ESTADÍSTICA. Tema 4 Regresión lineal simple

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1 ESTADÍSTICA Grado en CC. de la Alimentación Tema 4 Regresión lineal simple Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 1

2 Estructura de este tema Planteamiento del problema. Ejemplos. Recta de regresión de mínimos cuadrados. El modelo de regresión lineal simple. IC y contrastes para los parámetros del modelo. Predicción. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 2

3 Introducción En algunas situaciones, los diagramas de dispersión sugieren que hay una relación lineal entre dos variables. 7 Asociación positiva 7 Asociación negativa Pregunta: Cómo es la correlación en estos dos ejemplos? Aplicaciones: Resumir la información de los datos mediante una recta. Predecir valores de una variable usando la otra. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 3

4 Ejemplo 4.1: Observamos dos variables en una muestra de países desarrollados (fichero vino.sav): X : Consumo anual de vino (en litros por habitante) Y : N o de muertes por enfermedad cardíaca, por cada hab. País X Y País X Y Australia 2,5 211 Países Bajos 1,8 167 Austria 3,9 167 Nueva Zelanda 1,9 266 Bélgica 2,9 131 Noruega 0,8 227 Canadá 2,4 191 España 6,5 86 Dinamarca 2,9 220 Suecia 1,6 207 Finlandia 0,8 297 Suiza 5,8 115 Francia 9,1 71 Reino Unido 1,3 285 Islandia 0,8 211 Estados Unidos 1,2 199 Irlanda 0,7 300 Alemania 2,7 172 Italia 7,9 107 Qué podemos decir sobre la relación entre las dos variables? Podemos afirmar que a mayor consumo de vino menor número de muertes por enfermedad cardíaca? Podemos predecir aproximadamente el valor de la variable Y si sabemos el valor de X? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 4

5 Estadísticos Correlaciones N Media Desv. típ. Válidos Perdidos Vino Card , ,05 2, ,396 Vino Card Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Vino Card 1 -,843, ,843 1, Irlanda Finlandia Reino Unido Muertes por enfermedad cardiaca Nueva Zelanda Noruega Dinamarca Islandia Suecia Australia Canadá Estados Unidos Alemania Austria Países Bajos Bélgica Suiza España Italia Francia Consumo de vino Pregunta: Implica esta asociación causalidad? 10 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 5

6 2. ASOCIACION ESTADISTICA O CAUSAL? La asociación 2. Asociación ASOCIACION entre una estadística causa ESTADISTICA (C) y un causalidad efecto O CAUSAL? (E), puede surgir de tres modos distintos: La asociación entre una causa (C) y un efecto (E), puede surgir de tres modos distintos: a) La Laasociación C es causa entre entre de una E causa una (C) causa y un (C) efecto y (E), un efecto puede surgir (E), de puede tres modos surgir distintos: de a) tres Cmodos es causa distintos: de E a) C es causa de E (a) C es causa de E. C E C E C E b) C y E tiene una causa común (variable X) b) C y E tiene una causa común (variable X) (b) C yce ytiene E tiene una una causa común (variablex) X). X X X C E C E C E c) E es causa de C (c) E es E es causa causa de de C. C c) E es causa de C C E C E C Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 6

7 Ejemplo 4.2: Renta y fracaso escolar en la CAM Ana Justel Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 7

8 Ejemplo 4.2 (cont.): Renta y fracaso escolar en la CAM % fracaso escolar Arganda Torrelodones Renta (en miles de euros) Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 8

9 El problema de regresión El objetivo es analizar la relación existente entre dos variables, X e Y, de forma que podamos predecir o aproximar el valor de la variable Y a partir del valor de la variable X. La variable Y se llama variable respuesta La variable X se llama variable regresora o explicativa Observación: En un problema de regresión el papel de las dos variables no es simétrico. La variable X juega el papel de variable independiente y la variable Y el papel de variable dependiente (de X ). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 9

10 La recta de regresión Es frecuente suponer que existe entre las variables observadas una relación aproximadamente lineal: y i a + bx i, i = 1,..., n. La recta y = a + bx es una recta de regresión. El parámetro b es la pendiente de la recta. Indica cómo cambia la variable respuesta cuando el incremento de x es una unidad. El parámetro a es el término independiente de la recta. Indica el valor de Y cuando X = 0. Problema estadístico: Estimar los parámetros a y b a partir de los datos (x i, y i ), i = 1,..., n, de una muestra. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 10

