La línea recta: Serie1

Transcripción

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2 La línea recta: En una línea recta tenemos una relación entre dos variables, la independiente (x) y la dependiente (y). La forma en que se relacionan dependerá de la función que describa dicha relación. Así entonces si la relación es Y=X+1 obtendríamos la siguiente tabla: X Y Note que la pendiente es 1, es decir, por cada incremento (disminución) de una uniada de x, hay un incremento (disminución) de 1 unidad de y Serie1

3 La línea recta: De la misma manera si tuviéramos una función Y = 2X-1, obtendríamos la siguiente tabla en que la pendiente sería 2, es decir, por cada unidad que incrementamos (disminuimos) x, hay un incremento (disminución) de 2 unidades de y. X Y Serie1

4 La línea recta: En el caso que la relación fuera inversa, ej: Y = -0,2X+3, la pendiente nos indica que por cada unidad de incremento (disminución) de x, tendremos una disminución (incremento) de 0,2 unidades de y. X Y 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Serie1

5 En general, dados dos pares ordenados podemos determinar la pendiente de acuerdo a la siguiente formula: m = y1-y0 x1-x0 En el primer ejemplo m = 4-3 = 1 o bien: 3-4 = En el segundo ejemplo m = 7-5 = 2 o bien 5-7 = En el tercer ejemplo: m = 2,2-2 = o bien 2-2,2 = - 0,

6 Conclusiones 1. Para determinar la relación lineal (pendiente) entre dos variables (línea recta) lo podemos hacer de dos formas: a. A través del número que multiplica a la variable x b. A través de la fórmula de la pendiente 2. La pendiente se puede calcular con cualquier par de datos. 3. La pendiente SIEMPRE es la misma en una recta.

7 Así entonces estamos listos para estudiar la relación entre dos variables, esto es, a partir de una variable independiente podemos asumir el valor de la variable dependiente. Supongamos que observamos la relación existente entre el número de ausencias en un semestre a un ramo de estadísticas y la nota final de cada alumno según la siguiente tabla:

8 # Ausencias Xi Nota Final Yi ,5 6,0 5,6 6,2 5,3 5,0 5,1 6,1 4,5 5,0 4,4 4,3 4,2 4,1 4,0

9 Note lo siguiente: 1. Estamos asumiendo (por la asignación de las variables x e y) que la variable independiente es el número de ausencias y la dependiente nota final, lo que supone que la nota final es una consecuencia del número de ausencia. 2. La relación es inversa, esto es, a medida que aumenta la variable x, disminuye la variable y. Dicho de otra manera, la pendiente de la recta (veremos que no es una recta) es negativa. 3. Si graficamos esta función encontraremos que no es recta, o dicho de otra manera, si calculamos la pendiente para distintos pares de datos obtendremos pendientes distintas. Observemos los puntos graficados de acuerdo a esta relación.

10 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 Serie1 2,0 1,0 0, Como podríamos determinar la recta que mas se acerca, como promedio, a la mayor cantidad de puntos?

11 Regresión lineal simple y correlación : El modelo de regresión lineal tiene como objetivo observar las relaciones entre variables, y eventualmente servir para predecir el comportamiento de una variable con respecto a otra. El primer paso es determinar un modelo que permita, en forma lineal determinar la función que represente esta relación. Para esto se presenta de la siguiente forma: Yi = ß0 + ß1Xi +?i Donde ß0: Ordenada al origen de la población ß1: Pendiente real de la población?i : Error aleatorio en Y para obs i Y ß0 0 X

12 Regresión lineal simple y correlación : Como estamos interesados en representar una muestra, hacemos el siguiente ajuste que lo representaremos como: Y i = b0 + b1xi Donde b0: Ordenada al origen de la muestra b1: Pendiente real de la muestra Y b0 0 X El análisis de regresión lineal simple tiene como objetivo encontrar la línea que mejor se ajuste a los datos reales. Esto quiere decir, encontrar la línea en que las observaciones reales y las predichas sean mínimas. De ahí el nombre de los mínimos cuadrados.

13 y Regresión lineal simple y correlación : En forma matemática, lo que debemos hacer es encontrar es el mínimo de: S(Yi -Yi)² pero como sabemos que Yi = b0 + b1xi, reemplazamos : S(Yi - (b0 + b1xi))² lo que al desarrollarla dan como resultado dos ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones normales: I. SYi =nb0 + b1sxi II. SXiYi =b0sxi + b1s(xi)² Puesto que hay dos incógnitas, estas se pueden resolver simultáneamente para b0 y b1: b1= n SXiYi - (SXi)(Syi) y b0 = Y - b1 X ns(xi)² - (Sxi) ². Lo que es lo mismo que: (SXi)(Syi) b1= SXiYi - n b0 = S(Yi) - b1s(xi) S(Xi)² - (Sxi) ² n n n

14 En el caso del ejemplo de las ausencias con la nota final: Ir a EXCEL

15 Regresión lineal simple y correlación : Numero X Y X*Y (X)2 (Y)2 ^Y (Yi - ^Y) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , S 12, , ,830, MEDIA , , b1 = SST = R2 = b0= SSE = P = SSR = Syx=

