El dinero. Jesús Rodríguez López Universidad Pablo de Olavide. Sevilla, Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

Transcripción

1 El dinero Jesús Rodríguez López Universidad Pablo de Olavide Sevilla, Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

2 El modelo de generaciones solapadas El tiempo es discreto, t = 0, 1, 2,... Cada agente de la economía vive dos periodos, uno en el que es joven y otro en el que es viejo. La estructura de las generaciones está representada en la gura 1. En t = 0, el primer agente ya es viejo y tiene una cantidad M de dinero. Figura 1: Generaciones solapadas Viejo Tiempo Joven Viejo Joven Viejo Joven Viejo... Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

3 El modelo de generaciones solapadas Hay un solo bien de consumo en cada periodo, el cual no es almacenable. Los agentes reciben una dotación w t (t) = w 1 de unidades de c cuando son jovenes, y w t (t + 1) = w 2 cuando son viejos. Consumen c t (t) cuando son jóvenes y c t (t + 1) cuando son viejos. El bien se intercambia en un mercado competitivo en cada momento t al precio. El viejo y el joven de distintas generaciones interactúan dentro del mismo periodo tomando como algo dado. La cantidad de dinero que se emplea en la economía es constante en el tiempo M s t = M Existe un conjunto de consumo R 2 +, cuyos elementos consisten en combinaciones de bienes o cestas de consumo a lo largo del periodo vital de un agente que nace en t: c t = (c t (t), c t (t + 1)) 2 R 2 + Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

4 El modelo de generaciones solapadas Todo consumidor tiene unas preferencias, t, que cumplen los supuestos de completitud, transitividad, no saciabilidad, convexidad y continuidad. Estas preferencias están representadas por una función de utilidad u (c t (t), c t (t + 1)) : R 2 +! R La función de utilidad es la misma para todos los agentes de la economía a lo largo del tiempo. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

5 El modelo de generaciones solapadas Un agente que nace en el periodo t ha de resolver el siguiente problema max fu (c t (t), c t (t + 1))g (1) s.a. c t (t) + M d t = w 1 (2) c t (t + 1) +1 = w M d t (3) M d t / 0 (4) en donde, Mt d es la cantidad demandada de dinero en t, (2) es la restricción presupuestaria cuando el agente es joven, (3) es la restricción presupuestaria cuando el agente es viejo y (4) es una restricción para el ahorro y, por tanto, Mt d / es el saldo real en t (ahorro en unidades de c). Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

6 El modelo de generaciones solapadas Si se despeja M d t en las restricciones (2) y (3), se tiene que c t (t) + c t (t + 1) +1 = w 1 + w 2 +1, (5) El problema podría ser reescrito de la siguiente manera (c t (t), c t (t + 1)) arg max fu (c t (t), c t (t + 1))g (6) s.t. c t (t) + c t (t + 1) +1 = w 1 + w 2 +1 (7) en donde ya no se hace referencia a M d t. c t (t) w 1. (8) Si todos los agentes tienen idéntica función de utilidad u (, ), la curva de oferta-demanda es también la misma, por lo que, para un precio relativo +1 / todos tomarían la misma decisión. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

7 El modelo de generaciones solapadas Si se despeja M d t en las restricciones (2) y (3), se tiene que c t (t) + c t (t + 1) +1 = w 1 + w 2 +1, (9) El problema podría ser reescrito de la siguiente manera (c t (t), c t (t + 1)) arg max fu (c t (t), c t (t + 1))g s.t. c t (t) + c t (t + 1) +1 = w 1 + w 2 +1 c t (t) w 1 en donde ya no se hace referencia a M d t. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

8 El modelo de generaciones solapadas Consumo futuro Figura 2: El presupuesto y la decisión c* t (t+1) Solución interior u'(w t (t))/u'(w t (t+1)) < /+1 w t (t+1) Ahorro c* t (t) w t (t) Consumo presente Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

9 El modelo de generaciones solapadas Consumo futuro Figura 3: El presupuesto y la decisión Solución de esquina c* t (t+1) = w t (t+1) u'(w t (t))/u'(w t (t+1)) > /+1 c* t (t) = w t (t) Consumo presente Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

10 El modelo de generaciones solapadas Si permitimos que la in ación varíe y analizamos el equilibrio resultante para cada π t diferente, podemos encontrar la curva de oferta-demanda, o el conjunto de las combinaciones (c t (t), c t (t)) que son óptimas para cada /+1. Consumo futuro Figura 4: La curva de oferta demanda Pendiente = /+1 w t (t+1) w t (t) Consumo presente Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

