JUEGO DE BASKETBALL. Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas

Transcripción

1 JUEGO DE BASKETBALL Repaso de Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas

2 PREGUNTA #1 Qué es una variable aleatoria uniforme discreta? Cómo es su distribución? Qué es una variable aleatoria uniforme continua? Cómo es su distribución? Con qué otro nombre se le llama a la distribución uniforme continua?

3 RESPUESTA A LA PREGUNTA #1 Una variable aleatoria uniforme discreta X toma los valores x 1, x 2,, x k, con probabilidades idénticas, entonces la distribución uniforme discreta está dada por: 1 ( x; k) = x = x1, x2 xk f,..., k Una variable aleatoria uniforme continua X es una función de densidad plana, y la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado, entonces la distribución uniforme continua está dada por: f ( x; A, B) 1 = B A 0 A x B otro caso

4 PREGUNTA #2 Reconozca en el siguiente problema: Cuál es la variable aleatoria? Cuál distribución de probabilidad está presente? Cuáles son los parámetros de los cuales depende la distribución de probabilidad? Una computadora contiene 20 circuitos integrados independientes, la probabilidad de que cualquier circuito integrado esté defectuoso es 0.1. La computadora trabaja solamente si no contiene circuitos defectuosos. Cuál es la probabilidad de que la computadora trabaje?

5 RESPUESTA A LA PREGUNTA #2 X = Cantidad de circuitos integrados defectuosos de la computadora Variables aleatoria binomial Distribución Binomial, es un experimento de Bernoulli Los parámetros de los cuales depende la distribución de probabilidad son: Número de pruebas (n = 20) Probabilidad de éxito en una prueba dada (p = 0.1)

6 PREGUNTA #3 Reconozca en el siguiente problema: Con cuál o cuáles distribuciones de probabilidad se deben trabajar para contestar las preguntas dadas? Cuáles son los parámetros de los que depende las distribuciones de probabilidad? Una computadora contiene 20 circuitos integrados independientes, la probabilidad de que cualquier circuito integrado esté defectuoso es 0.1. Cuál es la probabilidad de que el décimo circuito sea el primero que se encuentre defectuoso? Cuál es la probabilidad de que el onceavo circuito sea el quinto que se encuentre defectuoso?

7 RESPUESTA A LA PREGUNTA #3 Distribución geométrica: Probabilidad de éxito en una prueba dada (p = 0.1) Distribución binomial negativa: Número de éxitos que se desean (k = 5) Probabilidad de éxito en una prueba dada (p = 0.1)

8 PREGUNTA #4 Explique qué es el proceso de Bernoulli? Cite sus propiedades.

9 RESPUESTA A LA PREGUNTA #4 Consiste en pruebas repetidas, cada una con dos posibles resultados que se pueden etiquetar como éxito o fracaso. Propiedades: El experimento consiste en n pruebas que se repiten. Cada prueba produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso. La probabilidad de un éxito, que se denota con p, permanece constante en cada prueba. Las pruebas que se repiten son independientes.

10 PREGUNTA #5 Qué es una variable aleatoria multinomial? Qué es una variable aleatoria hipergeométrica? En qué se diferencia de una variable aleatoria binomial? Cite sus propiedades.

11 RESPUESTA A LA PREGUNTA #5 El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles. Si una prueba dada puede conducir a los k resultados posibles E 1, E 2,, E k con probabilidades p 1, p 2,, p k, entonces la distribución de probabilidad de las variables aleatorias X 1, X 2,, X k, que representan el número de ocurrencias para E 1, E 2,, E k en n pruebas independientes es n x1 x2 xk f ( x1, x2,..., xk ; p1, p2,..., pk, n) p1 p2... pk x1, x2,..., x = k k i= 1 x i k = n i= 1 p i = 1

12 RESPUESTA A LA PREGUNTA #5 Se interesa en el cálculo de probabilidades para el número de observaciones que caen en una categoría en particular. Pero a diferencia de la binomial, que son pruebas independientes, la hipergeométrica son pruebas dependientes. En general, interesa la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos considerados como éxito y n x fracasos de los N k artículos que se consideran fracasos cuando se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de N artículos. Se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de N artículos. Los k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N k se clasifican como fracasos.

13 PREGUNTA #6 Con cuál distribución de probabilidad se debe trabajar para modelar el siguiente problema? Cuáles son los parámetros de los que depende la distribución de probabilidad? En una bolsa se tienen 3 pelotas amarillas, 8 verdes y 2 negras. Se seleccionan sin reposición 5 pelotas de la bolsa.

14 RESPUESTA A LA PREGUNTA #6 Distribución hipergeométrcia multivariada: Tamaño de la población (N = 13) Tamaño de la muestra (n = 5) Cantidad de elementos de las k celdas (a 1 = 3, a 2 = 8, a 3 = 2)

15 PREGUNTA #7 La distribución binomial al tener pruebas independientes, el muestreo se debe efectuar sin reemplazo. Verdadero o falso? Justifique.

