Estadística para el análisis de los Mercados S3_A1.1_LECV1. Estadística Descriptiva Bivariada

Transcripción

1 Estadística Descriptiva Bivariada En el aspecto conceptual, este estudio puede ser generalizado fácilmente para el caso de la información conjunta de L variables aunque las notaciones pueden resultar complicadas y, en consecuencia, poco eficientes. Supongamos entonces que se cuenta con una Matriz de Datos y que X e Y son dos variables consideradas en dicha Matriz. A los efectos del estudio bivariado, la Matriz de Datos se reduce a: Asociación, Dependencia o Correlación en Estadística Descriptiva En estadística Descriptiva se dice que dos variables están asociadas, son dependientes, o están correlacionadas si cuando se aumentan los valores de una variable, los valores de la otra tienden a: i) o bien a aumentar (y se dice que la asociación o dependencia es directa o que la correlación es positiva) ii) o bien a disminuir (y se dice que la asociación o dependencia es inversa o que la correlación es negativa) Cuando no se presenta esta tendencia se dice que las variables no están asociadas o no son dependientes o no están correlacionadas. ADVERTENCIA: La asociación, correlación o dependencia en Estadística Descriptiva, no implica relación causa-efecto. En otras palabras, si cuando una variable aumenta la otra tiende a aumentar (o a disminuir) no es posible afirmar que esta última aumenta (o disminuye) PORQUE la primera variable aumenta. 1

2 Veamos un ejemplo. Sean: X = número de iglesias en una ciudad Y = número de bares en una ciudad Si se consideran, por ejemplo las 10 principales ciudades de Chile se obtiene la Matriz de Datos Bivariada. Si se representa gráficamente esta información en una nube de puntos seguramente mostrará un comportamiento positivo o directo en el sentido de que cuando una variable aumenta la otra tiende a aumentar. Esto significa entonces que para mantener o incrementar la fe religiosa se deberían promover el establecimiento de bares?, o bien que para disminuir la ingesta de alcohol se debería cerrar iglesias? Obviamente esto no es así. Si bien es cierto que en las ciudades con más iglesias existen más bares la explicación de porqué ocurre esta situación no se encuentra en el campo de la Estadística Descriptiva sino que dependerá de los especialistas del área de la cual provienen los datos. Aunque es cierto que en este ejemplo no se requiere ser un especialista para darse cuenta de que existe una tercera variable Z = nº de habitantes de la ciudad que está asociada positivamente tanto con X como con Y, y por lo tanto, cuando aumenta los bares, aumentan las iglesias y cualquier otro servicio (hospitales, cines, restaurantes, taxis, etc.) PORQUE hay más habitantes. 2

3 Indicadores de Asociación: Covarianza La covarianza (S xy ) entre las variables X e Y, define si existe asociación entre éstas, y si existiese, si la correlación es positiva (directa) o negativa (inversa). Según el cuadro resumen: Se calcula a través de las siguientes fórmulas: Este valor dependerá de los valores de las variables, por tanto de sus unidades. Indicadores de Asociación: Coeficiente de Correlación Para poder eliminar las unidades y tener una medida adimensional utilizamos el COEFICIENTE DE CORRELACIÓN (r xy ) Siendo también invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variable. Citamos las siguientes propiedades: Es un coeficiente adimensional. -1 r xy 1 Si hay relación lineal positiva r xy > 0 y próximo a 1. Si hay relación lineal negativa r xy <0 y próximo a -1. Si no hay relación lineal r xy se aproxima a 0. Si X e Y son independientes S xy = 0 y por tanto r xy = 0. 3

4 Indicadores de Asociación: Coeficiente de Determinación Denominamos coeficiente de determinación R 2 como el coeficiente que nos indica el porcentaje del ajuste que se ha conseguido con el modelo lineal. A mayor porcentaje mejor es nuestro modelo para predecir el comportamiento de la variable Y. También se puede entender este coeficiente de determinación como el porcentaje de varianza explicada por la recta de regresión y su valor siempre estará entre 0 y 1 y siempre es igual al cuadrado del coeficiente de correlación (r). R 2 = r 2 Es una medida de la proximidad o de ajuste de la recta de regresión a la nube de puntos. También se le denomina bondad del ajuste. 1 R2 nos indica qué porcentaje de las variaciones no se explica a través del modelo de regresión, es como si fuera la varianza inexplicada que es la varianza de los residuos. Modelo de regresión lineal simple En el modelo de regresión lineal simple la función elegida para aproximar la relación entre las variables es una recta, es decir y=a+bx, donde a,b son los parámetros. Por lo general el método se llama Mínimos Cuadrados. A esta recta la llamaremos RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X. Donde los valores de a y b se obtienen de las siguientes expresiones: S xy a y bx b 2 S x o bien, se puede obtener la recta de regresión con la siguiente expresión: Sxy y y S x x 2 x que sería la misma recta pero expresada en punto pendiente. A la pendiente b de la recta de regresión de Y sobre X se le denomina coeficiente de regresión de Y sobre X. PROPIEDADES: 1. Dos rectas se cortan en el punto ( x, y) que se denomina centro de gravedad de la distribución conjunta. 2. El signo de b será el signo de la covarianza (pues las varianzas son siempre positivas). Una covarianza positiva dará un coeficiente de regresión positivo y su correspondiente recta de regresión creciente. Si la covarianza es negativa, la recta de regresión serán decreciente al ser negativa su pendiente. 4

5 Medias y Varianzas Condicionales En una distribución condicional de frecuencia donde X es variable cuantitativa, será posible calcular la Media y la Varianza. Medias y Varianzas Condicionadas a cada valor (o intervalo I) de Y. Sean Entonces, 5

6 Ejemplo: Consideremos la Edad condicionada al Género. Entonces: Lo que comprueba, 6