Estadísticas Elemental Tema 3: Describir la relación entre dos variables: Correlación y regresión 3.1-1

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1 Estadísticas Elemental Tema 3: Describir la relación entre dos variables: Correlación y regresión 3.1-1

2 Relación entre dos variables Al estudiar conjuntos de variables con más de una variable, una pregunta fundamental debe ser si podemos utilizar el valor de una variable para predecir el valor de alguna otra variable. Ejemplos: Existe una relación entre la estatura y el peso? Existe una relación entre la dosis de un medicamento y el tiempo de recuperación? Existe una relación entre la tasa de criminalidad y los cambios en la población? 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

3 Ejemplo Examinemos un conjunto de datos con dos variables: x, y x y Cuál es el objetivo del análisis si los datos fueron tomados en los siguientes contextos? a) Puntuaciones obtenidas por individuos antes y después de un modelo particular de enseñanza. a) Puntuaciones en un examen de razonamiento matemático y el salario de comienzo de un empleado. a) Puntuaciones obtenidas en un examen de admisión universitaria por hombres y mujeres

4 Correlación Una correlación existe entre dos variables cuando los valores de una variable están relacionados, de alguna forma, con los valores de la otra. Ejemplo: A medida que aumenta la puntuación en el tercer examen parcial de un curso, la puntuación en el final muestra una tendencia a subir. El propósito de un análisis de correlación lineal es para determinar si existe una relación lineal entre dos conjuntos de variables

5 Tipos de variables en un experimento Variable respuesta variable bajo estudio; aquella variable cuyos cambios se desean estudiar variable dependiente en el estudio Variable explicativa o predictora se estudian los efectos que tiene la variable explicativa sobre la variable respuesta variable que manipula el investigador variable independiente en el experimento 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

6 Diagrama de dispersión El primer paso para identificar el tipo de relación que puede existir entre dos variables es hacer un dibujo. Datos de dos variables pueden ser representados gráficamente mediante un diagrama de dispersión. Diagrama de dispersion es una gráfica formada localizando en el plano-xy los pares ordenados que corresponden a las variables bajo estudio. Los valores de las variables se expresan como pares ordenados (x, y); x variable explicativa (plano horizontal) y variable respuesta (plano vertical) 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

7 EJEMPLO Construir e interpretar un diagrama de dispersión Los investigadores deseaban determinar si el tiempo que se necesita para perforar en seco una distancia de 5 pies de roca incrementa con la profundidad a la que se comienza la perforación. La profundidad a la que comienza la perforación es la variable explicativa, x el tiempo (en minutos) para perforar 5 pies es la variable de respuesta, y. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Source: Penner, R., and Watts, D.G. Mining Information. The American Statistician, Vol. 45, No. 1, Feb. 1991, p Pearson Prentice Hall. All rights reserved 4-7

8 EJEMPLO Diagrama de dispersión TI-84 (cont) Oprimir los datos y entrar Oprimir y configurar la gráfica Oprimir y 9 4-8

9 Tipos de Relaciones en un Diagrama de Dispersión

10 Correlación lineal Si a medida que los valores de la variable explicativa aumentan los valores de la variable respuesta también aumentan, entonces existe correlación positiva. Si a medida que los valores de la variable explicativa aumentan los valores de la variable respuesta disminuyen, entonces existe correlación negativa. Coeficiente de correlación lineal de una muestra (r) es una medida de la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variable cuantitativas (coeficiente de correlación Pearson) 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

11 Coeficiente de correlación lineal de una muestra 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

12 Propiedades del Coeficiente de correlación lineal 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

13 Tipos de correlación 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

14 EJEMPLO Coeficiente de correlación lineal Determine el coeficiente de correlación lineal de la data sobre perforación en rocas utilizando la TI Pearson Prentice Hall. All rights reserved 4-14

15 EJEMPLO Coeficiente de correlación lineal TI-84 (cont.) 4-15

16 EJEMPLO Existe una relación lineal? Comente sobre el tipo de relación que existe entre la profundidad a la cual se comienza a perforar y el tiempo que toma perforar 5 pies en la data sobre perforación en rocas Pearson Prentice Hall. All rights reserved 4-16

17 EJEMPLO 2 Existe una relación lineal? Desde hace años, residentes de la ciudad de Nueva York han estudiado la relación entre el alza en el costo de un pedazo de pizza vendida en la calle y el costo de un viaje en el tren subterráneo o autobus. La siguiente tabla presenta una muestra aleatoria de estos costos. Año Costo de un pedazo de pizza Costo de un viaje en tren subterráneo o autobús Determine, manualmente, el coeficiente de correlación lineal entre las variables. Comente sobre el tipo de relación que existe Pearson Prentice Hall. All rights reserved 4-17

18 EJEMPLO Existe una relación lineal? Solución: Para determinar el coeficiente de correlación, primero determina las puntuaciones z de cada valor de las variables.. x (Pizza) y (Tren) zx zy Para determinar las puntuaciones z de cada valor de las variables, necesitamos las medias y las desviaciones estándares de las dos variables. 4-18

19 EJEMPLO Existe una relación lineal? x (Pizza) y (Tren) zx zy (zx)(zy) x = y = s = s = r = z x z y n

20 EJEMPLO Existe una relación lineal? Solución (continuación): Interpretar el coeficiente de correlación

21 Regressión lineal Regresión lineal simple es una técnica de análisis de datos que intenta identificar un patrón lineal en los datos. En la regresión lineal, se utilizan todos los datos para calcular una línea recta que se puede usar para predecir valores de la variable respuesta usando la variable explicativa Pearson Prentice Hall. All rights reserved

