Clase 3: El modelo de Ramsey

Transcripción

1 Clase 3: El modelo de Ramsey Hamilton Galindo Macrodinámica Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 1 / 19

2 Outline 1 Equilibrio del planificador social Restricción global de recursos Problema del planificador social El estado estacionario Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 2 / 19

3 Preliminares Las condiciones de estabilidad son cruciales para generar soluciones numéricas del modelo. Las soluciones numéricas del modelo son un conjunto de series de tiempo de las variables endógenas. La versión discreta del modelo de Ramsey permite considerar una versión estocástica de la economía. Se asume que la tasa de crecimiento poblacional es η η = N t N t 1 N t 1 Se asume una tasa depreciación lineal δ Además, se asume una economía cerrada y sin gobierno. Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 3 / 19

4 Restricción global de recursos Restricción global de recursos I [1] La restricción presupuestaria agregada es: Donde la función de producción es Cobb-Douglas: Y la ecuación de la inversión es: Y t = C t + I t (1) Y t = F (K t, L t ) = K α t L 1 α t (2) I t = It neta + D t I t = (K t+1 K t ) + δk t (3) K t+1 es el stock de capital elegido al final del periodo t, el cual es usado para la producción en t + 1. Al introducir la ecuación [3] en [1] se tiene: Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 4 / 19

5 Restricción global de recursos Restricción global de recursos II Restricción presupuestaria agregada Y t = C t + K t+1 (1 δ)k t [2] La restricción presupuestaria per-cápita es: Y t = C t + K t+1 (1 δ)k t Y t = C t + K t+1 (1 δ) K t N t N t N t N t y t = c t + K t+1 N t+1 (1 δ)k t N t+1 N t y t = c t + k t+1 (1 + η) (1 δ)k t (4) Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 5 / 19

6 Restricción global de recursos Restricción global de recursos III Ley de movimiento del stock del capital k t+1 = η [f (k t) c t + (1 δ)k t ] = h(k t, c t ) (5) El stock de capital al final de t es una función no lineal de k t y c t. Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 6 / 19

7 Problema del planificador social Problema del planificador social I [1] El problema del planificador social en el modelo de Ramsey en tiempo discreto es el siguiente: Max {c t,k t+1 } t=0 β t U(c t ) sujeto a la restricción total de recursos (en términos per-cápita): t=0 f (k t ) = c t + k t+1 (1 + η) (1 δ)k t ) y con un stock de capital inicial dado (k 0 ) Donde: La función de utilidad es CRRA U(c t ) = c1 σ t 1 σ Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 7 / 19

8 Problema del planificador social Problema del planificador social II σ > 0 y σ 1 La función de producción Cobb-Douglas en términos per-cápita es: y t = f (k t ) = k α t [2] El Lagrange descontado es: L = t=0 ] β [U(c t t ) + λ t [f (k t ) (c t + k t+1 (1 + η) (1 δ)k t )] [3] Las condiciones de primer orden: L c t = 0 U ct + λ t ( 1) = 0 U ct = λ t (6) Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 8 / 19

9 Problema del planificador social Problema del planificador social III L k t+1 = 0 β t λ t (1 + η) + β t+1 λ t+1 ( f kt+1 (1 δ)) = 0 λ t (1 + η) = βλ t+1 ( f kt+1 (1 δ)) (7) Introduciendo la ecuación [6] en [7] se tiene la ecuación de Euler. Ecuación de Euler A la condición de Keynes-Ramsey en tiempo discreto se le conoce como la ecuación de Euler. [ ] U ct = βu f (k t+1 ) (1 δ) ct+1 (8) 1 + η Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 9 / 19

10 El estado estacionario El estado estacionario 1 Ecuación de Euler De la ecuación de Euler se obtiene el capital de estado estacionario (k ss ) ( k ss = 2 Función de producción ( y ss = kss α = 3 Restricción presupuestaria αβ 1 + η + β(1 δ) ) 1 1 α αβ 1 + η + β(1 δ) ) α 1 α (9) (10) c ss = y ss k ss (η + δ) (11) Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 10 / 19

