Tema 2: Regresión. Grado en Fisioterapia, 2010/11. Jesús Montanero Fernández. Cátedra de Bioestadística Universidad de Extremadura

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1 Grado en Fisioterapia, 2010/11 Cátedra de Bioestadística Universidad de Extremadura 8 de noviembre de 2010

2 Índice 1 Regresión lineal simple 2 3

3 Índice 1 Regresión lineal simple 2 3

4 Índice 1 Regresión lineal simple 2 3

5 Regresión En qué consiste? Es la explicación de una variable numérica a partir de una o varias variables, también numéricas

6 Regresión Lineal simple Una variable explicativa 5,200 5,100 5,000 Anchura cabeza 4,900 4,800 4,700 4,600 4,500 7,800 8,100 8,400 Longitud cabeza 8,700 9,000

7 Modelo Relación lineal Población: Y α + βx Muestra: y i a + bx i. i = 1,..., n Solución mínimo-cuadrática n minimizar [y i (a + bx i )] 2 i=1

8 Estimación y contraste de hipótesis Grado de correlación lineal Recta de regresión y = a + bx Test de correlación r 2 = s2 xy s 2 xs 2 y b = s2 xy, a = y bx s 2 x Existe relación a nivel poblacional? ρ 2 = 0 β = 0 H 0 : ρ 2 = 0 r 2, n

9 Ejemplo Gráfico 150,0 140,0 Velocidad lineal 130,0 120,0 110,0 Sq r lineal = 0, ,0 32,00 34,00 36,00 38,00 Área de la cabeza Cálculos r 2 = 0,002 y = 110, ,338x P = 0,660 Página 1

10 Es la explicación de una variable numérica Y a partir de varias variables numéricas. Para facilitar la notación hablaremos únicamente de dos variables explicativas X y Z.

11 Ejemplo Predicción del peso de un feto mediante tres medidas CC, CA y LF proporcionadas por un ecógrafo. Ventaja Mejor predicción Inconveniente Gráficos

12 Diagrama de dispersión matricial Peso CA CC LF LF CC CA Peso

13 Modelo Regresión lineal simple Relación lineal Población: Y β 0 + β 1 X + β 2 Z Muestra: y i b 0 + b 1 x i + b 2 z i. i = 1,..., n Solución mínimo-cuadrática n minimizar [y i (b 0 + b 1 x i + b 2 z i )] 2 i=1

14 Cálculo de b 0,b 1 y b 2 ( b1 b 2 ) ( s 2 = x s xz s zx s 2 z ) 1 ( syx s yz ), b 0 = y (b 1 x + b 2 z) Ecografía Peso Femur+9.8Cráneo-9.4Abdomen

15 Medidas del grado de correlación Tipos de coeficientes de correlación lineal (al cuadrado) Simple Múltiple Parcial Múltiple corregido

16 Simples Regresión lineal simple r 2 xy, r 2 xz, r 2 zy Expresan la proporción de variabilidad de una variable explicada linealmente por otra. Cálculo (estimación) r 2 xy = s2 yx s 2 xs 2 y r 2 zy = s2 yz s 2 zs 2 y r 2 xz = s2 zx s 2 xs 2 z

17 Describen los gráficos de dispersión simples Peso CA CC LF LF CC CA Peso Correlaciones LF CC CA Peso LF CC CA Peso,682,661, ,963,577 1,420 1

18 Coeficiente de correlación múltiple R 2 Expresan la proporción de variabilidad de la variable respuesta explicada linealmente por las otras. Cálculo (estimación) ( s 2 (s yx s yz ) x s xz s R 2 zx s 2 z = s 2 y ) 1 ( sxy s zy )

19 parcial r 2 yx,z r 2 yz,x r 2 yx,z: proporción de variabilidad de Y no explicada por Z que sí es explicada por X. r 2 yz,x: proporción de variabilidad de Y no explicada por X que sí es explicada por Z. Ambos parámetros indican la aportación. en exclusiva"de las variables X y Z en la explicación de Y. Cálculo (estimación) r 2 yx,z = R2 r 2 yz 1 r 2 yz r 2 yz,x = R2 r 2 yx 1 r 2 yx

20 Coeficiente correlación múltiple corregido R 2 Introducir una variable explicativa inútil (con correlación parcial pequeña respecto a la variable respuesta) no puede provocar una disminución de R 2 pero sí de R 2, que se define de manera similar pero penalizando el exceso de variables.