22 Regressión lineal Dado dos variables que forman una colección de pares ordenados, la linea de regresión es la ecuación lineal que algebraicamente describe la relación entre las dos variables. La gráfica de la línea de regresión se conoce como la línea de mejor ajuste o la línea de mínimos cuadrados Pearson Prentice Hall. All rights reserved

23 Usando la siguente muestra: (a) Encuentre una ecuación lineal que relaciona x (la variable explicativa) con y, (la variable de respuesta) usando métodos algebraicos. Primeramente, debemos obtener un diagrama de dispersión para examinar la asociación de las variables

24 Use la siguente muestra: (a) Encuentre una ecuación lineal que relaciona x (la variable explicativa) con y, (la variable de respuesta) usando métodos algebraicos. Modelo: y = mx + b donde x, y representan las variables estudiadas m es la pendiente de modelo b es el intercepto en y del modelo. m = y 2 y 1 x 2 x

25 Use la siguente muestra (cont.) : (b) Traza la gráfica de la ecuación sobre el diagrama de dispersión (c) Use la ecuación para predecir y if x =

26 La diferencia entre el valor observado de la variable respuesta y el valor estimado por el modelo de regresión, se conoce como error, o residual. Ejemplo: Valores residuales (3, 5.2) } (3, 0.45) residual = observado en y estimado en y = = 0.45 La línea de regresión por mínimos cuadrados es la línea que minimiza los residuales

27 EJEMPLO Predecir peso del oso negro americano Los datos muestran la longitud y el peso de 10 osos blancos americanos. Se quiere poder usar el largo para predecir el peso. (a) Construir un diagrama de dispersión (b) Encuentre la ecuación de la línea de regresión por mínimos usando la calculadora TI 84. (c)interprete la pendiente y el intercepto en y del modelo. 4-27

28 Interpretación de la pendiente y el intercepto en y de la línea de regresión Interpretación de la pendiente: La pendiente de la línea de regresión es Su interpretación es que para cada cm adicional de longitud, el peso aumenta aproximadamente 1.69 kg, en promedio. Interpretación del intercepto en y: El intercepto en y de la línea de regresión es Para interpretar el intercepto en y, nos hacemos dos preguntas: 1. Es 0 un valor razonable para la variable explicativa? 2. Existe alguna observación cerca de x=0 en el conjunto? Un valor de 0 NO es razonable en este problema ya que una longitud de 0 implica que el oso no existe. No podemos interpretar físicamente el intercepto en y en este problema. 4-28

29 EJEMPLO Determinar el modelo de regresión lineal Los siguientes datos son una muestra de la altura de arboles y el diámetro de su tronco (a)encuentre la línea de regresión por mínimos cuadrados. (b)dibuje la línea de regresión por mínimos cuadrados sobre el diagrama de dispersión de los datos. (c)interprete la pendiente y el intercepto del modelo (d)predecir la altura de un árbol si el diámetro de su tronco es 10 pulgadas. Altura del arbol (pies) y Diametro del tronco (pulg) x

30 EJEMPLO Determinar el modelo de regresión lineal La siguiente tabla contiene datos sobre el precio de la oferta ganadora para 12 automóviles en ebay en julio de 2002 y el millaje de cada uno.. a) Use la salida de la calculadora TI 84 que se presenta arriba para determinar si existe una asociación lineal entre precio y millaje? Comente sobre la relación entre las variables. b) Determine un modelo linear para la data. c) Determine el valor residual para el auto #

31 Diferencia entre correlación y relación causal Ejemplo: Según datos recopilados por El Resumen Estadístico de Los Estados Unidos, la correlación entre el porcentaje de la población femenina con grados de bachillerato y el porcentaje de nacimientos a madres solteras desde 1990 es Cierto o Falso: Un porcentaje mayor de féminas con bachillerato causa un porcentaje mayor de madres solteras. Falso! 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

32 Diferencia entre correlación y relación causal Una correlación entre dos variables indica que los valores de las variables están asociados de alguna forma. Sin embargo la asociación matemática no implica, necesariamente, que una de las variables es una causa directa de la otra. Ejemplo: Según datos recopilados por El Resumen Estadístico de Los Estados Unidos, la correlación entre el porcentaje de la población femenina con grados de bachillerato y el porcentaje de nacimientos a madres solteras desde 1990 es Indique si el siguiente enunciado es cierto o falso: Un porcentaje mayor de féminas con bachillerato causa un porcentaje mayor de madres solteras

33 Variables ocultas ( lurking variables ) El efecto de variables ocultas sobre dos variables puede provocar una correlación alta sin que haya una relación causal. Ejemplo: Se ha encontrado que la relación entre la venta de helado y la taza de criminalidad tiene una correlación positiva alta. Justificación A medida que aumentan las temperaturas ambientales. tanto la venta de helados como la criminalidad aumenta. La variable temperatura ambiental afecta tanto la venta de helado como la alza en criminalidad. La variable temperatura ambiental se conoce como una variable oculta. 4-33

34 Usando el modelo de regresión Si la línea de regresión por mínimos cuadrados se utiliza para hacer predicciones basadas en los valores de la variable explicativa que son mucho más grande o mucho más pequeño que los valores observados, decimos que el investigador está trabajando fuera del alcance del modelo. Nunca usamos una línea de regresión por mínimos cuadrados para hacer predicciones fuera del alcance del modelo, porque no podemos estar seguros de que la relación lineal sigue existiendo. 4-34