ESTADÍSTICA APLICADA. Tema 3: Contrastes de hipótesis

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1 ESTADÍSTICA APLICADA Grado en Nutrición Humana y Dietética Tema 3: Contrastes de hipótesis Qué es un contraste de hipótesis? Elementos de un contraste: hipótesis, tipos de error, nivel de significación, región crítica. Contrastes para la media de una población normal. El p-valor. Comparación de dos medias: muestras independientes y datos emparejados (sólo se tratará el caso de varianzas iguales). Contrastes para una proporción. Comparación de dos proporciones. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 1

2 Qué es un contraste de hipótesis? Una hipótesis es una afirmación que se hace sobre la población. La hipótesis es paramétrica si se refiere a los valores que toma alguno de los parámetros poblacionales. Un contraste de hipótesis es una técnica estadística para juzgar si los datos muestrales aportan evidencia o no para confirmar una hipótesis sobre una población. En este tema nos centraremos en los contrastes de hipótesis paramétricas: confirmar o refutar una afirmación acerca de uno o varios parámetros de la distribución de una o varias variables aleatorias. Por ejemplo: la media es no negativa (µ 0); la proporción de personas con obesidad es un 40 % (p = 0, 40); la media de una población es mayor o igual a la de otra (µ 1 µ 2 ); etc. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 2

3 Planteamiento de un contraste Paso 1. Plantear el contraste: Se establece una hipótesis básica, que llamaremos hipótesis nula y denotaremos H 0, y frente a ella otra hipótesis H 1, o hipótesis alternativa. Paso 2. Fijar una regla de decisión para aceptar o rechazar H 0 : Se realiza un experimento aleatorio, S, para el que se sabe que si H 0 es cierta, la probabilidad de que ocurra es pequeña. Paso 3. Tomar la decisión: Si al realizar el experimento ocurre S, se rechaza H 0. Si por el contrario no ocurre S, se acepta H 0. Nota importante: Los contrastes de hipótesis que estudiaremos tienden a ser muy conservadores con H 0. Sólo rechazaremos H 0 cuando haya una fuerte evidencia (muestral) en contra suya. En este sentido, se asemejan a un juicio en el que el acusado se considera inocente a no ser que se demuestre lo contrario. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 3

4 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Los refrescos de cola light utilizan edulcorantes artificiales que pueden perder su efecto con el tiempo. En un experimento se pidió a varias personas que probaran refrescos dietéticos y calificaran su grado de sabor dulce en una escala de 1 a 10. Tras almacenar las bebidas durante un mes a alta temperatura (para imitar el efecto de 4 meses de almacenamiento a temperatura ambiente) las mismas personas probaron de nuevo los refrescos y calificaron de nuevo su grado de sabor dulce. En la siguiente tabla aparecen las diferencias en las puntuaciones (a mayor diferencia, mayor caída del sabor): 2, 0.4, 0.7, 2, 0.4, 2.2, 1.3, 1.2, 1.1, 2.3 Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 4

5 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): La mayoría de los datos son positivos. Es decir, la mayoría de las personas apreciaron pérdida en el nivel de sabor. Pero las diferencias no son muy grandes (e incluso dos personas apreciaron un incremento). La pregunta que trata de responder un contraste de hipótesis es: Proporcionan estos datos evidencia de que el nivel medio de sabor decrece? La media estimada a partir de los datos es x = Refleja esta estimación un auténtico descenso en el nivel medio de sabor? Se debe el resultado a razones puramente aleatorias? Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 5

6 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Paso 1. Plantear el contraste. Llamamos X al cambio experimentado en la puntuación del refresco (es decir, 1 a calificación - 2 a calificación) y µ = E(X ) al descenso medio (desconocido) del grado de sabor de los refrescos. Como queremos confirmar si el grado medio realmente desciende (es decir, si µ > 0), queremos contrastar H 0 : µ 0 frente a H 1 : µ > 0. Si rechazamos H 0, esto significará que los datos muestran una fuerte evidencia en contra de H 0. Es decir, necesitamos pruebas estadísticas para declarar al acusado culpable. Nota importante: La hipótesis para la que se desea encontrar evidencia estadística es la hipótesis alternativa, H 1. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 6

7 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Paso 2. Fijar una regla de decisión. El razonamiento básico para hacer este contraste es: Supongamos que H 0 es cierta, es decir, µ 0. Es el resultado obtenido a partir de los datos ( x = 1.02) extraño o poco frecuente bajo esta hipótesis? Si esto es así, los datos aportan evidencia contra H 0 y a favor de H 1. Para llevar a cabo el análisis anterior tenemos que estudiar qué valores son los que cabe esperar que tome la media muestral X cuando H 0 es cierta. Simplificación: Para simplificar suponemos de momento que la población es normal y que la varianza es conocida y vale σ 2 = 1. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 7

