Capítulo 4: Acumulación de capital y crecimiento (II). El modelo de Solow
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- Jorge Carrizo Gil
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1 Índice Capítulo 4: Acumulación de capital y crecimiento (II). El modelo de Solow Curso
2 Índice Índice 1 El modelo básico de Solow 2 Resultados teóricos 3 Implicaciones y datos 4 Progreso tecnológico 5 Evaluación del modelo
3 El modelo básico de Solow El único bien final se produce con la tecnología Y t = K β t (A L t) 1 β, A > 0, β (0, 1). K t, el capital se deprecia a la tasa δ [0, 1]. El trabajo L t crece a la misma tasa que la población, N t, L t = Ṅt = n. L t N t Por sencillez, suponemos que L t = N t, para todo t. La tasa de ahorro agregada de la economía es s (0, 1).
4 El modelo básico de Solow Economía cerrada. No hay gasto del gobierno ni impuestos. Por tanto, C t + I t = P IB t, C t + I t = (r t + δ) K t + w t L t, C t + K t + δ K t = Y t. I t = K t + δ K t : inversión bruta. K t : Inversión neta. C t + K t = Y t δ K t : Producto Interior Neto.
5 El modelo básico de Solow s (0, 1) es la fracción de la renta disponible que se ahorra. Por tanto, el ahorro agregado es S t = s Y t = s [(r t + δ) K t + w t L t ] = s K β t (A L t) 1 β. Puesto que AHORRO = INV ERSION, S t = s K β t (A L t) 1 β = K t + δ K t. hemos obtenido una ecuación que relaciona PIB e inversión y que podemos usar para analizar la evolución temporal del stoc de capital y de la renta. K t = s K β t (A L t) 1 β δ K t. (1)
6 Inversión y crecimiento El capital por unidad de trabajo es (ratio capital-trabajo). Su tasa de crecimiento: t Kt L t (2) t t = K t K t L t L t (3) Dividiendo (1) por K t y sustituyendo en (3) obtenemos la ecuación de acumulación de capital como t t = s A 1 β β 1 t (δ + n). (4) Multiplicando (4) por t obtenemos t = s A 1 β β t (δ + n) t. (5)
7 Inversión y crecimiento Significado económico t : capital por unidad de trabajo en el momento t y t : producción o renta por unidad de trabajo s A 1 β β t : ahorro por unidad de trabajo (n + δ) t : inversión necesaria para mantener el stoc de capital por unidad de trabajo constante (inversión por reposición) Como estamos suponiendo que L t = N t podemos hablar de capital per cápita, renta per cápita, ahorro per cápita e inversión por reposición per cápita.
8 Inversión y crecimiento Por tanto, s A 1 β β t > (n + δ) t t > 0, el capital (y la renta) crece. s A 1 β β t < (n + δ) t t < 0, el capital (y la renta) decrece. s A 1 β β t = (n + δ) t t = 0, el capital (y la renta) constante. El valor para el que t = 0, despejando en la igualdad s A 1 β β t = (n + δ) t, = A ( ) 1 s 1 β. δ + n
9 El estado estacionario Definición: Estado estacionario Un estado estacionario es una senda para la renta, y t, capital, t, y consumo, c t a lo largo de la cual todos crecen a la misma tasa, que es constante a lo largo del tiempo. Denotamos con las variables en estado estacionario. Según la definición, en el estado estacionario t t = ẏ t y t = ċ t c t = g. Cuál es esa tasa g en este modelo?
10 El estado estacionario y t = A 1 β β t, for all t. Tomando logarítmos, ln (y t ) = (1 β) ln(a) + β ln ( t ) Diferenciando respecto al tiempo t, ẏ t y t = β t t En esta economía, siempre, la tasa de crecimiento de la renta es la fracción β de la tasa de crecimiento del capital.
11 El estado estacionario Puesto que en el estado estacionario ẏt y t = t t, entonces ẏ t y t = t t = 0, en el estado estacionario. Por tanto, en el estado estacionario t = A ( ) 1 s 1 β, y δ + n t = A 1 β (t ) β, c t = (1 s)a 1 β (t ) β. La renta del estado estacionario crece con A, s. Es menor cuanto mayor es n, δ.
