SIMULACIÓN POR ORDENADOR PARA LA PLANIFICACIÓN Y GESTIÓN (Ejercicio de evaluación. Junio 2009) - SOLUCIÓN -

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1 [ 2008/2009 ] SIMULACIÓN POR ORDENADOR PARA LA PLANIFICACIÓN Y GESTIÓN (Ejercicio de evaluación. Junio 2009) - SOLUCIÓN - 1) [Nota sustituible por el trabajo] Supóngase una población en una región A determinada, con una tasa de crecimiento vegetativo del 10% anual. La región admite una población máima de habitantes. Si la población inicial es de 3.000, a) Construir un modelo (ecuaciones) que represente la población a lo largo del tiempo e implementarlo en el ordenador. Indicar la población en t=50 años. (1 punto) La variable de nivel o estado de este problema es la población en un tiempo t, que notamos por (t). Los datos del modelo son los siguientes: - Población inicial: (0)= Tasa de crecimiento vegetativo: =0,1. - Población máima: = La ecuación diferencial que gobierna el sistema es la siguiente: d Implementando la ecuación en el ordenador, 1-. La población en el año 50 es (50)=7916,03.

2 b) La renta generada por la población de la región A viene dada por la epresión Y A* L, siendo A el coeficiente tecnológico y α la elasticidad del trabajo. La población emigra de la región en función de la diferencia entre la renta per cápita y un valor umbral u 0,18. Si esa diferencia es negativa, se emigra a una tasa de habitantes por unidad de diferencia. Si la diferencia es negativa, se origina una inmigración a una tasa de habitantes por unidad de diferencia. Indicar las nuevas ecuaciones del modelo incorporando el fenómeno de emigración e inmigración. Implementarlo en el ordenador e indicar la renta per cápita, población y emigración en t=50 años para A=1 y α=0,8. (1 punto) La emigración/inmigración en cada año se ha de añadir al flujo de la población, esto es, a la ecuación diferencial anterior. Dados los nuevos datos del problema: - Coeficiente tecnológico: A=1. - Elasticidad del trabajo: =0,8. - Renta en el año t: Y(t)=A(t). (Nótese que el trabajo L indica la Población) - Renta per cápita en el año t: Y(t)/(t). - Umbral de renta per cápita: u=0,18. Como por cada unidad de diferencia entre la renta per cápita y el umbral, emigra/inmigra habitantes, la epresión 1000(Y(t)/(t)-u) representa el número de habitantes que emigra/inmigra cada año. Por tanto, la ecuación diferencial que rige el modelo queda de la forma: Implementando la ecuación en el ordenador, d Y u. se obtiene que (50)=7791,37; Y(50)/(50)=0,16 y la emigración es de 13,40 habitantes.

3 c) Supóngase ahora otra región B en la que la población inicial es 500, y que únicamente crece/decrece por la inmigración/emigración proveniente de la región A. Etender el modelo anterior (ecuaciones) incorporando la dinámica de la población de la región de B. Implementarlo en el ordenador e indicar la población de B en t=50 años. Representar gráficamente la población en ambas regiones. (2 puntos) Ahora tenemos dos poblaciones que evolucionan en el tiempo, A (t) y B (t). La primera se rige por la ecuación diferencial del apartado b). El flujo de B (t) viene indicado por la epresión de emigración/inmigración de la población A (t). Por tanto, dados los nuevos datos del problema - Población inicial en B: B (0)=500, las ecuaciones del modelo son las siguientes: da Y d B A A u, A Y 1000 u. Implementando las ecuaciones anteriores en el ordenador, obtenemos A La población de B en el año 50 es B (50)=757,25.

4 2) Tómese el modelo de Solow (Ejerc3-3b2.ls) del Aula Virtual. La renta per cápita real en los primeros 20 años viene dada por la siguiente tabla: Años Renta a) Calibrar la tasa de innovación técnica de tal forma que la renta generada por el modelo esté lo más cercana posible a la real, indicando los estadísticos de validación. Una vez calibrado, encontrar la elasticidad del capital con la cual se obtiene una renta per cápita en el año t=19 de 5 unidades. (2 puntos) Utilizamos los estadísticos de validación de un modelo en la calibración. Recordemos en primer lugar los valores de los parámetros y ecuaciones diferenciales del modelo de Solow estudiado. - Población inicial: (0)= Capital inicial: K(0)= Coeficiente tecnológico inicial: A(0)=1. - Tasa de crecimiento vegetativo: =0,03. - Tasa de ahorro: s= Elasticidad de capital: = Tasa de innovación técnica: g=0. - Población máima: =5.000.