21 Regresión lineal simple Objetivos La finalidad de la ecuación muestral y = b 0 + b 1 x + b 2 z es: Estimar los valores poblacionales β 0, β 1, β 2 de la ecuación. Predecir el valor de Y que correspondería a un individuo con valores x y z conocidos ŷ = b 0 + b 1 x + b 2 z

22 Fiabilidad Regresión lineal simple Intervalos de confianza para las predicciones Podemos asignar un margen probable de error a la estimación obtenida que dependerá de los factores siguientes: R 2 n Distancia de (x, z) al centro (x, y).

23 Hipótesis importantes Los parámetros anteriormente definidos son estimaciones de análogos poblaciones realizadas a partir de la muestra. r 2 yx ρ 2 yx R 2 ρ 2 r 2 yx,z ρ 2 yx,z Se dan la siguientes equivalencias entre los coeficientes de correlación y los parámetros de la ecuación: ρ 2 = 0 β 1 = β 2 = 0 ρ 2 yx,z = 0 β 1 = 0 ρ 2 yz,x = 0 β 2 = 0

24 Interpretación Regresión lineal simple Es decir ρ 2 = 0: todas las variables explicativas se multiplican por 0 en la ecuación poblacional Y β 0 + β 1 X + β 2 Z ρ 2 yx,z = 0: la variable X se multiplica por 0 en la ecuación. Por lo tanto R 2 no difiere significativamente de 0: b 1 y b 2 no difieren significativamente de 0. r 2 yx,z no difiere significativamente de 0: b 1 no difiere significativamente de 0.

25 Contraste total Regresión lineal simple H 0 : β 1 = β 2 = 0 Equivale a ρ 2 = 0, es decir, a que X y Z no tengan capacidad de explicar linealmente nada de Y. La decisión del test depende de R 2 y n. R 2 H 1

26 Ejemplo: lobos Regresión lineal simple R 2 = 0,787 Modelo 1 Resumen del modelo R cuadrado Error típ. de la R R cuadrado corregida estimación,887 a,787,659 2,11604 a. Variables predictoras: (Constante), crown length, braincase width, palatal width-2, postpalatal length, interorbital width, palatal width-1, postg foramina width, zygomatic width, palatal length P = 0,001 Modelo 1 Regresión Residual Total ANOVA b Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Sig. 248, ,584 6,160,001 a 67, , , a. Variables predictoras: (Constante), crown length, braincase width, palatal width-2, postpalatal length, interorbital width, palatal width-1, postg foramina width, zygomatic width, palatal length b. Variable dependiente: peso

27 Contrastes parciales H 1 0 : β 1 = 0 Equivalen a ρ 2 yx,z = 0, es decir, a que X no tengan capacidad de explicar linealmente nada de Y al margen de lo que ya explique Z. La decisión en ambos tests depende de n y r 2 yx,z. H 2 0 : β 2 = 0 Idem para Z. Depende de n y r 2 yz,x. Finalidad El objetivo de los tests parciales es depurar el modelo eliminando las variables que no añaden nada a la explicación.

28 Ejemplo: lobos Regresión lineal simple Eliminaríamos todas salvo braincasewidth P = 0,002 Coeficientes a Modelo 1 (Constante) palatal length postpalatal length zygomatic width palatal width-1 palatal width-2 postg foramina width interorbital width braincase width crown length a. Variable dependiente: peso Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizad os B Error típ. Beta t Sig. -6,588 16,660 -,395,698,365,191,611 1,909,076 -,352,214 -,490-1,646,121,076,145,149,523,608 -,069,267 -,055 -,258,800,309,505,150,613,549 -,022,390 -,015 -,055,956,026,268,023,099,923,778,202,595 3,842,002,247,902,044,274,788

29 Tests parciales Son en principio los encargados de depurar el modelo eliminando las variables que aporten resultados no significativos (correlaciones parciales pequeñas).

30 Problema importante Multicolinealidad Las variables explicativas pueden correlacionar entre sí, lo cual da lugar a un efecto de "solapamiento"que no afecta a R 2 ni a la fiabilidad de las predicciones, pero sí a los coeficientes de correlación parciales. Consecuencias Los coeficientes de regresión no son fiables individualmente aunque la ecuación sí lo sea globalmente. Aparecen demasiados resultados no significativos en los tests parciales.