16 RESPUESTA A LA PREGUNTA #7 Falso. La distribución binomial al tener pruebas independientes, el muestreo se debe efectuar con reemplazo.

17 PREGUNTA #8 La distribución hipergeométrica al tener pruebas dependientes, el muestreo se debe efectuar sin reemplazo. Verdadero o falso? Justifique.

18 RESPUESTA A LA PREGUNTA #8 Verdadero. La distribución hipergeométrica al tener pruebas dependientes, el muestreo se debe efectuar sin reemplazo.

19 PREGUNTA #9 La distribución binomial es una distribución específica de la distribución binomial negativa. Verdadero o falso? Justifique.

20 RESPUESTA A LA PREGUNTA #9 Falso. La distribución binomial negativa es una distribución específica de la distribución binomial.

21 PREGUNTA #10 La distribución geométrica es una distribución específica de la distribución binomial negativa. Verdadero o falso? Justifique.

22 RESPUESTA A LA PREGUNTA #10 Verdadero. La distribución geométrica es una distribución específica de la distribución binomial negativa.

23 PREGUNTA #11 Cómo se llaman los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica? Cite sus propiedades.

24 RESPUESTA A LA PREGUNTA #11 Experimentos de Poisson, proceso de Poisson: El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. No tiene memoria. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante

25 PREGUNTA #12 El número medio de resultados en un proceso de Poisson se calcula de μ = λt, donde t es el tiempo dado o región específica. Qué es el parámetro λ?

26 RESPUESTA A LA PREGUNTA #12 El parámetro λ es la tasa de ocurrencia, o sea, el número promedio de resultados por unidad de tiempo dado o región específica.

27 PREGUNTA #13 Con cuál distribución de probabilidad se debe trabajar para modelar el siguiente problema? Cuáles son los parámetros de los que depende la distribución de probabilidad? El número de mensajes transmitidos en un servidor de correo tiene un promedio de 5 mensajes por milisegundo.

28 RESPUESTA A LA PREGUNTA #13 Distribución de Poisson: Número promedio de resultados por unidad de tiempo dado o región específica (λ = 5) Intervalo de tiempo dado o región específica (t = 1ms)

29 PREGUNTA #14 Cuál distribución de probabilidad tiene una fuerte relación con la distribución de Poisson? Justifique.

30 RESPUESTA A LA PREGUNTA #14 Distribución Exponencial La distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de eventos durante un periodo o espacio particular. En muchas aplicaciones, el tiempo o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. La distribución exponencial se utiliza como modelo para representar tiempo de funcionamiento o de espera. También expresa el tiempo que transcurre entre sucesos que se contabilizan mediante la distribución de Poisson.

31 PREGUNTA #15 Con cuál distribución de probabilidad se debe trabajar para modelar el siguiente problema? Cuáles son los parámetros de los que depende la distribución de probabilidad? Suponga que se define la variable aleatoria T que mide el tiempo de transmisión de un mensaje en milisegundos del servidor de correo del problema anterior.

32 RESPUESTA A LA PREGUNTA #15 Distribución Exponencial Número promedio de resultados por unidad de tiempo dado o región específica (λ = 5) ó Tiempo medio entre eventos (β = 1/5)

33 PREGUNTA #16 La distribución de Poisson puede relacionarse con la distribución gamma? Justifique.

34 RESPUESTA A LA PREGUNTA #16 Sí, la distribución gamma describe el tiempo o espacio que transcurre hasta que ocurre un número específico de eventos de Poisson.

35 PREGUNTA #17 Con cuál distribución de probabilidad se debe trabajar para modelar el siguiente problema? Cuáles son los parámetros de los que depende la distribución de probabilidad? El tiempo (en milisegundos) de respuesta de α peticiones ping a cierto servidor es una variable aleatoria con un tiempo medio de 1/5. En este servidor se dan dos maneras diferentes de respuesta, bajo las condiciones de respuesta A α = 10, pero bajo las B α = 5. Las condiciones de respuesta A se dan el 60% de las veces, y las B el 40% restante.

36 RESPUESTA A LA PREGUNTA #17 Distribución gamma: Número de eventos específicos que ocurren (α = 10 tipo A y α = 5 tipo B) Tiempo medio entre eventos (β = 1/5)

37 PREGUNTA #18 Con cuál distribución de probabilidad se debe trabajar para modelar el siguiente problema? Cuáles son los parámetros de los que depende la distribución de probabilidad? La duración de cada uno de 2 instrumentos electrónicos D 1 y D 2 presenta una distribución con medias 40 y 45, desviaciones estándar 36 y 9; respectivamente.

