Universidad Carlos III de Madrid Junio de Microeconomía Calif.

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1 Universidad Carlos III de Madrid Junio de 011 Microeconomía Nombre: Grupo: Calif. Dispone de horas y 5 minutos. La puntuación de cada apartado, sobre un total de 100 puntos, se indica entre paréntesis. Administre su tiempo teniendo en cuenta esta puntuación. 1. Preguntas Tipo Test. (Marque su respuesta con una x. Para cada pregunta hay únicamente una respuesta correcta; se obtienen puntos si se marca la respuesta correcta, -0,66 si se marca una respuesta incorrecta y 0 puntos si no se marca respuesta alguna.) 1.1. Las preferencias de un individuo sobre cestas de bienes (x; y) R + son completas, transitivas y monótonas (axiomas A:1; A: y A:3). Si A = (0; 3) B = (; 1); entonces las relaciones entre A; B; y C = (1; 1) incluyen A C B C A C B % A. 1.. La renta monetaria de un consumidor es I = euros y los precios de los bienes son p x = p y = 1 euros/unidad. El consumidor está considerando adquirir la cesta (x; y) = (; 0) : Si su relación marginal de sustitución para esta cesta es RMS (; 0) = 1=, entonces el consumidor debería comprar más x y menos y comprar más x e y comprar más y y menos x comprar la cesta (; 0) Si el bien x es inferior, entonces un incremento de p x reduce la demanda de x tiene un efecto ambiguo sobre la demanda de x incrementa la demanda de y incrementa la demanda de x: 1.. En 010, los precios de los bienes x e y fueron (p 010 x ; p 010 y ) = (; ) y la cesta óptima consumida por un individuo representativo fue (x; y) = (; 1). Si en 011 los precios son (p 011 x ; p 011 y ) = (1; ), entonces el IPC de Laspeyres durante 010 fue IP C L = 1 IP C L = 1; 66 IP C L = 1; 5 IP C L = 0; : 1

2 1.5. Anacleta la coqueta está considerando salir de compras esta mañana y, en caso de hacerlo, si llevar paraguas o no llevarlo. Está nublado y se espera que llueva con probabilidad 1=. Su función de utilidad de Bernoulli tiene los siguientes valores: Si llueve su (des)utilidad sería 6 si no lleva paraguas, y sólo si lo lleva. Si no llueve, su utilidad sería si no lleva paraguas y si lo lleva. Si se queda en casa, su utilidad es cero. Que debería hacer Anacleta? Salir y llevar paraguas Salir con o sin paraguas, pues ambas decisiones son óptimas Salir sin paraguas No salir Lolita, la vaca competitiva en todos los mercados de Holstein, produce leche (L) utilizando avena (A) y heno (H) de acuerdo con la función de producción L = A + H: Por tanto, como productora de leche Lolita tiene desconomías de escala costes medios constantes coste total convexo rendimientos a escala crecientes Si al precio de mercado una empresa competitiva produce una cantidad positiva, entonces para este nivel de producción su bene cio es positivo su coste marginal es menor que el precio su coste medio total es menor que el precio su coste medio variable es no decreciente. 1.. En un mercado competitivo hay empresas que producen el bien utilizando las dos tecnologías existentes, A y B, cuyas funciones de costes son C A (q A ) = q A + 50 y C B(q B ) = q B + 100, respectivamente. En el equilibrio a largo plazo, las empresas de tipo A salen del mercado las empresas de tipo B salen del mercado ambos tipos de empresas pueden permanecer en el mercado ambos tipos de empresas salen del mercado El Índice de Lerner de un monopolio en el que la demanda de mercado es D(p) = 1=p es 0 1= = Respecto al equilibrio de monopolio sin discriminación de precios, la discriminación de precios de primer grado genera un descenso del excedente del productor un aumento del excedente total un descenso de la cantidad comerciada un aumento del excedente del consumidor.