12 El estado estacionario * y y t * c sa 1 β β ( n + δ ) *
13 Dinámica de transición y t = A 1 β β t, c t = (1 s)a 1 β β t, w t = (1 β)a 1 β β t, r t = β A 1 β β 1 t δ. s A 1 β β t > (n + δ) t t > 0, t <, t, y t, c t, w t, r t s A 1 β β t < (n + δ) t t < 0, t >, t, y t, c t, w t, r t s A 1 β β t = (n + δ) t t = 0, t =, t, y t, c t, w t, r t constante
14 Dinámica de transición * y * c y t < 0 sa 1 β β > 0 ( n + δ ) t * ' t
15 Dinámica de transición sa 1 β β 1 n +δ Tasa de crecimiento positiva > 0 Tasa de crecimiento negativa < 0 n +δ sa 1 β β 1 Desplazamiento temporal del capital t * ' t
16 Estática comparativa Tasa de crecimiento positiva > 0 tras el aumento en A n +δ sa* 1 β β 1 sa 1 β β 1 * Aumento permanente en A **
17 Estática comparativa y* y* ( n + δ ) ( n'+ δ ) yt sa 1 β β > 0 ( n'+ δ ) * * ' Caída en la tasa de Crecimiento de la Población de n a n
18 Estática comparativa * y * y' < 0 yt sa 1 β β β s A 1 β ( n + δ ) * ' Caída en la tasa de Ahorro de s a s *
19 La regla dorada El consumo en el estado estacionario c = (1 s)a ( s ) β 1 β n + δ Hay una relación no monótona entre consumo y tasa de ahorro. Cuál es la tasa de ahorro que maximiza el consumo del estado estacionario? d c d s = 0 s = β. Para cualquier s > β se produce una asignación ineficiente de recursos: las familias pueden consumir más con una tasa de ahorro menor.
20 La regla dorada * y2 * yrd yt * c2 La Regla Dorada ( n + δ ) s2yt * crd s y RD t = βyt * RD * 2
21 Rendimientos decrecientes y crecimiento Por qué la economía no crece en el estado estacionario? La única fuente de crecimiento en esta economía es acumulación de capital La productividad marginal del capital tiende a cero al aumentar el capital Cuanto mayor es el stoc de capital, la inversión necesaria para mantener el stoc constante, (n + δ) t, aumenta más rapidamente que el ahorro, s A 1 β β t Por tanto, en el largo plazo, s A 1 β β t = (n + δ) t La acumulación de capital no es la clave del crecimiento sostenido
22 Implicaciones del modelo La renta per cápita en el estado estacionario es ( ) 1 s y β = A. δ + n Ceteris paribus, los países con una tasa de inversión más alta tenderán a ser más ricos Ceteris paribus, los países con tasas de crecimiento de la población más alta tienden a ser más pobres Estas dos hypótesis están respaldado por los datos...
23 Relación positiva entre tasa de ahorro s y renta y
24 Relación negativa entre n y la renta y
25 Pero... El modelo como está tiene la predicción que a largo plazo no hay crecimiento de la renta. Observamos crecimiento sostenido en (casi) todo el mundo Tenemos que añadir un ingrediente al modelo para reparar eso...
26 Progreso tecnológico Supongamos que Y t = K β t (A t L t ) 1 β, A t = e g A t A. A t progreso tecnológico que aumenta la productividad del trabajo. Suponemos que crece a una tasa constante. En términos per cápita, (dividiendo por la población, N t ), Como antes, y t = β t A1 β t. t = s β t A1 β t Cuál es el estado estacionario ahora? (n + δ) t
27 Estado estacionario Tomamos logs en ambos lados de la ecuación y t = β t A1 β t, ln (y t ) = β ln ( t ) + (1 β) ln (A t ) Diferenciamos con respecto al tiempo t, A t A t ẏ t = β t + (1 β) y t t Usando la definición de estado estacionario ẏ t y t = t t = g, Sustituimos, g = β g + (1 β)g A g = g A.
28 Estado estacionario Por tanto, en el estado estacionario t / t = s β 1 t A 1 β t (n + δ) = g A ( t s = δ + n + g A ( yt s = δ + n + g A ( c t = (1 s) s δ + n + g A ) 1 1 β At, ) β 1 β At, ) β 1 β At,
29 Estado estacionario Será útil trabajar con logarítmos, ln ( t ) = 1 1 β (ln(s) ln (δ + n + g A)) + g A t ln (y t ) = ln (c t ) = ln(1 s) + β 1 β (ln(s) ln (δ + n + g A)) + g A t β 1 β (ln(s) ln (δ + n + g A)) + g A t que se pueden representar muy fácilmente gráficamente
30 Estado estacionario Un cambio en la tasa de inversión s no afecta a la tasa de crecimiento de estado estacionario, sólo al nivel Un cambio en la tasa de crecimiento de la población n no afecta a la tasa de crecimiento de estado estacionario, sólo al nivel Un cambio en la tasa de crecimiento de la productividad agregada g A afecta a la tasa de crecimiento y al nivel
31 Dinámica de transición Recordamos la ley de movimiento del stoc de capital per cápita, t = s β 1 t t A 1 β t (n + δ). Definimos t = t /A t, for all t, stoc de capital en unidades eficientes de trabajo. ( ) β ỹ t = y t /A t = β t A1 β t t = = A t A β t, t renta en unidades eficientes de trabajo.
32 Dinámica de transición Podemos calcular, ) ln ( t = ln ( t ) ln (A t ), ė t e t = t t Ȧt A t. Entonces, t β 1 = s t (n + δ + g A ), t t = s β t (n + δ + g A) t. Sabiendo la evolución de t podemos saber la evolución de t. Podemos utilizar diagramas como en el modelo de Solow sin cambio tecnológico para analizar las trayectorias de t, ỹ t y c t.