8 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Supongamos que H 0 es cierta y que µ vale 0 (toma el valor en el que más difícil es distinguir entre H 0 y H 1 ). Entonces sabemos (tema 2) que X µ σ/ N(0, 1). n Para juzgar si el valor observado en la muestra x = 1.02 es compatible con µ = 0 calculamos t = / 10 = y comparamos con la distribución normal estándar, N(0, 1). Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 8

9 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Paso 3. Tomar la decisión. Mirando las tablas de la normal: P(Z > ) < 0.001, es decir, si µ = 0, en menos de 1 de cada 1000 muestras se obtendría un valor de t superior a Por tanto, es un valor improbable para una distribución N(0, 1). Concluimos que los datos proporcionan bastante evidencia en contra de H 0 y a favor de H 1. N 0, ,2255 Qué significa bastante evidencia? Depende de lo seguros que queramos estar a la hora de rechazar o no la hipótesis nula. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 9

10 Tipos de error Podemos cometer 2 tipos de errores: Rechazar H 0 Rechazar H 1 H 0 cierta Error de tipo I Decisión correcta H 1 cierta Decisión correcta Error de tipo II Error de tipo I: Rechazar H 0 cuando H 0 es cierta. Error de tipo II: Aceptar H 0 cuando H 0 es falsa. De los dos errores sólo podemos controlar uno: se elige el error de tipo I. Por ello, se deben definir las hipótesis de forma que el error de tipo I sea el más grave (equivalentemente, H 1 debe ser la hipótesis para la que buscamos mucha evidencia muestral antes de aceptarla). Se llama nivel de significación α de un contraste a la máxima probabilidad de cometer un error de tipo I cuando se realiza ese contraste. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 10

11 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Vamos a rechazar H 0 : µ 0 siempre que la discrepancia entre x y µ = 0 sea suficientemente grande, mayor que un valor crítico c: t = x 0 1/ 10 > c. Para determinar c fijamos el nivel de significación α. Los valores α = 0.01 o α = 0.05 son los más habituales. { } x 0 α = P H0 {Rechazar H 0 } = P H0 1/ 10 > c = P {Z > c}. Por lo tanto c = z α. N 0, A R 4 2 zα 2 4 Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 11

12 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Rechazamos H 0 : µ 0 a nivel de significación α si el valor t observado está en la región de rechazo o región crítica: { } x 0 R = 1/ 10 > z α. Para los datos del ejemplo recordemos que x 0 1/ 10 = Para hacer el contraste a nivel α = 0.05, buscamos en las tablas z 0.05 = Como > 1.64, estamos en la región crítica y rechazamos la hipótesis nula µ 0 a nivel α = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 12

13 Posibles resultados R Región crítica o de rechazo (x 1,,x n) Decisión Rechazo H0 Test (x 1,,x n) Región de aceptación A Acepto H 0 Para la mayoría de los contrastes la región crítica es de la forma: { } Distancia entre datos y H0 R = > c (tablas). E.T. de la distancia Todos los contrastes que veremos se basan en las mismas ideas que hemos introducido hasta ahora. En lo que sigue vamos a ver ejemplos de aplicación de las fórmulas en distintas situaciones. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 13

14 Contrastes para la media de una población normal (varianza desconocida) Contrastes unilaterales: Hipótesis: H 0 : µ µ 0 frente a H 1 : µ > µ 0 Región crítica: { } x µ0 R = s/ n > t n 1,α. Hipótesis: H 0 : µ µ 0 frente a H 1 : µ < µ 0 Región crítica: { } x µ0 R = s/ n < t n 1,α. Contraste bilateral: Hipótesis: H 0 : µ = µ 0 frente a H 1 : µ µ 0 Región crítica: { } x µ0 R = s/ n > t n 1,α/2. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 14

15 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Queremos contrastar H 0 : µ 0 frente a H 1 : µ > 0 (es decir, contraste unilateral con µ 0 = 0) a nivel α = Suponemos ahora que σ no es conocida. La estimamos a partir de la muestra: 2, 0.4, 0.7, 2, 0.4, 2.2, 1.3, 1.2, 1.1, 2.3 Para ello usamos la cuasidesviación típica muestral: n i=1 s = (x i x) 2 = n 1 Calculamos el estadístico del contraste: t = x µ 0 s/ n = / 10 = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 15

