Datos bivariantes: regresión

Transcripción

1 M. Wiper Estadística 1 / 14 Datos bivariantes: regresión Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid

2 M. Wiper Estadística 2 / 14 Objetivo Ilustrar como ajustar una recta a datos con una relación aproximadamente lineal.

3 M. Wiper Estadística 3 / 14 Mínimos cuadrados Vemos una ligera relación positiva entre las tasas de delitos y paro. ¾Cómo ajustamos esta relación?

4 M. Wiper Estadística 4 / 14 Mínimos cuadrados Queremos ajustar una recta y = α + βx que se ajusta a los datos de la mejor manera posible. Supongamos que el objetivo es predecir y (tasa de delitos) como función de x (tasa de paro). Luego, si nuestra recta es y = α + βx, el error de predicción o residuo asociado con el dato y i es e i = y i (α + βx i ). De alguna manera queremos minimizar el error de predicción total. Entonces usamos el criterio de mínimos cuadrados: minimizar n i=1 e 2 i.

5 M. Wiper Estadística 5 / 14 La recta de mínimos cuadrados La recta óptima bajo este criterio es y = ˆα + ˆβx donde: la pendiente es la intercepción es ˆβ = ˆσ xy ˆσ 2 x = s xy. s 2 x ˆα = ȳ ˆβ x.

6 M. Wiper Estadística 6 / 14 Delitos frente a paro La recta de regresión es y = 5,5 + 0,079x.

7 M. Wiper Estadística 7 / 14 Interpretación de las coecientes y = 5,5 + 0,079x. En una comunidad sin paro, predecimos que hay una tasa de 5,5 delitos por cada mil habitantes. Si la tasa de paro crece por una unidad (1 %), predecimos un crecimiento de 0,079 en la tasa de delitos.

8 Resultados en Excel M. Wiper Estadística 8 / 14

9 M. Wiper Estadística 9 / 14 Predicción Supongamos que Portugal decide unirse con España y formar otra comunidad propia. La tasa de paro es 13 %. ¾Cómo predecimos la tasa de delitos en Portugal? y = 5,5 + 0, = 6,53 delitos por cada 1000 habitantes. ¾Parece una estimación razonable?

10 M. Wiper Estadística 9 / 14 Predicción Supongamos que Portugal decide unirse con España y formar otra comunidad propia. La tasa de paro es 13 %. ¾Cómo predecimos la tasa de delitos en Portugal? y = 5,5 + 0, = 6,53 delitos por cada 1000 habitantes. ¾Parece una estimación razonable? Típicamente la recta de regresión es un predictor razonable dentro del rango de los datos. En este caso, la tasa de paro en Portugal es mucho más baja que en España.

11 M. Wiper Estadística 10 / 14 Análisis de los residuos La varianza residual es ˆσ 2 e = 1 n n i=1 (e i ē) 2 = 1 n n i=1 e2. i Podemos decomponer esta varianza de la siguiente manera ˆσ 2 e = ˆσ 2 y (1 r 2 xy ) ¾Cómo podemos interpretar esta expresión?

12 M. Wiper Estadística 10 / 14 Análisis de los residuos La varianza residual es ˆσ 2 e = 1 n n i=1 (e i ē) 2 = 1 n n i=1 e2. i Podemos decomponer esta varianza de la siguiente manera ˆσ 2 e = ˆσ 2 y (1 r 2 xy ) ¾Cómo podemos interpretar esta expresión? El porcentaje de reducción de error de predicción de y debido al uso de la recta de regresión es r 2 xy 100 %. En el ejemplo, r xy = 0,354 y luego r 2 xy = 0,126. La recta de regresión sólo proporciona una reducción pequeña en el error de predicción.

13 M. Wiper Estadística 11 / 14 Análisis de los residuos Para ver si el modelo se ajusta bien, es importante mirar la distribución de los errores o residuos. Quizás hay un atípico pero no hay nada muy extraño.

14 M. Wiper Estadística 12 / 14 Ha quemadas vs supercie forestal Hay dos residuos positivos y muy grandes (atípicos) en comparación con los demás. ¾Porqué es interesante para la GC?

15 M. Wiper Estadística 12 / 14 Ha quemadas vs supercie forestal Hay dos residuos positivos y muy grandes (atípicos) en comparación con los demás. ¾Porqué es interesante para la GC? ½Datos atípicos pueden ser indicadores de delitos!

16 M. Wiper Estadística 13 / 14 Regresión no-lineal y otros modelos de regresión Claramente el modelo de regresión lineal es muy simple en este contexto. Pero: Es posible incluir otros regresores. y = α + β 1 x 1 + β 2 x β k x k. Es posible modelizar relaciones no lineales y = g(x). Si los datos y tienen otra forma, se pueden emplear modelos lineales generalizados.

17 M. Wiper Estadística 14 / 14 Resumen y siguiente sesión En esta sesión hemos estudiado como ajustar un modelo de regresión. En la siguiente clase, miramos como analizar los cambios en una variable a lo largo del tiempo