3 . Las preferencias de un individuo sobre alimentos (x) y vestido (y) están representadas por la función de utilidad u(x; y) = ln x + ln y. Los precios de alimentos y vestidos son p x y p y euros por unidad, respectivamente, y la renta del consumidor es I euros. (a) (10 puntos) Calcule sus funciones de demanda ordinarias, x(p x ; p y ; I) e y(p x ; p y ; I). Represente el conjunto presupuestario y la curva de indiferencia en la que se sitúa la cesta de consumo óptima para precios (p x ; p y ) = (; 1) y renta I = 1: Solución: Puesto que la utilidad es cero en los ejes y positiva en el interior de R +, para I > 0 la solución al problema del consumidor es interior. Para encontrarla, resolvemos el sistema RMS(x; y) = p x p y xp x + yp y = I: Tenemos RMS(x; y) = y x : Sustituyendo y resolviendo el sistema, obtenemos una única solución para p x ; p y > 0, que proporciona las funciones de demanda ordinarias: x(p x ; p y ; I) = I 3p x y(p x ; p y ; I) = I 3p y La cesta óptima para precios (p x ; p y ) = (; 1) y renta I = 1 es y la utilidad derivada de su consumo es Representación grá ca: x(; 1; 1) = x 0 = ; y(; 1; 1) = y 0 = ; u 0 = ln + ln = ln 3 : y x 3

4 (b) (15 puntos) Calcule el efecto sustitución sobre la demanda de vestido (y) de un impuesto sobre este bien de un euro por unidad. Calcule también cuánto recauda el Estado con este impuesto y la correspondiente variación equivalente. (La variación equivalente es la reducción de renta que tiene un impacto sobre el bienestar del consumidor equivalente al que tiene el impuesto.) Solución: Con el impuesto, los precios son p 0 y = p x =. La cesta óptima a estos precios y renta es (x 1 ; y 1 ) = (x(; ; 1); y(; ; 1)) = (; ), y la utilidad derivada de su consumo es u 1 = ln + ln = ln( 5 ). La recaudación será R = ty 1 = : Para calcular el efecto sustitución, necesitamos la "cesta compensada". Esta cesta es la solución al sistema: Es decir, RMS(x C ; y C ) = p x p 0 y u(x C ; y C ) = u 0: y C x C = 1 ln x C + ln y C = ln 3 Sustituyendo x C = y C en la segunda ecuación obtenemos que podemos escribir como o bien ln(y C ) + ln y C = ln 3 ; ln + 3 ln y C = 6 ln ; ln y C = ln 3 : Por tanto, y C = =3, y ES = y C y 0 = =3 1:01: Por otro lado, para calcular la variación equivalente necesitamos la cesta equivalente. Esta cesta es la solución al sistema Es decir, RMS(x E ; y E ) = p x p y u(x E ; y E ) = u 1 : y E x E = ln x E + ln y C = ln 3 Resolviendo obtenemos (x E ; y E ) = ( 5=3 ; 5=3 ) y I E = p x x E + p y y E = (3) 5=3. Por tanto, la variación equivalente es V E = 1 (3) 5=3 :756: Observe que V E > R: un impuesto indirecto sobre uno de los precios recauda una cantidad R inferior a la disminución de renta equivalente, V E.

