Universidad Carlos III de Madrid Junio de Microeconomía Calif.

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1 Universidad Carlos III de Madrid Junio de 01 Nombre: Microeconomía Grupo: Calif. Dispone de horas y 45 minutos. La puntuación de cada apartado se indica entre paréntesis. Administre su tiempo teniendo en cuenta esta puntuación. 1. Preguntas Tipo Test. (Marque su respuesta con una x. Para cada pregunta hay únicamente una respuesta correcta; se obtienen puntos si se marca la respuesta correcta, -0,66 si se marca una respuesta incorrecta y 0 puntos si no se marca respuesta alguna.) 1.1. Se sabe que las preferencias de un consumidor satisfacen los axiomas A:1; A: y A:3; y que A = (0; ) B = (1; 1): Por consiguiente, se puede inferir la siguiente relación entre estas cestas y la cesta C = (1; ): C B C v A C v B C A: 1.. Las preferencias de Pareto P, de nidas como (x; y) P (x 0 ; y 0 ) si x x 0 e y y 0, no satisfacen el axioma A:1 (completitud) no satisfacen el axioma A:3 (monotonicidad) no satisfacen el axioma A: (transitividad) satisfacen los axiomas A:1 A: Que la cesta óptima (x ; y ) satisface la restricción p x x + p y y = I es consecuencia del axioma de completitud (A.1) del axioma de transitividad (A.) del axioma de monotonicidad (A.3) del axioma de convexidad (A.5) Identi que la cesta óptima para un consumidor cuyas preferencias están representadas por la función de utilidad u(x; y) = minfx; yg si su renta es I = 6 y los precios son p x = p y = 1. (3; 3) (4; ) (; 4) (6; 3) 1

2 1.5. Si se multiplica la renta del consumidor por el índice de precios al consumo de tipo Laspeyres, entonces se mantiene el bienestar del consumidor en el periodo base se mantiene inalterado el conjunto presupuestario del consumidor en el periodo base se incrementa el nivel de bienestar del consumidor respecto al del periodo base se compensa al consumidor exactamente por el importe de la variación compensada Las preferencias de un consumidor están representadas por la función de utilidad de Bernoulli u(x) = x. Identi que la utilidad esperada y la prima de riesgo de la lotería l = (x; p) que paga los premios x = (0; ; 4) con probabilidades p = ( 3; 1; 1): 8 8 Eu(l) = ; P R(l) = 1 Eu(l) = ; P R(l) = 1= Eu(l) = 4; P R(l) = 1= Eu(l) = 4; P R(l) = 1: 1.7. Lolita es una vaca competitiva que produce leche utilizando avena (A) y heno (H) de acuerdo con la función de producción F (A; H) = minfa; H g: Por tanto, como productora de leche Lolita tiene deseconomías de escala economías de escala rendimientos constantes a escala una función de costes totales convexa Si existen dos tecnologías para producir un bien cuyas funciones de costes totales son C A (q) = 3q +1q+3 y C B (q) = 5q +0, respectivamente, el precio de equilibrio competitivo a largo plazo es p L = 18 p L = 9 p L = 10 p L = El índice de Lerner de un monopolio que produce el bien a coste cero en un mercado en p el que la demanda es D(p) = maxf1 ; 0g es 4 L = 0 L = 1 4 L = 1 L = 1: Una empresa que produce un bien con costes totales C(q) = q monopoliza un mercado en el que la demanda es D(p) = maxf1 p; 0g. La introducción de un precio máximo p = 8 euros/unidad supone: un aumento de la pérdida de e ciencia del monopolio un aumento del excedente del consumidor una disminución del excedente total una disminución del nivel de producción del monopolio.

3 . Las preferencias de un consumidor sobre alimentos (x) y vestido (y) están representadas por la función de utilidad u(x; y) = xy. Los precios de alimentos y vestido son p x y p y euros por unidad, respectivamente, y la renta del consumidor es I euros. (a) (10 puntos) Calcule sus funciones de demanda ordinarias, x(p x ; p y ; I) e y(p x ; p y ; I). Solución: Puesto que u(0; y) = u(x; 0) = 0, para I > 0 la solución al problema del consumidor es interior. Tenemos Una solución interior resuelve el sistema RMS(x; y) = y x : y x = p x p y xp x + yp y = I: Resolviendo el sistema obtenemos las demandas ordinarias: x(p x ; p y ; I) = I 3p x y(p x ; p y ; I) = I 3p y : 3

