Sistemas Dinámicos I
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- Natividad Sánchez Gómez
- hace 7 años
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1 Sistemas Dinámicos I Leyes de crecimiento y puntos de equilibrio Miguel Reyes Febrero 6 La naturaleza es un medio en el que suceden una gran cantidad de procesos que interaccionan entre sí. Los sistemas dinámicos son muy útiles para estudiar y entender cómo evolucionan este tipo de fenómenos y, además, han dado lugar a importantes descubrimientos recientes como la eistencia de caos. Aquí, nos aproimaremos a esta teoría matemática por medio de algunos ejemplos sencillos.. Una especie de peces se reproduce de forma que si este año la cantidad de peces es, el año próimo será y, donde y viene dada por la dinámica de crecimiento asociada a la curva f como se indica en la figura. f()=3(-) (millón de peces) Si este año no hay peces, cuántos habrá el próimo año? Si este año hay millón de peces, cuántos habrá el próimo año? Cuál es la cantidad de peces que da una cantidad máima el próimo año? Cuántos peces debe haber para que la población sea la misma el año próimo? Cuántos peces debe haber para que aumente la población el año próimo? Cuántos peces debe haber para que disminuya la población el año próimo?
2 . Si este año hay peces, el año próimo habrá y = f () peces, dentro de dos años habrá z = f (y) peces, y así sucesivamente. Gráficamente, el valor de z se puede obtener siguiendo desde la línea roja de la siguiente figura: f()=3(-) y= Obtén gráficamente la población de peces dentro de tres años. (millón de peces) 3. Llamando k a la cantidad de peces que hay en el año k, la dinámica de la población de peces (también llamada órbita) se puede presentar en una tabla del tipo: Año 3 k k + Cantidad de peces 3 k k + donde el número de peces que hay cada año se obtiene aplicando la función f al número de peces que había el año anterior: k+ = f( k) (ecuación del sistema dinámico) Gráficamente, la dinámica de la población se puede visualizar siguiendo la línea roja de la figura:
3 Si la ecuación del sistema dinámico que rige el crecimiento de la población de peces es f ( ) = 3 ( ) y son los peces que hay inicialmente, el número de peces que hay los dos próimos años es: ( ) 3 ( ) ( ) ( ) = f = = f = 3 ( ) = 3 3 ( ) 3 ( ) = 9 ( )( ) Obtén la epresión para el número de peces que hay el tercer año: Podrías obtener la epresión general de n en función de? Sabes algo sobre ella? 4. Una población de bacterias crece mediante un proceso de división en el que cada bacteria se divide en dos cada hora, estando cada una de ellas lista para la reproducción a la hora siguiente. Cuál es la ecuación del sistema que rige la población de bacterias? Si hoy a las 8: hay bacteria, cuántas habrá mañana a las 8:? (Usa la aproimación ) = 4 Y pasado mañana a las 8:? Representa gráficamente la dinámica: y = 3
4 5. En una fiesta de cumpleaños con doce personas asistentes, cada uno pasa al lado del pastel y corta la mitad de lo que queda. Cuál es la ecuación del sistema que rige el pastel restante? Qué cantidad le queda al perro después de comer las personas? Representa gráficamente la dinámica: y = 6. Las ballenas y otras especies animales tienen curvas de crecimiento muy lento. En el caso de que se caza libre sus curvas de crecimiento pueden ser así: y = f ( ) =.8 ( ) (millón de ballenas) Partiendo de una población inicial de medio millón de ballenas: Cuántas habrá al cabo de cuatro años? Cuántas habrá a más largo plazo (dentro de o años)? 4
5 7. Si se prohíbe la caza de ballenas su curva de crecimiento aumenta pudiendo ser así y = f ( ) =.5 ( ) (millón de ballenas) Partiendo de. ballenas, cuántas habrá a largo plazo? Partiendo de ballenas, cuántas habrá a largo plazo? Partiendo de 9. ballenas, cuántas habrá a largo plazo? Para qué número de ballenas la población crece al año próimo? Para qué número de ballenas la población decrece al año próimo? Para qué número de ballenas la población permanece estable? 8. Un sistema dinámico como, por ejemplo, la población de una especie animal, se dice que esta en equilibrio cuando se estabiliza, es decir, cuando su población permanece constante. El sistema dinámico de ecuación f estará en equilibrio para aquella población que verifica f ( ) llamada población o punto de equilibrio y, en términos matemáticos, punto fijo. = Encuentra los puntos de equilibrio del sistema de la actividad Encuentra los puntos de equilibrio del sistema de la actividad 4 Encuentra los puntos de equilibrio del sistema de la actividad 5 Encuentra los puntos de equilibrio del sistema de la actividad 6 5
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Limite de una función. Concepto de límite. La palabra límite proviene del latín es que significa frontera. El límite puede ser una línea imaginaria o real, que separa dos países, territorios o terrenos,
Funciones. Domf = {x R f(x) B} Ranf = {f(x) x Domf} x (, 4) (4, ) 4y + 1 y. 4y + 1. > 4 = y y. > 0 = y
Funciones Una función real de variable real es una aplicación f : A B donde A,B son conjuntos de números reales. Domf = x R f(x) B Rango: El rango o imagen de la función f es un conjunto que se define