33 Dinámica de transición En esta economía, t, ( = ( t = Mientras t, t e g t. s n + δ + g s n + δ + g ) 1 1 β ) 1 1 β A e g t En el modelo de Solow la única fuente de crecimiento sostenido es el progreso tecnológico.
34 Gráficos de ln t, ln y t y ln c t en el tiempo t Recuerde: Tomando logaritmos: t = A t t y t = A 1 β t β t c t = (1 s)y t ln t = ln t + ln A + g A t ln y t = β ln t + ln A + g A t ln c t = β ln t + ln(1 s) + ln A + g A t Se dibuja ln t (o β ln t ) más una recta
35 Dinámica de transición ln t ln ln t ln t ln 0 t ln 0 t
36 Estática comparativa Una caída permanente en la tasa de ahorro 1 En el estado estacionario el capital en unidades eficientes de trabajo es menor, ( = t /A t = s δ + n + g ) 1 1 β, también bajará la renta y t /A t, el consumo, c t /A t aumentará o caerá dependiendo de si s es mayor o menor que β. La caída de s tiene un efecto de nivel en t, y t, c t 2 La transición?
37 Estática comparativa Una caída permanente en la tasa de ahorro ln t ln ln t ln t ln ln t t t
38 Por qué hay crecimiento en el estado estacionario? La inversión en el estado estacionario es positiva En el estado estacionario la inversión en unidades eficientes de trabajo es igual a la inversión por reposición en unidades eficientes de trabajo Crece el capital per cápita pero no hay rendimientos decrecientes porque también crecen las unidades eficientes de trabajo.
39 Tipos de interés y salarios r t = Y t δ = βa 1 β t β 1 t δ = β β 1 t δ K t w t = Y t = (1 β)a 1 β t β t = (1 β)a t β t N t 1 El tipo de interés real converge a un nivel estacionario, pero los salarios reales crecen para siempre. 2 Los salarios reales son más altos en países con mayor nivel de renta. 3 El tipo de interés real es menor en países con mayor nivel de renta. Acierta el modelo.
40 Implicaciones principales Países con la misma tasa de inversión s, tasa de crecimiento de la población n, y crecimiento de la productividad agregada g A convergen al mismo nivel de renta per cápita (y la misma tasa). El nivel de renta de estado estacionario es mayor cuanto mayor sea la tasa de inversión s (siempre que sea menor que β). Fuera del estado estacionario la tasa de crecimiento de la renta está postivamente correlacionada con la tasa de inversión (fijando el stoc de capital). (Recuerde: t t = s β 1 t (n + δ + g A ) )
41 Convergencia de Alemania y Japón
42 Tasas de inversión más altas y crecimiento más rápido
43 Pero: Hay convergencia global? Podemos usar el modelo de Solow para entender las diferencias observadas en niveles de PIB por unidad de trabajo? El nivel de PIB por unidad de trabajo en el estado estacionario para un cierto país i es ( ) α yt i s i (1 α) = Ai e g i t δ + n i + g i En términos relativos al país más rico, USA, y i t y USA t = ( ) α si (δ + n USA + g USA ) (1 α) s USA (δ + n i + g i ) A i A USA e (g i g USA )t
44 Efecto de la tasa de inversión... Supongamos que los países sólamente difieren en la tasa de inversión y la tasa de crecimiento de la población La tecnología se transfiere libremente entre países No hay diferencias permanentes en la productividad de las horas de trabajo y i t y USA t = ( ) α si (δ + n USA + g) (1 α) s USA (δ + n i + g)
45 Datos utilizados s : participación de la inversión en el PIB, n: tasa de crecimiento promedio de la población, yr 90 : PIB por trabajador en el país i relativo al de USA en el año 1990 Suponemos α = 0.30 y δ + g = 0.075
46 Datos de varios países s n yr 90 EUA Alemania occidental Japón Francia RU España Argentina India Zimbabwe Uganda Hong Kong Taiwan Corea del Sur y USA 90 = 36, 810
47 Falta de convergencia global Solow- acumulación de capital Valor relativo del PIB EUA Alemania occidental Japón Francia RU España Argentina India Zimbabwe Uganda Hong Kong Taiwan Corea del PIB real PIB estimado Sur
48 Preguntas Por qué los países pueden crecer permanentemente a tasas diferentes? Países ricos deben tener mayor productividad A t Por qué? (Capítulo final). Hay países con tasa baja de inversión que tienen altas tasas de crecimiento de la renta Cómo podemos entender eso? Países ricos deben tener tasas de inversión s más altas que países pobres. De qué capital estamos hablando? (Capítulo 5) Primero, vamos a aumentar el modelo con capital humano (capítulo 5) y evaluarlo otra vez...
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