16 Regresión lineal simple y correlación : Mecánica: 1. Establecer los pares ordenados X e Y reales 2. Calcular las columnas X*Y, X², Y² 3. Calcular las sumas de cada columna (recuerde las fórmulas que utilizarán las sumatorias) 4. Calcule b1 y bo (Con esto construya el modelo, Yi = b0 + b1xi). En este caso el modelo es: Yi = Xi Con lo cual tenemos la ecuación de la recta que en promedio más se ajusta a la realidad de las variables X e Y. Recuerde que este modelo no es igual al original, si no solo una aproximación. 5. El paso siguiente es calcular el ERROR ESTÁNDAR DEL ESTIMADOR, que corresponde a las diferencias entre los valores reales de Y y los valores predichos de Y. Para esto utilizaremos la fórmula equivalente a la varianza en datos estudiados al comienzo del curso. Syx = S (Yi - Yi) ² = Syi ² - b0 SYi - b1s XiYi n-2 n-2

17 Regresión lineal simple y correlación : Al igual que en la varianza, se deben elevar al cuadrado las diferencias porque de otra forma la sumatoria se hace igual a cero. Se divide por n-2 porque se están estimando dos parámetros (recordar que en la varianza real (poblacional) se divide por n, y en la varianza muestral por n-1). Finalmente se aplica la raíz cuadrada y se obtiene el error estándar del estimador. Como se puede observar, ambas fórmulas son equivalentes. La primera para efecto de comprensión de la mecánica (en una planilla de excel resulta más claro). En el ejemplo la columna (Yi - ^Y)² que corresponde a la última columna, previa evaluación de ^Y en la penúltima columna. La segunda fórmula es la algebraica, para efectos de cálculo manual o con calculadora y corresponde al desarrollo del polinomio de la primera fórmula. En este caso a partir de la planilla, podemos obtener el valor del error estándar del estimador: Syx = (diferencia con el libro por aproximaciones) y se mide en unidades de la variable dependiente Y, y representa la variabilidad alrededor de la línea ajustada.

18 Regresión lineal simple y correlación : Correlación: Con el fin de determinar que tan bien la variable independiente puede predecir la variable dependiente, o en otras palabras, que tan bien se ajusta el modelo lineal propuesto a la realidad, necesitamos explicar algunos conceptos para luego derivar la fórmula. Y Yi = bo + b1xi Suma de los cuadrados no explicados SSE Suma de los cuadrados explicados SSR Y SST Xi X

19 Regresión lineal simple y correlación : Como sabemos, la diferencia entre Y e Yi corresponde a la suma de los cuadrados explicados SSR (recordemos que alrededor de la media hay variaciones que corresponden a los valores predichos y otras variaciones que son errores). Las variaciones que corresponden a los errores, son las diferencias entre la variación no explicada (de ahí el nombre error) y corresponde por lógica a la diferencia entre el Y real y el Y predicho al cuadrado. De ahí el nombre SSE o suma de los cuadrados de los errores que es el número que obtenemos al sumar la última columna. Los cálculos asociados son: SSE = S (Yi -Yi) ² o equivalentemente SYi ² - bo Syi - b1sxiyi SSR= S (Yi -Y) ² o equivalentemente bo Syi + b1sxiyi - (Syi) ² n SST = S (Yi -Y) ² = SYi ² - (Syi) ² n SST = SSR + SSE

20 Regresión lineal simple y correlación : De estas ralaciones podemos deducir: 1. Coeficiente de determinación r² = SSR/SST que mide la proporción de la variación que se explica por la variable independiente en el modelo de regresión. Notar que si r² = 1, quiere decir que todos los puntos están sobre la línea y que no hay error. 2. Correlación: Raíz de r ² con el signo de b1 (pendiente) que mide el grado de asociación entre dos variables. Si la correlación es cercana a +1 entonces ambas variables se mueven en la misma dirección, es decir, ambas están directamente correlacionadas. Por otra parte si la correlación es cercana a -1, ambas variables se mueven en distinta dirección, es decir, están inversamente correlacionadas. Si la correlación es cercana a cero, entonces no hay correlación entre variables: Y Y Y r = -1 r=0 r = +1 X X X

21 Regresión lineal simple y correlación : En el ejemplo anterior, r ² = y r = 0.89 Ejercicio: La siguiente tabla representa el puntaje en el informe de admisión a un centro de formación técnica y el número de ramos reprobados en un año. Se pide determinar la regresión lineal, el error estándar del estimador y la correlación Numero X Y

22 Regresión lineal simple y correlación : X Y X*Y (X)2 (Y)2 ^Y (^Yi-Yi)2 (^X-mdX) , , , , , , , , , , ,554, , , b1 = SST = R2 = b0= SSE = P = SSR = Syx= Tarea: Ejercicios 16.16; 16.17; 16.18; 16.19; 16.20; 16.21; Ejercicios 16.23; 16.24; 16.25; 16.26; 16.27; 16.28; 16.29; 16.30; Todos los ejercicios de Berenson & Levine

23 Regresión lineal simple y correlación : Algunas notas sobre Regresión y correlación: 1. Los modelos de regresión son ciertos para los datos de la muestra, no así para los de la población. 2. Existen supuestos para utilizar este modelo (??) 3. Existen claras diferencias entre regresión y correlación (??) FIN del Módulo