Licenciatura en Economia Macroeconomia II. 1 Tecnologia Constante en el Modelo de Solow-Swan

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1 Licenciatura en Economia Macroeconomia II Danilo Trupin Trabajo Practico 3 - Soluciones 1 Tecnologia Constante en el Modelo de Solow-Swan Suponga una economia que posee las siguientes condiciones: Funcion de produccion: Y = 10K α L (1 α), con 0 < α < 1. Tasa de ahorro: s =.2 (20% del ingreso). Depreciacion: δ =.04. Crecimiento de la poblacion: n = Calcular:, y, c, donde ( ) representa el valor de las variables en steady state. La ecuacion fundamental de Solow se relaciona con la dinamica del capital en terminos per capita, y puede escribirse asi:. = sf() (), (1) donde es K/L en este problema, y g = 0. De esta manera, podemos escribir esta ecuacion como Para calcular, hacemos. = 0, de modo de obtener. =.2 10 α.05. (2).2 10 α =.05 lo cual, reordenando, implica = 40 1/(1 α), (3) o, expresado en una forma mas general que luego usaremos: Luego, = ( ) s 10 1/(1 α). (4) y c ( ) Y = 10 α = α/(1 α) (5) L ( ) C = (1 s)y = 8 40 α/(1 α). (6) L 1

2 2. Calcular: gold, y gold, c gold, donde el subindice gold indica el valor de dichas variables cuando se cumple la regla de oro de acumulacion de capital. Para hallar gold, debemos tener en cuenta que la regla de oro implica maximizar el consumo de steady state. Esto es, max c = (1 s)f( ) = f( ) () = 10 α.05 (7) La condicion de maximizacion arroja el siguiente resultado: gold = (α200)1/(1 α) (8) O, expresado en una forma mas general, Luego, ( ) α 10 1/(1 α) gold =. (9) y gold = 10 α gold (10) c gold = 10 α gold.05 gold (11) 3. Cual es la tasa de ahorro que permite llegar al steady state de la regla de oro cuando α = 1/3? Para hallar la tasa de ahorro que permite llegar al steady state de la regla de oro, con α = 1/3, podemos simplemente igualar (4) a (9), y notar que = ( ) s 10 1/(1 α) ( ) α 10 1/(1 α) = = gold (12) si y solo si s = α = 1/3. Con una funcion de produccion Cobb-Douglas, el ahorro debera ser igual a la elasticidad del output con respecto al capital o, igualmente, al share del capital en el ingreso. Asi, la tasa de ahorro deberia aumentar de.2 a.33 de modo de maximizar el consumo per capita en steady state. Logicamente, el aumento de la tasa de ahorro hace que en el corto plazo el consumo caiga ( que?), pero sabemos que luego la trayectoria del consumo sera tal que este ira incrementandose hasta el nuevo steady state, el cual sera mayor al anterior. 4. Asuma que tanto al trabajo como al capital se les paga sus productividades marginales. Siendo w el pago al factor trabajo, demuestre que el producto marginal del trabajo en esta economia, w, sera equivalente a f() f (). 2

3 De los supuestos del problema, tenemos la siguiente expresion: 1 w = F (K, L) = (1 α)10k α L α = (1 α)10 α = 10 α α10 α L = f() αf() = f() f (). O, alternativamente, y usando una expresion mas general, podemos resolver esto de la siguiente manera. Sabemos que Y = F (K, L) = Lf(). (13) Diferenciando Y con respecto a L, y usando regla de la cadena, tenemos entonces que Y L = f() + Lf () ( KL ) 2 = f() f (), (14) lo cual muestra lo enunciado en el problema. 2 Shocs en el modelo de Solow-Swan Describa como cada uno de los siguientes cambios afecta la inversion bruta actual la curva sf() y/o la inversion brea-even la recta (n + g + δ) en nuestro diagrama basico del modelo de Solow-Swan: 1. La tasa de depreciacion cae. Se obseva en la Figura 1 (al final del documento) que la caida de la tasa de depreciacion genera una baja en la pendiente del brea-even investment, en consecuencia el nivel de capital trabajo efectivo de steady state aumenta. 2. La tasa de crecimiento tecnologico aumenta. Lo contrario ocurre cuando la tasa de crecimiento tecnologico aumenta, tal como se observa en la Figura La funcion de produccion es Cobb-Douglas, f() = α, y la participacion del capital, α, aumenta. 1 Aqui escribo F (K, AL) como equivalente a F (K, L), tomando en cuenta la forma de la funcion de produccion asumida. 3

4 El efecto de un cambio en α sobre la curva de inversion actual, s α, se puede obtener a traves del estudio de la derivada de esta ultima funcion respecto de α : (s α ) α = (seα ln ) = s α ln. α Vemos que dicha derivada sera positiva cuando ln > 0, que es lo mismo a decir que > 1. Es decir que, para todo > 1, la nueva curva de inversion actual se ubicara arriba de la curva original, y viceversa. Asimismo, sabemos que para el caso de una funcion Cobb-Douglas, el capital trabajo efectivo de steady state es ( = s n + g + δ ) 1 1 α, lo que implica que > 1, solo si s > n + g + δ. Esto quiere decir que un aumento de α incrementara el nivel de capital per capita efectivo solo si la tasa de ahorro es superior a la tasa de brea-even este caso es el que se grafica en la Figura Los trabajadores ejercen mayor esfuerzo, de modo que el producto unidad de trabajado efectivo, y, para un valor dado de capital unidad de trabajo efectivo,, es mas alto que antes. Lo anterior significa que podemos escribir nuestra funcion de produccion como Bf(), con B > 0, y en consecuencia un aumento del esfuerzo puede ser interpretado como un aumento de B a B. Luego, se puede observar en la Figura 4 que el capital per capita efectivo de steady state aumenta. 4

5 Inv. (n+g+δ ) s f() * ** Figure 1: Caida de la depreciacion Inv. (n+g +δ) s f() * * * Figure 2: Aumento de la tasa de crecimiento tecnologico 5

6 Inv. s α s α =1 * ** Figure 3: Aumento de α Inv. sb f() sbf() * ** Figure 4: Aumento del esfuerzo trabajo 6