16 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Como > t 9,0.05 = estamos en la región crítica y rechazamos H 0 a nivel α = t Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 16

17 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Cuál es la conclusión si fijamos α = 0.01? t Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 17

18 El p-valor de un contraste Crítica a la selección del nivel de significación α (a) El resultado del test puede depender mucho del valor de α elegido, que es arbitrario, siendo posible rechazar H 0 con α = 0.05 y aceptarlo con α = Α 0, Α 0, Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 18

19 Crítica a la selección del nivel de significación α (b) Dar sólo el resultado del test (aceptación o rechazo) no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H N 0, ,75 3,09 Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 19

20 A medida que el nivel de significación disminuye es más difícil rechazar la hipótesis nula (manteniendo los mismos datos). t 9 t Α 0, Α 0, Hay un valor α = p a partir del cual ya no podemos rechazar H 0. Es decir si α < p ya no se rechaza H 0. A p se le llama el p-valor del contraste. El p-valor indica el punto de división entre el rechazo y la aceptación: Si α < p-valor, no podemos rechazar H 0 a nivel α. Si α > p-valor, podemos rechazar H 0 a nivel α. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 20

21 Interpretación: El p-valor se interpreta como una medida de la evidencia estadística que los datos aportan a favor de la hipótesis alternativa H 1 (o en contra de H 0 ): cuando el p-valor es pequeño se considera que hay una fuerte evidencia a favor de H 1. Utilización: Es más informativo utilizar el p-valor que fijar un nivel de significación ya que proporciona una idea de hasta qué punto la información muestral soporta H 0. En general: Si p > 0.1, no hay evidencia para rechazar H 0. Si 0.01 < p < 0.1, el rechazo de H 0 dependerá de nuestro criterio y de las consecuencias que conlleve rechazar H 0. Si p < 0.01, en general se rechaza H 0. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 21

22 Solución con SPSS Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 22

23 [Conjunto_de_datos0] C:\Documents and Settings\usuario\Mis documentos\joser\docen Resultado \estap\datos\edulcorante.sav que SPSS: Estadísticos para una muestra dulzor N Desviación Error típ. de Media típ. la media 10 1,020 1,1961,3782 Prueba para una muestra dulzor Valor de prueba = 0 95% Intervalo de confianza para la Diferencia diferencia t gl Sig. (bilateral) de medias Inferior Superior 2,697 9,025 1,0200,164 1,876 Valor de prueba: µ 0 (el valor de µ que separa H 0 de H 1 ). Por defecto µ 0 = 0. Sig (bilateral): es el p-valor del test bilateral H 0 : µ = µ 0 frente a H 1 : µ µ 0 (transparencias siguientes). Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 23

24 Los paquetes de software estadístico dan como resultado de un test Prueba su p-valor. T SPSS llama sig(bilateral) al p-valor. [Conjunto_de_datos0] C:\Documents and Settings\usuario\Mis documentos\jose \estap\datos\edulcorante.sav Conociendo el p-valor, el usuario puede tomar la decisión de aceptar o rechazar H 0 para cualquier α. Estadísticos para una muestra SPSS siempre calcula el p-valor Desviación para elerror contraste típ. de bilateral. Si N Media típ. la media queremos hacer un contraste unilateral, tenemos que dividir 10 1,020 1,1961,3782 entre 2 el valor calculado por SPSS. dulzor Prueba para una muestra dulzor Valor de prueba = 0 95% Intervalo de confianza para la Diferencia diferencia t gl Sig. (bilateral) de medias Inferior Superior 2,697 9,025 1,0200,164 1,876 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): El p-valor del contraste es 0.025/2 = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 24

25 Ejemplo 3.1 (refresco de cola light): Esto significa: Si α < no podemos rechazar µ 0. Si α > podemos rechazar µ t p 0, ,697 Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 25

26 Mínimo Máximo Rango 231,00 Comparación de dos Amplitud intercuartil medias (muestras 161,50 Ternera 401, ,90510 independientes) 380, ,871 Media Mediana Varianza Desv. típ. Mínimo Máximo Ejemplo 3.2: Se ha considerado la cantidad Rango de calorías y de 392,00sodio Amplitud intercuartil 158,75 en salchichas Resumen del procesamiento de de varias los casos marcas de dos tipos: ternera y pavo , sodio tipo Pavo Ternera Casos Válidos Perdidos Total N Porcentaje N Porcentaje N Porcentaje ,0% 0,0% ,0% ,0% 0,0% ,0% 600,00 Descriptivos sodio tipo Pavo Ternera Media Mediana Varianza Desv. típ. Mínimo Máximo Rango Amplitud intercuartil Media Mediana Varianza Desv. típ. Mínimo Máximo Rango Amplitud intercuartil Estadístico Error típ. 460, , , ,896 87, ,00 161,50 401, , , , , ,00 158,75 sodio Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis ,00 400,00 300,00 Pavo tipo Ternera