11 El modelo de generaciones solapadas Dada una economía de intercambio puro como la que se ha descrito, se dice que una asignación c t (t), c t (t + 1), Mt d es factible si, en cada periodo c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2 Mt d = Mt s = M es decir, los mercados de bienes y de dinero se vacían en t. Un equilibrio competitivo es una secuencia de precios f g t=0 tal que, cuando los agentes los toman como dados, eligen una secuencia n o c t (t), c t (t + 1), Mt d t=0 en donde los mercados de bienes y de dinero se vacían en cada momento t c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2 Mt d = M Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

12 Generaciones Solapadas Proposición 1: Si la curva de oferta-demanda (COD) es decreciente y se permite una solución interior, u 1 (w 1, w 2 ) u 2 (w 1, w 2 ) < +1, entonces, un equilibrio monetario estacionario viene dado por un precio = p > 0, De este modo, el equilibrio está caracterizado por c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2, M d t = M. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

13 Generaciones Solapadas Para comprobar que = p > 0 8t representa un equilibrio, hay que ver tres cuestiones: 1 Eligen los agentes c t (t) = c 1 y c t (t + 1) = c 2?. Sí, dado que su decisión pertenece a la curva de oferta-demanda, lo cual implica que están maximizando su utilidad. 2 Se satisface la restricción c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2?. Sí, puesto que c 1 + c 2 = w 1 + w 2, se sitúa dentro de la linea de posibilidades. 3 Está el mercado de dinero en equilibrio?. De la restricción presupuestaria tenemos que M t /p = c 1 w 1, y puesto que M t = M, el mercado de dinero está en equilibrio si p = M c 1 w 1. Este último resultado nos ha proporcionado una fórmula para p, la Teoría Cuantitativa del dinero: si M fuese duplicado al principio del periodo, el nivel de precios estacionario ambién se duplicaría para siempre. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

14 Generaciones Solapadas Proposición 2: Si la curva de oferta-demanda (COD) es decreciente, la cantidad de dinero es nula y se permite una solución de esquina: u 1 (w 1, w 2 ) u 2 (w 1, w 2 ) +1, entonces, un equilibrio autárquico estacionario viene dado por (c t (t), c t (t + 1)) = (w 1, w 2 ). De este modo, el equilibrio está caracterizado por c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2, M d t = 0. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

15 Generaciones Solapadas El dinero tiene un valor positivo de equilibrio en este modelo. Los agentes se encuentran una sola vez y no se pueden hacer préstamos de uno a otro, por lo que el dinero actúa como un medio de conexión entre generaciones. El dinero tiene un valor incluso aunque no tenga un valor intrínseco, por lo que su valor es endógeno. A continuación, intentemos encontrar la secuencia de precios que proporciona esta secuencia de equilibrios competitivos. De namos una función de ahorro de la forma: pt+1 S = w 1 c t (t) = c t 1 (t) w 2 = M t 1 1 = 1 S 1 pt 1 Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

16 Generaciones Solapadas 1 Estas funciones tienen una inversa, por lo que podemos escribir S 1 (S ()) = S 1 ( S ()), es decir +1 = S 1 pt 1 pt S, (10) 1 lo cual es una ecuación en diferencias que nos da la trayectoria de la in ación en el tiempo. Claramente, la ecuación (10) se satisface para +1 / = 1, es decir, permaneceríamos en el equilibrio para siempre, lo cual es el equilibrio no in acionario que hemos encontrado antes. 2 Para +1 / = u 2 (w 1, w 2 ) /u 1 (w 1, w 2 ) = (u 1 /u 2 ), se tiene que S 1 (u 2 /u 1 ) S (u 1 /u 2 ) = S 1 (0) = (u 2 /u 1 ) 3 Si diferenciamos S 1, encontraremos que S 1 0 > 0 y S 1 00 < 0, con lo que el grá co para precios queda como sigue. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

17 Generaciones Solapadas +1 / u'(w t (t))/u'(w t (t+1)) 1 45º 1 u'(w t (t))/u'(w t (t+1)) / 1 Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

23 Generaciones Solapadas Existe un continuo de equilibrios de expectativas racionales, uno diferente para cada nivel inicial de in ación entre 1 y (u 2 /u 1 ) : Si 1 + π 0 = 1, π 0 = 0, tendremos el equilibrio estacionario ya analizado en el que (c t (t), c t (t + 1)) = (c 1, c 2 ) es constante a lo largo del tiempo. Si 1 + π 0 > 1, entonces 1 + π t crecerá desde 1 + π 0 hasta (u 2 /u 1 ). En este caso S (+1 / )! 0 a medida que +1 /! (u 2 /u 1 ). Si 1 + π 0 < 1 no puede ser un equilibrio dado que los precios llegarán a ser alguna vez negativos, lo cual es imposible. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