5 Las ecuaciones del modelo son: d 1-, dk sak 1, da ga. Comparando la evolución de la renta real con la simulada, observamos gráficamente que la salida del modelo se desvía de la real. Los estadísticos de validación confirman los malos resultados: Estadísticos Resultado EAPM EPCM ECM Theil-U U m U s U c R 2 0,39 0,46 185,50 0,41 0,57 0,43 0,00 0,99 Efectivamente, el error cuadrático medio es porcentualmente del 46%. Por otro lado, el estadístico de Theil es muy alto (0,41), concentrándose la mayor parte del error en la media (U m =57%). Haciendo diferentes pruebas por ensayo y error, observamos que con una tasa de innovación técnica de g=0.06 ambas gráficas son muy similares.

6 Los estadísticos de validación en este caso son muy buenos, con un U de Theil por debajo de 0,1, así como errores porcentuales por debajo del 8%. Estadísticos Resultado EAPM EPCM ECM Theil-U U m U s U c R 2 0,06 0,08 17,00 0,03 0,16 0,17 0,67 0,99 Por tanto, consideramos g=0,06 como el valor del parámetro de innovación técnica que mejor eplica los datos reales. Seguidamente buscamos la elasticidad del capital que mejor se aproime a una renta de 5 unidades en t=19 (20 años). Utilizamos para ello la herramienta Buscar objetivo de Ecel, obteniendo que =0,594 es el valor más adecuado.

7 b) Tómese el modelo original (Ejerc3-3b2.ls). Incorporar al modelo la depreciación del capital a una tasa de δ=0.05. Indicar si la renta, renta per cápita y consumo per cápita convergen y a qué valores. (2 puntos) La depreciación se incluye como un flujo negativo del capital. Así, incorporando el nuevo parámetro - Tasa de depreciación del capital: =0,05, el modelo queda de la siguiente forma: d 1-, dk sak 1 K, da ga. Recuérdese que g=0 en el modelo original, por lo que el coeficiente tecnológico es constante. La evolución a largo plazo de la renta, renta per cápita y consumo per cápita están representadas en las siguientes gráficas. Incluyendo la depreciación del capital, la renta generada por la economía converge a unidades. Asimismo, tras una caída inicial, tanto la renta per cápita como el consumo per cápita crecen hasta alcanzar un nivel de 1 y 0,95, respectivamente.

8 c) Tómese el modelo original nuevamente. Supóngase que las siguientes tasas no se conocen con certidumbre y se les asigna la distribución de probabilidad señalada: Tasa tasa de crec. tasa de ahorro elasticidad de capital Distribución Pert(0;0,03;0,1) Normal(0,05;0,02) Pert(0,05;0,1;0,5) Hallar la probabilidad de que la renta per cápita sea inferior a 1 en el año t=19. Determinar cuantitativamente la influencia de cada uno de los parámetros en el consumo per cápita en ese mismo año. (2 puntos) Una vez incluidas las distribuciones de probabilidad en los parámetros correspondientes, elegimos la renta per cápita en el año 19 como Output. Al simular el modelo con 500 iteraciones, se obtiene la distribución de frecuencias de la renta per cápita en ese año. La estimación de la probabilidad P[Y(19)/(19) 1] 0,308. La influencia de los parámetros en el consumo per cápita viene indicada por los coeficientes de regresión estimados. La simulación llevada a cabo anteriormente obtiene como salida los siguientes valores: Tasa Tasa de crecimiento vegetativo Tasa de ahorro Elasticidad de capital Coeficiente Regresión -0,70 0,34 0,34 Por tanto, la tasa de crecimiento vegetativo es la más influyente (en sentido negativo) sobre el consumo per cápita en el año 19.