27 En estas muestras las salchichas de pavo tienen más sodio en media. Pero las dos muestras se solapan bastante. Son las diferencias muestrales estadísticamente significativas? Aportan evidencia estos datos para afirmar que el contenido medio poblacional de sodio de las salchichas de pavo es distinto al de las salchichas de ternera? X 1,..., X n1 es una muestra de N(µ 1, σ) Y 1,..., Y n2 es una muestra de N(µ 2, σ) Supuestos necesarios: Las muestras proceden de dos poblaciones normales. Las varianzas son desconocidas pero iguales. Las dos muestras son independientes. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 27

28 Hipótesis que queremos contrastar (α = 0.05) H 0 : µ 1 = µ 2 frente a H 1 : µ 1 µ 2 Región crítica (formulario) x ȳ R = > t s 1 p n n1 +n 2 2,α/2. n 2 Estimador combinado de la varianza s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 28

29 Con los datos del ejemplo, x ȳ = = s 2 p = = y s p = 96 t = x ȳ s p 1 n n 2 = /16 + 1/20 = = t 34, Como < 2.04, no podemos rechazar H 0. Las diferencias encontradas en las cantidades medias de sodio de las dos muestras no son significativas al nivel α = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 29

30 Comparación de dos medias (muestras independientes con SPSS) Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 30

31 Estadísticos de grupo sodio Desviación Error típ. de la media tipo N Media típ. Pavo , , ,79435 Ternera , , ,90510 Prueba de muestras independientes Prueba de Levene para la igualdad de varianzas F Sig. t gl Prueba T para la igualdad de medias Error típ. Sig. Diferencia de la 95% Intervalo de confianza (bilateral) de medias diferencia para la diferencia sodio Se han asumido varianzas iguales No se han asumido varianzas iguales Inferior Superior,008,930 1,853 34,073 59, ,2003-5, , ,887 33,84,068 59, ,6170-4, ,92714 El p-valor es Esto significa que se puede rechazar H 0 si α > Al nivel α = 0.05 no podemos rechazar. Error típico de la diferencia: s p 1/n1 + 1/n 2. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 31

32 Ejemplo 3.4: Queremos comparar la media de dos poblaciones normales. Para ello, obtenemos dos muestras aleatorias independientes con los siguientes resultados: Prueba T Muestra Muestra Introducimos los datos en SPSS con el resultado siguiente: [Conjunto_de_datos0] C:\Documents and Settings\usuario\Mis documentos\joser\docencia\estap\datos\salida-2medias.sav Estadísticos de grupo Datos Muestra 1,00 2,00 N Desviación Error típ. de Media típ. la media 6 5, ,8333 8, ,36072 Prueba de muestras independientes Datos Se han asumido varianzas iguales No se han asumido varianzas iguales Prueba de Levene para la igualdad de varianzas F Sig. Prueba T para la igualdad de medias Diferencia Error típ. de 95% Intervalo de confianza para la diferencia t gl Sig. (bilateral) de medias la diferencia Inferior Superior 1,601,234 -,732 10,481-3, , , ,732 8,934,483-3, , , ,27950 Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 32

33 Ejemplo 3.4: (a) Calcula la media de la muestra 1 (b) Calcula el error típico de la media de la muestra 1 (c) Calcula un IC de nivel 95 % para µ 1 (d) Cuánto vale el error típico de la diferencia? (e) Cuánto vale el p-valor del contraste de H 0 : µ 1 = µ 2 frente a H 1 : µ 1 µ 2? (f) Cuánto vale el p-valor del contraste de H 0 : µ 2 µ 1 frente a H 1 : µ 2 > µ 1? Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 33

34 Comparación de dos medias (datos emparejados) Ejemplo 3.3: Se usan cinco dosis de una sustancia ferrosa para determinar si existen diferencias entre llevar a cabo un análisis químico de laboratorio o un análisis de fluorescencia por rayos X para determinar el contenido de hierro. Cada dosis se divide en dos partes iguales a las que se aplica cada uno de los dos procedimientos. Los resultados obtenidos son los siguientes: Dosis Rayos X Análisis Químico Aportan los datos evidencia suficiente a nivel α = 0.05 para afirmar que el contenido medio de hierro detectado cuando se utiliza el análisis químico es diferente del contenido medio detectado cuando se utilizan rayos X? Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 34