11 La recta de mínimos cuadrados Si estimamos a y b mediante â y ˆb, la predicción de la variable respuesta Y en función del regresor X es: Ŷ = â + ˆbX. En particular, para los datos de la muestra los valores previstos de Y son ŷ i = â + ˆbx i, i = 1,..., n. Definimos los residuos como e i = y i ŷ i = y i (â + ˆbx i ). La recta de regresión de mínimos cuadrados viene dada por los valores â y ˆb que minimizan la suma de cuadrados residual n ei 2 = i=1 n [y i ŷ i ] 2 = i=1 n [y i (â + ˆbx i )] 2 = n ECM. i=1 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 11

12 Los residuos: x y x y Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 12

13 Los estimadores mínimo-cuadráticos de a y b son ˆb = cov x,y v x = r vy v x â = ȳ b x, donde r es el coeficiente de correlación, v y y v x son las varianzas muestrales de Y y X respectivamente. Ejemplo 4.1 (cont.): Consumo de vino y muertes cardíacas 68, 396 ˆb = 0, 843 = 22, 974 2, 5097 â = 191, 05 ( 22, 974) 3, 026 = 260, 57 Recta de regresión estimada: ŷ = 260, 57 22, 974x Predicción de Y para x 0 = 4: ŷ 0 = 260, 57 22, = 168, 674 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 13

14 Ejemplo 4.1 (cont.): 300 Muertes por enfermedad cardíaca R 2 Lineal = 0, Consumo de vino Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 14

15 Observaciones: La recta de mínimos cuadrados pasa por el punto cuyas coordenadas son las medias: ( x, ȳ). La suma de los residuos siempre vale cero. La recta para predecir Y en función de X no es la misma que la recta para predecir X en función de Y. Como medida de la bondad del ajuste de la recta a los datos, se utiliza el coeficiente de determinación R 2 : el cuadrado del coeficiente de correlación. Cuando R 2 está cerca de 0, el ajuste será malo. Cuando R 2 está cerca de 1, el ajuste será bueno. R 2 indica el porcentaje de variabilidad de Y explicado por la regresión lineal en función de X. No es aconsejable realizar predicciones con la recta de regresión fuera del rango de valores observados. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 15

16 El modelo de regresión lineal simple Para poder hacer inferencia (IC y contrastes) sobre los parámetros, suponemos que se verifica el siguiente modelo: donde: Y i = a + b x i + ɛ i, i = 1,..., n, El valor esperado de los errores ɛ i es cero. Todos los errores tienen la misma varianza σ 2. Los errores tienen distribución normal. Los errores son v.a. independientes entre sí. En resumen: ɛ 1,..., ɛ n son N(0, σ) independientes que equivale a Y i es N(a + b x i, σ) e Y 1,..., Y n independientes. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 16

17 Suposiciones del modelo de regresión lineal simple: Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 17

18 En cuáles de las 4 situaciones se verifica el modelo? x y x2 y x y x y4 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 18

19 Ejemplo 4.1 (cont.): Consumo de vino y enfermedades cardíacas Residuo Valor previsto de Y 250 Si en el gráfico de residuos e i frente a valores previstos ŷ i, los puntos no se disponen aleatoriamente en una banda horizontal de anchura constante en torno a 0, entonces falla alguna de las hipótesis del modelo. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 19

20 Ejemplo 1.6 (cont.): Sabor del queso cheddar Sabor Residuo ,8 1,0 1,2 1,4 1,6 Ácido láctico 1,8 2,0 2, Valor previsto Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 20

21 Una simulación Supongamos que σ = 1, a = 0 y b = 1 Entonces el modelo es Y i = x i + ɛ i, donde los errores ɛ i tienen distribución normal estándar y son independientes Fijamos x i = 1, 2,..., 10 (n = 10) y generamos las respuestas correspondientes de acuerdo con este modelo Posteriormente calculamos la recta de mínimos cuadrados y la representamos junto con la verdadera recta y = x Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 21

22 Repetimos 6 veces el experimento x x x x x x Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 22

23 Repetimos 6 veces el experimento b = b = b = b = 0.95 b = 1.01 b = 0.99 Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 23