11 I [1]El sistema de ecuaciones en diferencias del modelo El sistema de 2 ecuaciones que define la ley de movimiento del k t y c t es: Ecu. Euler: c t+1 = βc t [ f (k t+1 ) (1 δ) 1+η RP global: k t+1 = 1 1+η [f (k t) c t + (1 δ)k t ] = h(k t, c t ) ] En la ecuación de Euler se reemplaza k t+1 por la restricción presupuestaria obteniendose: c t+1 = g(k t, c t ) El sistema de EED sería: c t+1 = g(k t, c t ) Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 11 / 19

12 II k t+1 = h(k t, c t ) Este sistema se graficará considerando el eje Y al c t y al eje X al k t. [2]La curva del consumo de estado estacionario De la ecuación de Euler: c t+1 = c t 1 + η β (1 δ) = f (k t+1 ) = αk α 1 t+1 En la ecuación anterior se reemplaza k t+1 de la restricción presupuestaria: [ 1 + η β(1 δ) βα ] 1 α 1 = η [f (k t) c t + (1 δ)k t ] = h(k t, c t ) Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 12 / 19

13 III Despejando c t, se tiene: Curva de EE del c t Donde: ct = A + f (kt) + (1 δ)kt [ 1 + η β(1 δ) A = (1 + η) βα ] 1 α 1 Cómo es la tasa de crecimiento fuera del estado estacionario? Para c t+1 > c t Reemplazando c t+1 de la ecu. de Euler: [ ] f (kt+1 ) (1 δ) βc t > c t 1 + η Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 13 / 19

14 IV Eliminando c t : Despejando k t+1 : β 1 + η ( f (k t+1 ) + (1 δ)) > 1 αkt+1 α 1 > 1 + η (1 δ) β Dado que el exponente es negativo, al despejar k t+1 se invierte el signo > : [ ] η β(1 δ) α 1 k t+1 < βα Reemplazando k t+1 de la RP: η [f (k t) c t + (1 δ)k t ] < [ 1 + η β(1 δ) βα ] 1 α 1 Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 14 / 19

15 V Operando se tiene: [ 1 + η β(1 δ) f (k t ) c t + (1 δ)k t < (1 + η) βα Despejando c t se tiene: f (k t ) c t + (1 δ)k t < A ] 1 α 1 A + f (k t ) + (1 δ)k t < c t Donde la ecuación A + f (k t ) + (1 δ)k t representa la curva de estado estacionario del consumo c ss t c ss t < c t Por tanto: Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 15 / 19

16 VI El consumo tendrá una tasa de crecimiento positivo cuando el consumo (eje Y) es mayor al consumo de estado estacionario (curva de c t+1 = c t ). [3]La curva del capital de estado estacionario De la RP: k t+1 = k t (1 + η)k t+1 = f (k t ) (1 δ)k t c t Despejando el c t Curva de EE del k t ct = f (kt) (η + δ)kt Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 16 / 19

17 VII Cómo es la tasa de crecimiento fuera del estado estacionario? Para k t+1 > k t Reemplazando k t+1 de la restricción presupuestaria: Despejando c t η [f (k t) c t + (1 δ)k t ] > k t c t < f (k t ) (η + δ)k t c t < c ss t Por tanto: El capital tendrá una tasa de crecimiento positivo cuando el consumo (eje Y) es menor al capital de estado estacionario (curva de k t+1 = k t ). Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 17 / 19

18 Diagrama de fase: curvas de estado estacionario De la ecuacion de Euler (n+δ)k f(k) De la restriccion presupuestaria -A + (1-δ)k f(k) kt -A kt ct ct ct = ct+1 kt = kt+1 koro kt -A kt Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 18 / 19

19 Diagrama de fase: senda de equilibrio estable ct ct = ct+1 Senda de equilibrio estable kt = kt+1 kss koro kt -A Hamilton Galindo (Macrodinámica) Clase 3: El modelo de Ramsey 19 / 19