5 3. (15 puntos) Germán Cienfuegos está considerando crear una empresa que requiere una inversión de 00 mil euros y que podría reportar unos ingresos brutos de 300 mil euros con probabilidad p y de solo 100 mil euros con probabilidad 1 p. (Es decir, la inversión resultaría en una ganancia o pérdida de 100 mil euros con probabilidades p y 1 p:) Germán solo tiene 100 mil euros, pero puede hipotecar su casa (valorada en 100 mil euros) al 5%. Alternativamente, tiene un amigo que parece dispuesto a compartir riesgos y bene cios al 50%, aportando 100 mil euros. El problema es que no está claro que este amigo sea cooperativo o con ictivo. Por ello, Germán cree que si gestiona él la empresa (es decir, si él es el único inversor), entonces p = 3=, mientras que si invita a este amigo a participar en la inversión y gestión, esta probabilidad se reduce a p = =3. La función de utilidad de Bernoulli de Germán es u(x) = p x; donde x representa su riqueza (es decir, la suma del valor de su casa y dinero en efectivo) medida en miles de euros. Describa el problema de decisión de Germán (el conjunto de loterías que enfrenta) y determine su decisión óptima. Suponiendo que la probabilidad se mantiene en p = 3= si el amigo es una persona cooperativa, determine si Germán pagaría 5 mil euros por saber de antemano si su amigo es cooperativo o con ictivo. Solución: Germán tiene tres opciones: no invertir (N I), invertir hipotecando su casa (IH), e invertir conjuntamente con su amigo (IA). Cada una de estas opciones corresponde a una lotería distinta l = (x; p) cuyos pagos y probabilidades son: l NI = (x NI; ; p NI ); x NI = 00; p NI = 1: l IH = (x IH; ; p IH ); x IH = (95; 95); p IH = (3=; 1=): l IA = (x IA; ; p IA ); x IA = (50; 150); p IA = (=3; 1=3): Para identi car la lotería óptima calculamos la utilidad esperada de cada una de las loterías alternativas: Eu(l NI ) = p 00 1:11 Eu(l IH ) = 3 p 1p :31 Eu(l IA ) = p 1p :63: 3 3 Puesto que Eu(l IH ) > Eu(l IA ) > Eu(l NI ); Germán preferirá invertir hipotecando su casa. Para determinar si Germán pagaría 5 mil euros por adelantado para saber si su amigo en cooperativo o con ictivo, observe que si Germán supiera que su amigo es cooperativo, la lotería que enfrentaría si decide invertir conjuntamente con él es l IAC = (x IAC ; p IAC ); donde x IAC = (5; 15) y p IAC = (3=; 1=): La utilidad esperada de esta lotería es Eu(l IAC ) = 3 p 1p :797: Por tanto, Eu(l IAC ) < Eu(l IH ). Puesto que la alternativa de invertir conjuntamente sería todavía más desfavorable si su amigo resulta con ictivo, observamos que cualquiera que sea la información que Germán reciba, invertir conjuntamente con su amigo es una opción uniformemente peor que hacerlo individualmente. Por consiguiente, la información sobre su amigo no tiene valor para él: no pagaría 5 mil euros ni ninguna cantidad positiva por saber si su amigo es cooperativo o con ictivo. 5

6 . Un empresa competitiva produce un bien utilizando trabajo, L, y capital, K, de acuerdo con la función de producción F (L; K) = L + p K. Los precios de mercado de trabajo y capital son w = 1 y r =. (a) (10 puntos) Halle la relación marginal de sustitución técnica y determine qué clase de rendimientos a escala tiene la empresa. Calcule sus funciones de costes totales, medios y marginales. (Repare en que la RMST (L; K) es creciente en K; lo que determina cuándo la solución al problema de minimización de costes de la empresa es interior o de esquina.) Solución: Para > 1, tenemos F (L; K) = L + 1= K 1= < F (L; K) = L + K 1=. Por tanto la empresa tiene rendimientos decrecientes a escala. Tenemos p K RMST (L; K) = : Una solución interior al problema de minimización de costes resuelve el sistema p K = 1 Q = L + p K es decir, K = 1 y L = Q p K = Q > 0: Por tanto, para Q tenemos una solución de esquina: L = 0 y K = Q =16: Las funciones de demanda condicional de factores son ( 0 si Q Q L(Q) = Q si Q > ; K(Q) = 16 si Q 1 si Q > : La función de costes totales es C(Q) = ( Q si Q Q si Q > ; la de costes medios es y la de costes marginales es ( Q CMe(Q) = si Q si Q > ; CMa(Q) = 1 Q Q si Q 1 si Q > : 6