35 Parámetros: µ 1 es el contenido medio detectado por rayos X µ 2 es el contenido medio detectado por análisis químico. Hipótesis: Cuando las muestras no son independientes, en lugar de contrastar H 0 : µ 1 = µ 2 frente a H 1 : µ 1 µ 2, se contrasta H 0 : µ = 0 frente a H 1 : µ 0, donde µ es el valor esperado de las diferencias d i = x i y i. Dosis x i y i d i Con estos datos: d = 0.1 y s d = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 35

36 Suponemos que la diferencia D = X Y sigue una distribución N(µ, σ) con µ y σ desconocidos. Región crítica (formulario): R = { } d S d / n > t n 1;α/2. Mirando en las tablas t 4;0.025 = Por otra parte, d S d / n = / 5 = Como < 2.776, los datos disponibles no permiten afirmar a nivel 0.05 que los dos métodos proporcionan cantidades medias de hierro diferentes. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 36

37 Comparación de dos medias (datos emparejados) con SPSS) Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 37

38 Par 1 X AQ Estadísticos de muestras relacionadas Desviación Error típ. de Media N típ. la media 2,1600 5,18166, ,2600 5,23022,10296 Correlaciones de muestras relacionadas Par 1 X y AQ N Correlación Sig. 5,789,113 Prueba de muestras relacionadas Diferencias relacionadas Desviación Error típ. de 95% Intervalo de confianza para la diferencia Media típ. la media Inferior Superior t -,10000,14142, ,27560, ,581 Prueba de muestras relacionadas gl Sig. (bilateral) 4,189 Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 38

39 Contrastes para una proporción Ejemplo 3.5: En un estudio, 1000 personas siguieron una dieta de adelgazamiento durante 3 meses. De las 1000 personas, 791 perdieron más de 3 kg de peso. Permiten los datos afirmar, con el nivel de significación α = 0.01, que más del 70 % de la población perdería más de 3 kg de peso de seguir la misma dieta durante el mismo tiempo? Hipótesis: H 0 : p 0.7 frente a H 1 : p > 0.7, donde p es la proporción poblacional que pierde peso. Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 39

40 Región crítica (formulario): ˆp p 0 R = p 0 (1 p 0 ) n > z α En este caso, n = 1000, p 0 = 0.7, ˆp = y z 0.01 = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n = = 6.28 Por lo tanto, podemos rechazar H 0 y afirmar que más del 70 % de la población perdería más de 3 kg de peso de seguir la misma dieta durante el mismo tiempo con un nivel de significación α = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 40

41 Comparación de dos proporciones Ejemplo 3.6: Se ha llevado a cabo un estudio para determinar si un medicamento dirigido a reducir el nivel de colesterol reduce también la probabilidad de sufrir un infarto. Para ello, a hombres de entre 45 y 55 años se les asignó aleatoriamente uno de los dos tratamientos siguientes: 2051 hombres tomaron un medicamento para reducir el nivel de colesterol 2030 hombres tomaron un placebo Durante los cinco años que duró el estudio, 56 de los hombres que tomaron el medicamento, y 84 de los que tomaron el placebo, sufrieron infartos. Podemos afirmar a nivel 0.05 que el medicamento es efectivo? Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 41

42 Parámetros: p 1 : Probabilidad de sufrir un infarto si se toma el medicamento. p 2 : Probabilidad de sufrir un infarto si se toma el placebo. Estimadores de los parámetros: ˆp 1 = = y ˆp 2 = = Hipótesis: H 0 : p 2 p 1 frente a H 1 : p 2 > p 1. Estimación de la probabilidad de infarto si fuese p 1 = p 2 (es decir, cuando H 0 es cierta pero es difícil distinguir H 0 de H 1 ): p = Numero total de infartos = Numero total de personas = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 42

43 Región crítica (formulario) ˆp 2 ˆp 1 R = ( ) > z α p(1 p) n1 n2 Con los datos del ejemplo: ˆp 2 ˆp 1 ( ) = p(1 p) ( ) = n1 n2 z 0.05 = 1.64 Como 2.47 > 1.64, podemos rechazar H 0 y afirmar que el medicamento es efectivo a nivel α = Estadística Aplicada (NHyD). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Contrastes de hipótesis 43