ESTADÍSTICA CÁTEDRA I. Unidad 7

Transcripción

1 ESTADÍSTICA CÁTEDRA I Unidad 7

2 UNIDAD 7: La relación entre variables. Contenidos Distribución conjunta de dos variables. Diagrama de dispersión. Distribuciones marginales y condicionales. Correlación. El coeficiente (tau) de Kendall. El η 2 (eta cuadrado). La prueba 2 (chi cuadrado) de independencia. El coeficiente de correlación lineal r de Pearson. Las rectas de regresión.

3 Estudio de la relación entre variables cuantitativas Análisis de Correlación Análisis de Regresión

4 Ejemplo 1. Sea la tabla de Distribución Conjunta de X e Y, de puntajes en dos tests verbales administrados a 150 adolescentes de cierto curso y X

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6 Veamos Diagramas de Dispersión con diferentes configuraciones de puntos Figura 1 Relación lineal de sentido directo o positivo Figura 2 Relación lineal de sentido inverso o negativo Figura 3 Figura 4 Relación lineal nula

7 SP XY x x. y y El signo de SP xy indica el sentido de la relación lineal II I Y III IV X

8 Coeficiente de Correlación lineal r de Pearson r SP SC x xy.sc y El signo del Coeficiente de Correlación lineal r de Pearson indica el sentido de la relación lineal.

9 En general: 1 r 1 Casos Particulares r = 1 r = -1 Relación lineal perfecta, o de intensidad máxima, con sentido directo o positivo. Relación lineal perfecta, o de intensidad máxima, con sentido inverso o negativo. r = 0 Relación lineal nula

10 Ejemplo 2: Datos de Agotamiento Emocional (AE) y Tensión Laboral (TL) de docentes de Nivel Medio de la C.A.B.A. Sujeto AE TL Agotamiento Emocional Diagrama de Dispersión Tensión Laboral Correlations (Pearson) AE TL

11 Sea (x i, y i ) un punto de la Nube de Puntos, e y i el valor correspondiente a x i sobre una recta que atraviesa la nube, denominamos residuo o error en el pronóstico a y i - y' i Diagrama de Dispersión Diagrama de Dispersión Agotamiento Emocional Agotamiento Emocional Tensión Laboral Tensión Laboral Diagrama de Dispersión Diagrama de Dispersión Agotamiento Emocional Agotamiento Emocional Tensión Laboral Tensión Laboral Se elige como recta de regresión de Y sobre X a la que hace mínima a (y i -y i ) 2 (Criterio de mínimos cuadrados)

12 Scatter Plot of AE vs TL 36 Agotamiento Emocional Tensión Laboral

13 La recta de regresión de Y sobre X: permite predecir o estimar un valor de Y tomando a X como variable predictora. Su expresión es: Y' = a + b. X donde b = SP SC xy x y a y - b.x Y' es el valor pronosticado o estimado por la recta de regresión. Fragmento de la Salida del Análisis de Regresión en Statistix para el Ejemplo 2 Unweighted Least Squares Linear Regression of AE Agotamiento Emocional Predictor Variables Coefficient Std Error T P Constant TL AE = *TL

14 Análogamente para predecir o estimar un valor de X, tomando a Y como variable predictora, se calcula la recta de regresión de X sobre Y. SP Su expresión es: X' = c + d. Y, donde d= SC xy y y c x - d.y X' es el valor pronosticado o estimado por la recta de regresión Fragmento de la salida del Análisis de Regresión en Statistix para el Ejemplo 2 Unweighted Least Squares Linear Regression of TL Tensión Laboral Predictor Variables Coefficient Std Error T P Constant AE TL = *AE

15 Coeficiente de Determinación (r 2 ), indica que parte de la variabilidad total es explicada por el modelo de regresión. En el modelo de regresión lineal r 2 SC SP x 2 xy.sc y Propiedades: 1. El coeficiente de determinación está comprendido entre cero y uno: 0 r Si r 2 = 1, la relación lineal es perfecta. 3. Si r 2 = 0, la relación lineal es nula. 4. Dadas las rectas de regresión, el producto de sus pendientes es igual al coeficiente de determinación: b.d = r 2

16 Estudio de la relación entre variables cualitativas Prueba chi-cuadrado de Independencia

17 Sean X e Y dos variables cualitativas de nivel nominal Ejemplo presentado en Reuchlin(1980, p.112) Tipo de Estudio (X) y Género (Y) (Literarios,Científicos y Técnicos) (Muchachos, Muchachas) En una Tabla de Contingencia, con tantas filas como valores tome X y tantas columnas como valores tome Y, se presentan las frecuencias observadas en una muestra de tamaño n. 3 filas y 2 columnas La Hipótesis Nula sostiene que las variables X e Y son independientes y la Hipótesis Alternativa sostiene que las variables X e Y no son independientes El Estadístico de Prueba es X 2 n F n C i1 j1 Oij Tij Tij 2 Donde i:1,,n F indica la fila j:1,,n C indica la columna Oij es la frecuencia observada en la celda ij, y Tij es la frecuencia teórica, o esperada bajo la hipótesis nula, para la celda ij El Estadístico de Prueba X 2, tiene, bajo la Hipótesis Nula, distribución chi-cuadrado con (nº de filas -1)*(nº de columnas -1) grados de libertad

18 Ejemplo 3 Presentado en Reuchlin (1980, p.112) Chi-Square Test for Heterogeneity or Independence Sexo Tipo de Estudios Muchachos Muchachas Totales Literarios 1 Observed Expected Cell Chi-Sq Científicos 2 Observed Expected Cell Chi-Sq Técnicos Totales 3 Observed Expected Cell Chi-Sq Overall Chi-Square P-Value Degrees of Freedom 2 Cases Included 6 Missing Cases 0

19 Referencia Bibliográfica: Reuchlin, M. (1980). Compendio de Estadística. Método conceptual. Madrid: Pablo del Río Editor.