4 (b) (15 puntos) Suponga que la renta del consumidor es I = 1 y los precios son (p x ; p y ) = (1; ). Para nanciar el gasto público, el gobierno ha decidido gravar el consumo del bien x con un impuesto de 1 euro por unidad. Calcule los efectos renta y sustitución de este impuesto sobre la demanda de x. Si el gobierno sustituye este impuesto por un impuesto sobre la renta del consumidor que genera la misma recaudación, cuál sería el nivel de bienestar del consumidor, mayor o menor que con el impuesto sobre el consumo de x? Muestre explícitamente los cálculos que justi can su respuesta y represente grá camente sus resultados. Solución: Calculamos la cesta óptima a los precios (p x ; p y ) = (1; ) y renta I = 1: x A = x(1; ; 1) = 1 3 = 4; y A = y(1; ; 1) = 4 6 = 4: La utilidad del consumidor para esta cesta es u A (4; 4) = 4 4 = 64: Con el impuesto, los precios son (p 0 x; p y ) = (; ), la cesta óptima del consumidor es x C = x(; ; 1) = 1 6 = ; y C(; ; 1) = 4 6 = 4; y su utilidad es u C = u(; 4) = 4 = 3: Para calcular el ES necesitamos calcular la cesta (x B ; y B ) que resuelve el sistema: y B x B = p0 x p y = 1 x B (y B ) = 64: La solución es (x B ; y B ) = ( 3p ; 4 3p ). Por tanto, el efecto substitución es ES = x B x A = 3p 4 = 3p y el efecto renta es ER = ET ES = ( 4) + 3p = 1 3p Por otro lado, la recaudación del impuesto es R = 1 x C = 4

5 Un impuesto sobre la renta de T = euros generaría la misma recaudación sin alterar los precios. Con este impuesto la renta del consumidor sería I T = 10. La cesta óptima para estos precios y renta es x T = x(1; ; 10) = 10 3 ; y T (1; ; 10) = 10 3 : La utilidad del consumidor para esta cesta es u T ( 10; 10) = = ' 37:037 > 3: Por tanto, el individuo pre ere el impuesto directo sobre la renta. Grá camente, y x 5

6 3. (15 puntos) Las preferencias de un trabajador sobre ocio (h; medido en horas) y consumo (c; medido en euros) están representadas por la función de utilidad u(h; c) = h + p c: El trabajador dispone de H = 16 horas para dedicar al trabajo y al ocio, y no dispone de otra renta que la que obtiene de su trabajo. Calcule y represente su oferta de trabajo. (Observe que p c = 1 pues estamos midiendo el consumo en euros.) Suponga ahora que el salario es w = 4 euros/hora y que existe un subsidio de desempleo que paga S euros a quienes no trabajan. Cuánto trabajaría y consumiría si S = 5? A partir de qué valor de S dejaría de trabajar? Solución: tenemos RMS(h; c) = 1 1 p c = p c: Como p c = 1, una solución interior al problema del consumidor resuelve el sistema cuya solución es p c = w c + wh = 16w; c = w ; h = 16 w: Para que h 0, necesitamos que w 16. En otro caso, h = 0 y c = 16w. Por tanto, las funciones de demanda de ocio y consumo son 16 w si w 16 w h(w) = 0 si w > 16 ; c(w) = si w 16 16w si w > 16; y la oferta de trabajo es Grá camente: l(w) = 16 h(w) = w si w si w > 16: w l 6

7 Si w = 4 la combinación ocio-consumo óptima del individuo es (h ; c ) = (1; 16); por tanto, el individuo trabajaría 4 horas y su nivel de utilidad sería u = 1 + p 16 = 0. Por el contrario, si no trabaja y recibe un subsidio S = 5, su cesta ocio-consumo sería (h s ; c s ) = (16; 5), lo que le reportaría una utilidad de u s = 16+ p 5 ' 0:47 > 0. Entonces, para este valor del subsidio el individuo no trabajaría. Dado el salario w = 4, para calcular el nivel de subsidio que le deja indiferente entre trabajar o no resolvemos la ecuación cuya solución es S = 4: 0 = 16 + p S; 7

