Capítulo 3: Acumulación de capital y crecimiento (I). El modelo de Harrod-Domar

Transcripción

1 Índice Capítulo 3: Acumulación de capital y crecimiento (I). El modelo de Harrod-Domar Curso

2 Índice Índice 1 Un poco de matemáticas 2 Población e inversión 3 La teoría de la brecha financiera 4 La realidad 5 La tecnología

3 Un poco de matemáticas Vamos a trabajar con tiempo continuo. Por ejemplo, output per cápita es una función del tiempo, y(t). Ejemplo: y(t) = e a t, a > 0,

4 Derivada y tasa de crecimiento de una función d y(t) ẏ(t) = a e a t. d t Podemos evaluar la función (y su derivada) en un punto particular del tiempo, por ejemplo, periodo 3. Si a = 0.5, y(3) = e = La tasa de crecimiento del output per cápita es g y ẏ(t) y(t) = a ea t e a t = a. Nota: d ln y(t) d t = ẏ(t) y(t).

5 Ecuaciones diferenciales En este caso no sabemos la forma de la función y(t). Sólo sabemos la relación entre la función y su derivada, ẏ(t) = a b y(t), a, b > 0. Pregunta: Podemos caracterizar la evolución de y(t) a lo largo del tiempo?

6 Ecuaciones diferenciales Ejemplo: Inversión K t = δk t + I t donde K t : stock de capital en el momento t K t : crecimiento del stock de capital en términos anuales I t : tasa de inversión en términos anuales Esto es más o menos lo mismo que en tiempo discreto : K t K t+1 K t = δk t + I t

7 Ecuaciones diferenciales Pero en tiempo continuo podemos dar pasos t más pequeños de 1: K t = K t+ t K t = δk t t + I t t Ejemplo: t = 0.1, K = 100, δ = 0.2, I = 25: K K = ( ) + (25 0.1) = 0.5 De hecho, dividiendo por t y tomando el ĺımite t 0 obtenemos K t+ t K t lim t 0 t = K t = δk t + I t, Haciendo los pasos t cada vez más pequeños y sumando los K t en el tiempo obtenemos la solución K t de la ecuacíon diferencial.

8 Ecuaciones diferenciales Notad que si I t = Ī para todo t, K t = Ī/δ K t = 0. Llamamos K = Ī/δ. Entonces, > 0, si K t < K ; ẏ(t) = 0, < 0, si K t = K ; si K t > K. Por tanto, K t converge a K desde cualquier punto inicial. Cómo es la evolución de ẏ(t) = a + b y(t), a, b > 0?

9 Población y tecnología Existe un único bien final. K t, el capital se deprecia cada periodo a la tasa δ [0, 1]. El trabajo L t crece a la misma tasa que la población, N t, L t = Ṅt = n. L t N t Por sencillez, suponemos que L t = N t, para todo t. La tasa de ahorro agregada de la economía es s (0, 1).

10 Población y tecnología Economía cerrada. No hay gasto del gobierno ni impuestos. Por tanto, C t + I t = P IB t, C t + I t = (r t + δ) K t + w t L t, C t + K t + δ K t = Y t. I t = K t + δ K t : inversión bruta. K t : Inversión neta. C t + K t = Y t δ K t : Producto Interior Neto.

11 Población y tecnología s (0, 1) es la fracción de la renta disponible que se ahorra. Por tanto, el ahorro agregado es S t = s Y t = (r t + δ) K t + w t L t. Puesto que AHORRO = INV ERSION, S t = s Y t = K t + δ K t. hemos obtenido una ecuación que relaciona PIB e inversión y que podemos usar para analizar la evolución temporal del stock de capital y de la renta. K t = s Y t δ K t.

12 Inversión y crecimiento El capital por unidad de trabajo es (ratio capital-trabajo). Su tasa de crecimiento: k t Kt L t (1) k t k t = K t K t L t L t (2) Podemos escribir la ecuación de acumulación de capital como k t = s y t (δ + n) k t. (3) k t k t = s yt k t (δ + n) (4)

13 La teoría de la brecha financiera Hasta ahora no hemos hecho ningún supuesto tecnológico. Es decir, no hemos descrito cómo la renta, y t, cambia cuando cambian los factores. El supuesto de que partieron Harrod y Domar era el siguiente ẏ t = k t, y t k t Es decir, aumentos proporcionales en el capital per cápita se traducen en aumentos proporcionales de la renta. De esta manera, ẏ t y t = s y t k t (δ + n). La tecnología que satisface ese supuesto es Y t = AK t.

14 La teoría de la brecha financiera Según nuestra tecnología, eso supone que Consecuencias: g y = ẏt y t = sa (δ + n) La tasa de crecimiento es constante a lo largo del tiempo Hay crecimiento a largo plazo sólo por la acumulación de capital Incrementar la tasa de ahorro s resulta en crecimiento más alto a largo plazo Bajar la tasa de crecimiento de la población n resulta crecimiento más alto a largo plazo

15 La teoría de la brecha financiera Dado los demás parámetros, se puede calcular la tasa de inversión requerida para que la renta crezca a la tasa deseada (constante) g y : s = (n + δ + g y ) k t = n + δ + g y. y t A Por tanto, según este modelo una buena poĺıtica de desarrollo es ayudar a los países menos desarrollados a aumentar su tasa de inversión.

16 La realidad El mundo rico dió ayuda de desarrollo a los países pobres para suplementar los ahorros y incrementar la inversión. Qué pasó? Muchas veces, la ayuda no se convertía en inversión sino en consumo (falta de incentivos, corrupción) Aunque creciera la inversión en algunos países, no se dieron tasas más altas de crecimiento.

17 La realidad...la realidad (Zambia) Real per capita GDP Investment as % of GDP years

18 ., La realidad...la realidad (Zambia) gap cht Figure 4: The Gap between Harrod-Domar and Reality in Zambia The Per Capita Income that would have been if all Aid had gone into Investment and Investment had gone into Growth according to Harrod Domar (assuming 'typical" ICOR of 3.5) Zambian per capita income - - a a income - co co W co co t- r- r- r- r- co co co coxco a e u r- ul r- od a t 0 _ c-, 0 X 0cX 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0)i 0) 0) 0) 0) 0) ZMB2.XLS 7/1/97

19 Pero, de qué tecnología estamos hablando? Supongamos En términos per cápita Y t = min {K t, A L t }. y t = min {k t, A l t } De tal manera que si k t A l t obtenemos que y t = k t y por tanto ẏ t y t = k t k t. Esto supone que debe darse que K t A L t.

20 Pero, de qué tecnología estamos hablando? La función de producción de coeficientes fijos La función de producción de proporciones fijas Capital C Y 3 B Y 2 A Y 1 L 1 Trabajo

21 Pero, de qué tecnología estamos hablando? Esta tecnología supone que la renta aumenta siempre en la misma proporción que el capital (y que la inversión) De qué se olvida? Rendimiento marginal decreciente del capital