Regresión con variables independientes cualitativas

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1 Regresión con variables independientes cualitativas.- Introducción Regresión con variable cualitativa dicotómica Regresión con variable cualitativa de varias categorías...6

2 2.- Introducción. Aunque el modelo de regresión lineal parece indicado cuando la naturaleza de ambas variables X e Y sean cuantitativas, no obstante es fácilmente demostrable que no es problema alguno operar con variables independientes cualitativas. En el caso de una variable X dicotómica, la regresión simple equivale a un contraste de medias. El supuesto de normalidad en las distribuciones ligadas (para los diferentes valores de X) es equivalente al supuesto de normalidad en las poblaciones orígenes de las dos muestras en el contraste de medias. El supuesto de homocedasticidad es el equivalente al de igualdad de varianza en las poblaciones orígenes. Y por último, el de linealidad (entre los puntos medio de las distribuciones ligadas), se cumple por cuanto entre dos puntos (las medias de ambas muestras) siempre se puede definir una recta. Comenzaremos por desarrollar el caso en que la variable independiente presenta dos categorías, lo que permitirá asimilarlo al contraste de medias. Posteriormente trataremos el caso en el la variable independiente presenta mas categorías, lo que será asimilado al análisis de la varianza. Se observará una total equivalencia de la regresión con ambas pruebas, con la ventaja de que la regresión ofrece un enfoque más parsimonioso y permite además conocer la 2 proporción de variabilidad explicada por la variable independiente ( R ). 2.- Regresión con variable cualitativa dicotómica. Supongamos que tenemos las siguientes puntuaciones obtenidas en una determinada prueba de habilidad verbal por un grupo de varones y otro de mujeres: Varones: 0, 2, 5, 8, Mujeres: 2, 3, 9, 8, 6 Pretendemos estudiar si la variable sexo afecta al rendimiento. Como se sabe, habitualmente este tipo de contraste se resuelve mediante el contraste de medias: comparamos las media de los varones con la de las mujeres y estudiamos la significación de la diferencia de medias obtenida. Tales pruebas pueden ser abordadas igualmente desde la regresión. Comenzaremos con el contraste de medias y mostraremos su equivalencia. Si hacemos los análisis mediante un contraste de medias, los datos quedarían dispuestos de la siguiente manera: 2

3 3 Los varones se han agrupado con el valor de y las mujeres, con el valor de 2. Los resultados son: Estadísticos de grupo Habilidad verbal Sexo 2 N Desviación Error típ. de Media típ. la media 5, ,58844, , ,5074,56844 Prueba de muestras independientes Habilidad verba Se han asumido varianzas iguales No se han asumido varianzas iguales Prueba de Levene para la igualdad de varianzas F Sig. t gl Sig. (bilateral) Prueba T para la igualdad de medias Diferencia de medias 95% Intervalo de confianza para la diferencia Error típ. de la diferencia Inferior Superior,70,427 -,23 8,253-2,40000, , , ,23 7,36,256-2,40000, ,9642 2,642 3

4 4 Se observa, como dato más relevante, que las medias de varones y mujeres son.2 y 3.6 respectivamente, junto que el valor de t es -.23, con una significación de 0.253, que indica que no hay diferencias entre ambos sexos. Si estos cálculos los realizamos mediante la regresión simple, habremos primeramente de efectuar una cierta modificación sobre la variable X en el sentido de someterla a una cierta codificación, la codificación dummy, o en español, ficticia, de forma tal que sea susceptible de ser tratada con la regresión lineal. Se trata de codificar una categoría como 0 -ausencia de un determinado rasgo- y la otra categoría -presencia de ese rasgo-. En el caso que nos concierne si codificamos varones como 0 y mujeres como, estaremos queriendo decir, que en primer caso hay ausencia del "sexo mujer" y en otro presencia. Así, el fichero de datos será: 4

5 5 Y el resultado del análisis de regresión: Modelo Resumen del modelo R cuadrado Error típ. de la R R cuadrado corregida estimación,399 a,59,054 3,0822 a. Variables predictoras: (Constante), Sexo Modelo Regresión Residual Total ANOVA b Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Sig. 4,400 4,400,56,253 a 76, ,500 90,400 9 a. Variables predictoras: (Constante), Sexo b. Variable dependiente: Habilidad verbal Modelo (Constante) Sexo Coeficientes a Coeficientes no estandarizados a. Variable dependiente: Habilidad verbal Coeficient es estandari zados B Error típ. Beta t Sig.,200,378 8,25,000 2,400,949,399,23,253 Se observa una total equivalencia. El contraste se realiza mediante el análisis de la varianza que da un valor de.55 (el valor de t al cuadrado.23 2 =.56) y También el valor de t para la pendiente (2.4, que es la diferencia de las medias) equivalente al valor de t en le contraste de medias. Por otro, lado la significaciones siempre la misma que anteriormente. Las medias de ambos grupos equivalen a las puntuaciones estimadas para cuando X vale 0 (los varones) y X vale (las mujeres). Así la ecuación de regresión será: Yˆ = X De esta forma, cuando se trata de varones la puntuación prevista en Habilidad verbal será: Y para las mujeres: Y ˆ = X = *0 =.2 Y ˆ = X = * = 3.6 5