8 4. (0 puntos) La demanda de un bien es D (p) = 40=p: Hay 10 empresas idénticas cuya función de producción es F (L; K) = L 1 3 (K 1) 1 3 : Las empresas son precio-aceptantes en los mercados de factores, en los que los precios son w = r = 1: Calcule las funciones de costes totales, marginales y medios y la función de oferta de cada empresa, y determine el equilibrio competitivo. Calcule el precio y el número de empresas en el equilibrio competitivo a largo plazo con libre entrada (y sin patentes). Solución: Tenemos RMST (L; K) = K 1 L : Para q > 0 las demandas condicionales de factores resuelven el sistema cuya solución es K 1 = 1 L 3p p L 3 K 1 = q; L(q) = p q 3 ; K(q) = p q 3 + 1: Para q = 0; la solución al problema de minimización de costes es K = L = 0: Por tanto, la función de costes es C(q) = wl(q) + rk(q) = p q si q > 0 0 si q = 0; y para q > 0 las funciones de costes medios y marginales son CMe(q) = p q + 1 q CMa(q) = 3 p q: Para calcular la función de oferta individual resolvemos la ecuación p = CM a(q) y comprobamos la condición de segundo orden de maximización de bene cios de la empresa competitiva, CM a(q) dq = 3 p q > 0; que claramente se cumple. La condición de cierre requiere (q) > (0) = C(0) = 0; que equivale a la comprobar que p CMe(q): Como p = CMa(q), esta condición requiere p = CMa(q) = 3 p q > CMe(q) = p q + 1 q ; 8

9 es decir, p q3 > 1, q > 1: Por tanto, la oferta de la empresa competitiva es 8 < 0 si p < p 3 s(p) = f0; 1g si p = p 3 : p si p > p 3: 9 Para calcular el equilibrio competitivo suponemos p > p 3. En este caso, la oferta de mercado se S(p) = 10s(p) = 10p =9 y la condición de equilibrio es D(p) = 40 p = 10p 9 = S(p); cuya solución es p = 6 > p 3: A este precio la cantidad de equilibrio es Q = 40; y el nivel de producción de cada empresa es q = 4: Claramente los precios p p 3 generan una demanda D(p) 40= p 3 = 80 p 3 mayor que la oferta S(p) 10 y, por tanto, no son precios de equilibrio. Para calcular el equilibrio competitivo a largo plazo con libre entrada y sin patentes, sabemos que p = min q0 CMe(q): Resolviendo CM e(q) dq = 0 obtenemos q L = 3p 4 y CMe(q L ) = 3 3p : Por tanto, el precio de equilibrio a largo plazo es p L = 3 3p ; la cantidad comerciada es Q L = D( p L) = p = 40 3p 4 y el número de empresas es n Lq L = Q L, n L = 40: 9

10 5. (0 puntos) Una empresa que produce un bien a coste cero monopoliza dos mercados cuyas demandas son D 1 (p) = maxf10 p; 0g y D (p) = maxf4 p; 0g. Calcule los equilibrios de monopolio con y sin discriminación de precios de tercer grado y determine quienes resultan bene ciados o perjudicados con la discriminación de precios (respecto a la situación en la que no se puede discriminar en precios). donde Solución: El problema del monopolio con discriminación de precios de tercer grado es max p 1(q 1 )q 1 + p (q )q C(q 1 + q ) = p 1 (q 1 )q 1 + p (q )q ; q 1 ;q 0 p 1 (q 1 ) = 10 q1 si q si q 1 > 10 ; p q1 si q (q ) = 4 0 si q > 4: La solución a este problema resuelve el sistema 10 q 1 = 0 4 q = 0; cuya solución es q 1 = 5 y q = : Los precios de equilibrio son p 1 = 5 y p =, y los excedentes de los consumidores en ambos mercados y el bene cio del monopolista son EC MD 1 = 1:5; EC MD = ; MD = 9 Para resolver el problema del monopolista sin discriminación de precios tenemos que calcular la demanda agregada. Para ello, observamos que para precios mayores que 10 no hay demanda del bien, mientras que para precios comprendidos entre 4 y 10 solo hay demanda del bien en el mercado 1 y para precios menores que 4, hay demanda del bien en ambos mercados. Por tanto, la demanda agregada es 8 < 0 si q > 14 1 p(q) = 7 q si 6 < q 14 : 10 q si q 6: El ingreso del monopolista es I(q) = p(q)q y su ingreso marginal es 8 < 0 si q > 14 IMa(q) = 7 q si 6 < q 14 : 10 q si q 6: El equilibrio de monopolio sin discriminación de precios se obtiene resolviendo la ecuación IMa(q) = CMa(q). Suponiendo que 6 < q 14; tendríamos la ecuación 7 q = 0 10

11 cuya solución es q M = 7, que efectivamente pertenece al intervalo (6; 14]. El precio de equilibrio es p M = 3; 5. Los excedentes de consumidores en ambos mercados y los bene cios del monopolista sin discriminación son: EC M 1 = 1; 15; EC M = 0; 15; M = 4; 5 Vemos que el productor y los consumidores del segundo mercado salen perjudicados, y que los consumidores del primer mercado se bene cian. 11