capital y renta per cápita en dicho estado estacionario? (7 PUNTOS) 0 sa + sb α 1 δ + n sb α 1 entonces sb 1/(1 α) y A + B α sb A 1/(1 α) + B sb α/(1 α) f) Encuentra una condición que relaciona los parámetros (n, δ, s,a) que implica que dicho estado estacionario no existe, es decir, que > 0 siempre. Pista: Representa gráficamentelatasadecrecimiento del capital per cápita como lo hicimos en clase, es decir, la distancia entre sy/ y (δ + n) en función del capital per cápita. (8 PUNTOS) γ t sbt α 1 () La constante δ+n sa puede ser mayor, menor o igual a cero. Si δ+n sa > 0, entonces existe un > 0 tal que sb α 1 porque sbt α 1 > 0, es una función decreciente que tiende a infinito cuando tiende a cero mientras quetiendeacerocuando tiende a infinito (dado que (α 1) < 1). Si por el contrario δ+n sa 0, entonces no existe ya que lim sbα 1 0, sb α 1 > 0 para todo finito. Por lo tanto sb α 1 > 0,es decir, no existe un >0 finito tal que 0. Conclusión, si 0, entonces t sbt α 1 () > 0 para todo. g) Supon que sa 0, 32, n 0, 1 y δ 0, 2. Calcula lim ( ). Explica brevemente el resultado que obtengas. (9 PUNTOS) porque α 1 < 0. lim ( )sb lim (α 1 t )+0, 02 0, 02 4

5 La función de producción no satisface la condición de Inada en el infinito. Ello implica que el producto medio está acotado inferiormente por la constante positiva A y, en consecuencia, el ahorro por unidad de capital está acotado inferiormente por sa > 0. Si sa es suficientemente grande, en concreto, sa n+δ, entonces el ahorro per cápita será mayor que la inversión de mantenimiento per cápita para cualquier nivel de capital per cápita. Cuando el ahorro es mayor que la inversión de mantenimiento, se acumula capital en términos per cápita, es decir, la tasa de crecimiento del capital per cápita es estrictamente positiva. En el límite, lim ( )0, 02, es decir, la tasa de crecimiento del capital per cápita tiende a la constante sa (n + δ). 5

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