31 Ejemplo: ecógrafo Regresión lineal simple Multicolinealidad leve entre LF, CC y CA Ecuación que permite obtener predicciones fiables pero cuyos coeficientes no deberían interpretarse por separado. Están sometidos a una fuerte variabilidad. Peso Femur+9.8Cráneo-9.4Abdomen

32 Multicolinealidad fuerte entre LF y LTi Si introducimos dos variables explicativas fuertemente correlacionadas es muy probable que tengamos para ambas resultados no significativos en los tests parciales, aunque su correlación simple con Y sea alta. Las dos desaparecerían del modelo. Modelo 1 (Constante) LF CC CA LTi a. Variable dependiente: Peso Coeficientes a Coeficientes Coeficientes no estandarizad estandarizados os B Error típ. Beta t Sig. -297, ,083 -,964,342 31,214 38,125 1,917,819,418 9,724,974 1,904 9,985,000-9,355,906-1,925-10,328,000-18,557 38,065-1,142 -,488,629

33 Soluciones multicolinealidad Opciones Procurar que las variables explicativas no tengan relación entre sí. Trabajar con muestras muy grandes. Aplicar algoritmos de selección para optimizar el modelo. Tomar decisiones "salomónicas": componentes principales.

34 Álgoritmo I Regresión lineal simple Hacia delante Plantear tantos modelos de regresión simples como variables explicativas haya. Efectuar el contraste de correlación en cada unos de ellos. Escoger la variable que aporte el resultado más significativo. Considerar los diferentes modelos de dos variables explicativas que se obtienen añadiendo a ésta cada una de las restantes. Escoger la variable nueva que aporte el resultado más significativo en el test parcial Así sucesivamente hasta que ninguna candidata aporte un resultado significativo.

35 Álgoritmo II Regresión lineal simple Hacia atrás Efectuar todos los tests parciales en el modelo completo y excluir la variable que aporte un resultado menos significativo. Repetir el mismo método en el modelo reducido resultante y así hasta que todas las variables aporten resultados significativos (excepción: P<0.10). Lo deseable es que ambos métodos conduzcan a un mismo modelo.

36 Ejemplo: lobos Regresión lineal simple Hacia adelante: dos variables R 2 = 0,712 Modelo 1 2 (Constante) braincase width (Constante) braincase width palatal width-2 a. Variable dependiente: Total weight Coeficientes a Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizad os B Error típ. Beta t Sig. 8,693 6,634 1,310,203 1,052,162,805 6,506,000-6,791 9,309 -,729,473 1,006,151,769 6,658,000,528,239,256 2,212,038

37 Ejemplo: lobos Regresión lineal simple Hacia adelante: cuatro variables R 2 = 0,778 Coeficientes a Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizad os Modelo B Error típ. Beta t Sig. (Constante) -4,344 9,283 -,468,645 palatal length,401,150,670 2,674,015 postpalatal length -,378,172 -,527-2,202,040 zygomatic width,115,062,225 1,852,079 braincase width,769,162,588 4,733,000 a. Variable dependiente: Total weight

38 Lobos? Regresión lineal simple Regresión simple con braincase widthcon r 2 = 0,648 60,00 57,50 55,00 Total weight 52,50 50,00 47,50 Sq r lineal = 0,648 45,00 35,00 37,50 40,00 braincase width 42,50 45,00

39 Edad días-peso embrión Peso Embrión Edad embrión

40 Ecuación de Michaellis-Menten [S] V V S

41 Solución Transformar variables (logaritmo, inverso, etc) o trabajar con funciones polinómicas de las variables explicativas (parábolas, etc) Ejemplo: exponancial y = a e bx ln y = ln a + b x La relación entre X e Y no es lineal, pero entre X y ln Y sí lo es.

42 Embrión: exponencial ỹ = ln y x = x 8,00 7,00 Ln Peso 6,00 5,00 Sq r lineal = 0,997 4, Edad en días 14 16

43 Embrión: deshacemos el cambio Peso = 1,86 1,58 Edad r 2 = 0,997 Peso en mg Observada Exponencial Edad en días 14 16

44 Ecuación de Michaellis-Menten X = 1/[s], Y = 1/V y = 1, ,52x; r = 0, Y X

45 Deshacemos el cambio V = 0,60[S] 16,67 + [S] V S V max = 0,60 K M = 16,67

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