6 6 3.- Regresión con variables cualitativas de varias categorías. Esta prueba es equivalente a la ya conocida de análisis de la varianza donde se estudia el efecto de una variable cualitativa de varias categorías con otra cuantitativa. Como se sabe, para aplicar el modelo de regresión lineal han de respetarse los supuestos del modelo. Conseguido esto, sea con la estrategia que sea, se aplicará el modelo. Estos supuestos para datos transversales son: linealidad, normalidad y homocedasticidad. Los dos últimos son los mismos que los supuestos del análisis de la varianza, así que nada que decir al respecto. Queda la cuestión de la linealidad, que para dos medias (contrastes de medias) siempre se cumple, ya que dos puntos, cualesquiera que sean siempre pueden ser unidos mediante una recta. Otra cuestión es cuando se trata de tres o más puntos, que difícilmente estarán exactamente alineados, por lo que para ello hemos de idear otra estrategia. La solución consiste en generar tantas variables independientes como categorías haya en el factor, y a continuación codificar cada una de estas variables con ceros y unos según la categoría a la que pertenezca los distintos sujetos. Veamos un ejemplo. Supongamos que aplicamos tres métodos de enseñanza (A, B y C) sobre tres grupos de sujetos, generaríamos tres variables: X, X2 y X3. Los sujetos que pertenecen al grupo A serían codificados como (presencia en X) en la variable X y 0 en las restantes (ausencia en X2 y X3). Así: X X2 X3 0 0 Los sujetos que pertenecen al grupo B, tendrían la siguiente codificación: X X2 X3 0 0 Y los sujetos pertenecientes al grupo C: X X2 X3 0 0 Obsérvese que no es necesaria la variable X3. Con las dos primeras variables codificadas siempre estamos al tanto del grupo al que pertenecen los distintos sujetos. Si explícitamente están en X o X2, no hay problemas, y si no están en ninguna de ellas, entonces se entiende que están en X3. Matemáticamente es conveniente hacerlo así, porque si no estaremos introduciendo una variable (cualquiera de ellas) que queda explicada por las otras, con lo que nos encontraremos con un problema de colinealidad, con matrices singulares y sin posible solución. Por tanto, generaremos dos variables con la siguiente codificación: X X2 Grupo A 0 Grupo B 0 Grupo C 0 0 6

7 7 Por otro lado, el hecho de plantear el análisis de la varianza como un problema de regresión múltiple permite salvar el supuesto de linealidad. De nuevo, cada una de las variables independientes sólo tiene dos posibles valores sobre los cuales establecer una recta. Ahora la ecuación de regresión corresponde geométricamente con un plano y aunque las tres medias no estén alineadas en una recta (una dimensión) sí lo están en un plano (dos dimensiones) Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos tres grupos de sujetos de estudiantes de matemáticas a los que hemos aplicado tres métodos de enseñanza distintos: A, B y C. Los resultados en esta materia son los siguientes: A B C Si aplicáramos sobre estos datos un análisis de la varianza, configuraríamos la matriz de datos de la siguiente manera: 7

8 8 A continuación: Analizar/Comparar medias/anova de un factor: Completamos el subcuadro de dialogo de la siguiente manera: 8

9 9 Obteniendo los siguientes resultados: ANOVA Rendimiento Inter-grupos Intra-grupos Total Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Sig. 3, ,500 8,736,002 5,625 2,744 28, Veamos ahora cómo habríamos de disponer de los datos para operar desde el modelo de regresión: 9

10 0 A continuación: Completando el subcuadro de diálogo de la siguiente manera: 0

11 Obtendremos los siguientes resultados: Modelo Regresión Residual Total ANOVA b Suma de Media cuadrados gl cuadrática F Sig. 3, ,500 8,736,002 a 5,625 2,744 28, a. Variables predictoras: (Constante), X2, X b. Variable dependiente: Y Modelo (Constante) X X2 a. Variable dependiente: Y Coeficientes a Coeficientes no estandarizados Coeficient es estandari zados B Error típ. Beta t Sig. 6,875,305 22,543,000 -,250,43 -,540-2,898,009 -,750,43 -,755-4,058,00 Obsérvese cómo el análisis de la varianza sobre el modelo de regresión es exactamente el mismo. Además, sabemos que los métodos de enseñanza dan cuenta de un 45% de la variabilidad de los datos. Por otro lado, las puntuaciones previstas para los diferentes métodos de enseñanza son: Método A: Y ˆ= X.75X 2 = *.75* 0= Método B: Yˆ = X.75X = * 0.75* = Método C: Y ˆ= X.75X 2 = * 0.75* 0= que son las medias de los grupos A, B y C respectivamente

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