7 (b) (10 puntos) Calcule la oferta de la empresa para p < 1 y para p = 1: Está la oferta de nida para p > 1? (Su respuesta no tendrá valor a menos que provea una justi cación razonada.) Suponga que hay 5 empresas en el mercado y todas usan esta tecnología, y suponga también que la demanda de mercado es D(p) = 50 10p: Cuáles serían el precio, la producción y el bene cio de cada empresa, y el excedente del consumidor en el equilibrio competitivo? Solución: Si el nivel de producción que maximiza bene cios es positivo, la condición de primer orden requiere que p = CMa(Q): Para p < 1; la solución a esta ecuación es Q = p < : Para p = 1; CMa(Q) = p para Q : Para p > 1; CMa(Q) < p para todo Q; lo que indica que el problema de la empresa no tiene solución en este tramo: la empresa puede obtener bene cios arbitrariamente grandes eligiendo Q grande; luego en este caso la oferta de la empresa no está de nida. Además, el coste marginal es no decreciente (para Q < es creciente y para Q es constante) y la condición de cierre se cumple para todo Q 0: Por tanto, la oferta de la empresa es < p si p < 1 s(p) = [; 1) si p = 1 : inde nida si p > 1: Para calcular el equilibrio de mercado, necesitamos demanda y oferta agregada. La oferta agregada es < 0p si p < 1 S(p) = 5s(p) = [0; 1) si p = 1 : inde nida si p > 1: Como muestra el grá co adjunto, el precio de equilibrio competitivo es p = 1 y la cantidad es Q = 0. p Q Cada empresa produce una cantidad indeterminada Q i [; ], y obtiene unos bene cios i = p Q i C(Q i ) = Q i (Q i ) = : El excedente del consumidor es EC = 1 (0)(5 1) = 0: 7

8 5. (0 puntos) El mercado de un producto está monopolizado por una empresa cuyos costes totales son C(q) = q + 10q: La demanda de dicho producto es D(p) = 00 p: (a) (10 puntos) Determine el equilibrio de monopolio. Calcule los excedentes del productor y consumidores y el índice de Lerner del monopolio. Suponga que el gobierno regula el precio de mercado con el objetivo de maximizar el excedente total, sabiendo que a este precio el monopolista producirá la cantidad que maximiza su bene cio. Qué precio impondría el Estado? Cuánto produciría el monopolio? Solución: La condición de primer orden para la maximización de bene cios es IMa(q) = CMa(q): Puesto que I(q) = p(q)q = (100 (q=))q, esta condición requiere 100 q = q + 10: Resolviendo esta ecuación, obtenemos el nivel de producción del monopolio q M = 30: El precio de monopolio es El excedente del consumidor es p M = p(q M ) = = 5: EC = 1 (100 5)30 = 5: Puesto que no hay costes jos, el excedente del productor es igual a sus bene cios: EP = M = p M q M C(q M ) = (5) (10) 30 = El índice de Lerner es IL = p M CMa(q M ) p M = Si el gobierno ja el precio para maximizar el excedente total, debe elegirlo de manera que resuelva el sistema p = CM a(q) D(p) = q: Resolviendo este sistema obtenemos p = y q = 36.

9 (b) (10 puntos) La demanda que se especi ca arriba es la suma de las demandas de empresas y consumidores, D E (p) = 150 3p= y D C (p) = 50 p=; respectivamente. El gobierno está considerando permitir al monopolio discriminar en precios a empresas y consumidores. Qué precios y excedentes resultarían en este caso? La discriminación de precios, perjudica o bene cia al sector de los consumidores? Solución: La condición de primer orden de maximización de bene cios con discriminación es IMa(q E ) = IMa(q C ) = CMa(q E + q C ): En el segmento de las empresas tenemos I(q E ) = p(q E )q E = (100 en el segmento de los consumidores tenemos 3 q E)q E ) IMa(q E ) = q E; I(q C ) = p(q C )q C = (100 q C )q C ) IMa(q C ) = 100 q C : Resolviendo el sistema q E = (q E + q C ) q C = (q E + q C ) + 10 obtenemos las cantidades vendidas en cada segmento: q E = :5 y q C = 7:5. Los precios correspondientes a estas cantidades son p E = p C = 5. Es decir, aunque el monopolio pudiera discriminar en precios a consumidores y empresas, no lo haría. Por tanto, ni los excedentes de consumidores y empresas, ni el bene cio del monopolio, ni el excedente total varían respecto a los del apartado (a). La posibilidad de discriminar en precios no afecta al sector de los consumidores (ni al de las empresas). 9