24 Generaciones Solapadas El equilibrio cuendo 1 + π 0 > 1 es llamado equilibrio de burbuja (buble equilibrium). Aunque M y el número de agentes sean constantes, π está siempre subiendo (puesto que los agentes esperan que esto suceda), y los ahorros tenderán a cero. Pero no hay una razón aparente para que exista la burbuja. Por cada (1 + π 0 ) en el intervalo (1, u 2 /u 1 ], la ecuación (10) S 1 pt 1 S proporciona la senda de equilibrio para la in ación. pt 1 nos Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

25 Dinero, precios y producción A corto plazo, los precios son rígidos, por lo que la in ación es nula o muy baja. Las expectativas se revisan con lentitud. Así, una expansión monetaria puede disminuir el tipo de interés y aumentar la producción por encima de su nivel natural en el corto plazo. Neutralidad del dinero: McCandless y Weber (1995): "Some Monetary Facts". Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, Vol. 19, No. 3, pp π i = a + bγ M,i + u i, H 0 : b = 1. Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

26 Dinero, precios y producción Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

33 Generaciones Solapadas: Ejemplo 1 Consideremos el problema de unas generaciones solapadas con utilidad Cobb-Douglas, u (c t (t), c t (t + 1)) = c t (t) α c t (t + 1) 1 α. Un agente que nace en la generación t, resolverá: n max c t (t) α c t (t + 1) 1 αo (11) s.a. c t (t) + M d t = w 1. (12) c t (t + 1) +1 = w M d t, (13) Presupuesto intertemporal: M d t / 0. (14) c t (t) + c t (t + 1) +1 = w 1 + w Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

34 Generaciones Solapadas: Ejemplo 1 Condiciones de primer orden y presupuestos, t = 1, 2, 3,...: α c t (t + 1) =. 1 α c t (t) +1 {z } RMS c t (t) + c t (t + 1) +1 = w 1 + w Así: c t (t + 1) +1 = 1 α α c t (t). Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

35 Generaciones Solapadas: Ejemplo 1 Solución: Ahorro: c t (t) = αw 1 + αw 2 +1 w 1, c t (t + 1) = (1 α) w (1 α) w 2 w 2. M d t = w 1 c t (t) 0. M d t = (1 α) w 1 αw Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

36 Generaciones Solapadas: Ejemplo 1 Condiciones de factibilidad: Sabiendo que: c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2, M d t = M. c t (t) = αw 1 + αw 2 +1 w 1, c t 1 (t) = (1 α) w (1 α) w 2 w 2. M d t = (1 α) w 1 αw Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

37 Generaciones Solapadas: Ejemplo 1 Así, c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2, implica que: αw 1 + αw 2 +1 {z } c t (t) Esto hace que: + (1 α) w (1 α) w 2 {z } c t 1 (t) = w 1 + w 2, αw (1 α) w 1 1 = (1 α) w 1 + αw = (1 + ρ) ρ 1, ρ 1 α w 1. α w 2 Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

38 Generaciones Solapadas: Ejemplo 1 Resumen. Para ρ 1 α w 1 α w 2 : +1 = (1 + ρ) ρ 1, +1 = (1 + ρ) ρ 1 1 = (1 + ρ) ρ ( / 1 ) = S 1 pt 1 pt S 1 Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

39 Generaciones Solapadas: Ejemplo 1 Equilibrio estacionario: = 1 = p: c t (t) = c 1 = αw 1 + αw 2 +1 = αw 1 + αw 2 w 1, c t (t + 1) = c 2 = (1 α) w (1 α) w 2 = (1 α) w 1 + (1 α) w 2 w 2. Mt d = M p = (1 α) w 1 αw 2 0. M p = > 0. (1 α) w 1 αw 2 Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

40 Generaciones Solapadas: Ejemplo 2 Supongamos, además de los supuestos del ejemplo anterior, que la población crece a una tasa constante: N t = (1 + n) N t 1, Cada individuo sigue decidiendo, en cada generación (tratándose de soluciones interiores): c t (t) = αw 1 + αw 2 +1 w 1, c t (t + 1) = (1 α) w (1 α) w 2 w 2. M d t = (1 α) w 1 αw Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

41 Generaciones Solapadas: Ejemplo 2 Las condiciones de factibilidad deben ser reescritas: N t c t (t) + N t 1 c t 1 (t) + G t = N t w 1 + N t 1 w 2, N t Mt d = Mt s = M. Dividiendo la primera condición por N t 1 (con g t = G t /N t ): (1 + n) c t (t) + c t 1 (t) = (1 + n) w 1 + w 2, Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42

42 Generaciones Solapadas: Ejemplo 2 +1 / u'(w t (t))/u'(w t (t+1)) 1/(1+n) 45º 1/(1+n) u'(w t (t))/u'(w t (t+1)) / 1 Jesús Rodríguez () El dinero Sevilla, / 42