24 Repetimos 1000 veces el experimento â b Los estimadores van cambiando para las diferentes muestras Existen fórmulas del error típico de ˆβ 0 y ˆβ 1 que recogen esta variabilidad Estas fórmulas son las que se utilizan para calcular IC y llevar a cabo contrastes en lo que sigue. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 24

25 Inferencia en el modelo de regresión simple Intervalos de confianza Los intervalos de confianza de nivel 1 α para los parámetros a y b tienen la estructura habitual: (âi t n 2;α/2 e.t.(â) ) (ˆb i t n 2;α/2 e.t.(ˆb)) En comparación con los intervalos de confianza para la media: Los grados de libertad son n 2 en lugar de n 1. La fórmula del error típico es más complicada (siempre lo calcularemos con el ordenador). Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 25

26 Contrastes para el parámetro de la regresión b En los contrastes para a las expresiones son las mismas (donde pone b ponemos a). Contrastes unilaterales: Hipótesis: H 0 : b b 0 frente a H 1 : b > b 0 Región crítica: { } ˆb b0 R = e.t.(ˆb) > t n 2,α. Hipótesis: H 0 : b b 0 frente a H 1 : b < b 0 Región crítica: { } ˆb b0 R = e.t.(ˆb) < t n 2,α. Contraste bilateral: Hipótesis: H 0 : b = b 0 frente a H 1 : b b 0 Región crítica: { } ˆb b 0 R = e.t.(ˆb) > t n 2,α/2. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 26

27 Ejemplo 4.1 (cont.): Consumo de vino y enfermedades cardíacas Sabiendo que el error típico del estimador de mínimos cuadrados de la pendiente es 3.557, calcula un IC para β 1 de nivel 95 %: [ ˆβ 1 t n 2,α/2 e.t.( ˆβ 1 )] [ 22,974 2,11 3,557] ya que t 17,0,025 = 2,11. Aportan los datos evidencia para afirmar (α = 0,01) que un incremento en el consumo de vino está asociado a un menor número de muertes por enfermedad cardíaca? Queremos contrastar H 0 : β 1 0 frente a H 1 : β 1 < 0. Calculamos: t = 22,974 3,557 = 6,457 y t 17,0,01 = 2,567 Como 6,457 < 2,567 rechazamos H 0. Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 27

28 Ejemplo 4.1 (cont.): Con SPSS Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 28

29 Ejemplo 4.1 (cont.): Con SPSS Resumen del modelo b Modelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error típ. de la estimación 1,843 a,710,693 37,879 a. Variables predictoras: (Constante), Vino b. Variable dependiente: Card Coeficientes a Coeficientes Coeficientes no estandarizados estandarizado s Modelo B Error típ. Beta t Sig. 1 (Constante) 260,563 13,835 18,833,000 Vino -22,969 3,557 -,843-6,457,000 a. Variable dependiente: Card Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 29

30 Ejemplo 4.2 (cont.): Renta y fracaso escolar en la CAM con SPSS Resumen del modelo b Modelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error típ. de la estimación 1,742 a,550,528 4,7566 a. Variables predictoras: (Constante), Renta b. Variable dependiente: Fracaso Coeficientes a Coeficientes Coeficientes no estandarizados estandarizado s Modelo B Error típ. Beta t Sig. 1 (Constante) 38,494 **** 10,562,000 Renta -1,347,266 -,742-5,065,000 a. Variable dependiente: Fracaso Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 30

31 Ejemplo 4.2 (cont.): Renta y fracaso escolar en la CAM. (a) Escribe la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que describe el nivel de fracaso escolar como función de la renta. (b) Calcula los intervalos de confianza de nivel 95 % para la pendiente y el término independiente de la recta de regresión. (c) Podemos afirmar, a nivel α = 0,05 que niveles más altos de renta están asociados a niveles más bajos de fracaso escolar? (d) Cuánto vale el coeficiente de correlación entre el nivel de renta y el porcentaje de fracaso escolar? (e) Qué porcentaje de fracaso escolar se predice en una población cuya renta es x 0 = euros? (f) Cuál es el residuo correspondiente a Colmenar Viejo? Estadística (Alimentación). Profesora: Amparo Baíllo Tema 4: Regresión lineal simple 31

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