38 RESPUESTA A LA PREGUNTA #18 Distribución normal: Media (μ = 40 tipo D 1 y μ = 45 tipo D 2 ) Desviación estándar (σ = 36 tipo D 1 y σ = 9 tipo D 2 )

39 PREGUNTA #19 Sea X un número aleatorio entre 0 y 5. Cuál es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X? Cuáles son los parámetros de los que depende la distribución de probabilidad?

40 RESPUESTA A LA PREGUNTA #19 Distribución uniforme continua o rectangular: Límite inferior del intervalo (A = 0) Límite superior del intervalo (B = 5)

41 PREGUNTA #20 Sea X un número de la lotería nacional. Cuál es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X? Cuáles son los parámetros de los que depende la distribución de probabilidad?

42 RESPUESTA A LA PREGUNTA #20 Distribución uniforme discreta: Cantidad de observaciones puntuales con probabilidades idénticas (k = 100)

43 PREGUNTA #21 Mediante qué distribuciones se puede aproximar una distribución binomial? Cuáles son los requisitos?

44 RESPUESTA A LA PREGUNTA #21 Distribución de Poisson: Cuando n, p 0, y μ = np permanece constante, b(x;n,p) p(x;μ) Distribución normal: Cuando su gráfico de barras (o histograma) se puede trazar una curva normal. Cuando n, μ = np y σ 2 = npq, b(x;n,p) n(z;0,1)

45 PREGUNTA #22 Mediante qué distribuciones se puede aproximar una distribución hipergeométrica? Cuáles son los requisitos?

46 RESPUESTA A LA PREGUNTA #22 Distribución binomial: Cuando n es pequeño comparado con N, la naturaleza de los N artículos cambia muy poco en cada prueba. La cantidad k/n juega el papel del parámetro binomial p. Distribución normal: Cuando su gráfico de barras (o histograma) se puede trazar una curva normal.

47 PREGUNTA #23 Cuáles son los nombres que recibe la distribución normal? Por qué?

48 RESPUESTA A LA PREGUNTA #23 Distribución campana: Por la forma que tiene Distribución gaussiana: En honor de Karl Friedrich Gauss

49 PREGUNTA #24 Cite las propiedades de la curva normal.

50 RESPUESTA A LA PREGUNTA #24 Propiedades de la curva normal: La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un máximo, ocurre en x = µ. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media µ. La curva tiene sus puntos de inflexión en x = µ ± σ, es cóncava hacia abajo si µ - σ < X < µ + σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto. La curva se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme se aleja de la media en cualquier dirección. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

51 PREGUNTA #25 Cómo es la forma de la curva normal cuando su varianza es pequeña? Cómo es la forma de la curva normal cuando su varianza es grande?

52 RESPUESTA A LA PREGUNTA #25 La forma de la curva normal cuando su varianza es pequeña es alargada y delgada. La forma de la curva normal cuando su varianza es grande es chata y gorda.

53 PREGUNTA #26 Cómo se puede obtener la probabilidad entre un intervalo dado de la distribución normal, para cualquier valor que se asigne a los parámetros μ y σ?

54 RESPUESTA A LA PREGUNTA #26 Se puede transformar un conjunto de observaciones de cualquier variable aleatoria normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con μ = 0 y σ 2 = 1, por medio de: Z µ = X σ

55 PREGUNTA #27 La distribución exponencial y la distribución chicuadrada son distribuciones específicas de la distribución gamma. Verdadero o falso? Justifique.

56 RESPUESTA A LA PREGUNTA #27 Verdadero. La distribución exponencial y la distribución chi-cuadrada son distribuciones específicas de la distribución gamma.

57 PREGUNTA #28 La distribución chi-cuadrada depende de los parámetros α y β (ambos valores son mayores que 0), como su distribución madre. Verdadero o falso? Justifique.

58 RESPUESTA A LA PREGUNTA #28 Falso. La distribución chi-cuadrada depende sólo del parámetro v (entero positivo), llamado grados de libertad.

59 PREGUNTA #29 Por qué es importante estudiar la distribución chicuadrada?

60 RESPUESTA A LA PREGUNTA #29 La distribución chi-cuadrada juega un papel muy importante en la inferencia estadística. Es un componente importante de la prueba de hipótesis y la estimación estadística.

61 PREGUNTA #30 En qué casos se aplica la distribución logarítmica normal?

62 RESPUESTA A LA PREGUNTA #30 La distribución logarítmica normal se aplica en casos donde una transformación de logarítmico natural tiene como resultado una distribución normal.

63 PREGUNTA #31 En dónde se aplica la distribución de Weibull?

64 RESPUESTA A LA PREGUNTA #31 La distribución de Weibull se aplica con una razón de falla más general aplicable por desgaste y no de manera aleatoria, ya que describe los tiempos de falla de componentes cuando sus razones de falla crecen o decrecen con el tiempo.

65 PREGUNTA #32 Cuáles son los parámetros de que depende la distribución de Weibull?

66 RESPUESTA A LA PREGUNTA #32 Distribución de Weibull: α y β, α > 0 y β > 0.